登录
1.如图，直线$ l $是一条河，$ P $，$ Q $是两个村庄，欲在$ l $上的某处修建一个水泵站，向$ P $，$ Q $两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
这是直线同侧两点到直线上一点的距离之和最短的实际应用问题，解题遵循“轴对称转化+两点之间线段最短”的原则：要在直线l上找一点M使得PM+QM最小，可先作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点，再根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，它和直线l的交点就是水泵站的位置，此时管道总长度最短。
【解析】
解题步骤如下：
1. 作点P关于直线l的对称点P'，根据轴对称的性质，直线l上任意一点M都满足PM=P'M，因此管道总长度PM+QM=P'M+QM；
2. 根据两点之间线段最短，当P'、M、Q三点共线时，P'M+QM的长度最小，等于线段P'Q的长度，此时M就是P'Q与直线l的交点；
3. 对比四个选项，只有选项C的作图符合上述要求，其余选项的管道总长度都更长。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础题型，解题核心是利用轴对称将同侧路径转化为异侧路径，再结合线段的性质判断最短路径，熟练掌握该类题型的通用作法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是直线同侧两点到直线上一点的距离之和最短的实际应用问题，解题遵循“轴对称转化+两点之间线段最短”的原则：要在直线l上找一点M使得PM+QM最小，可先作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点转化为异侧两点，再根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，它和直线l的交点就是水泵站的位置，此时管道总长度最短。
【解析】
解题步骤如下：
1. 作点P关于直线l的对称点P'，根据轴对称的性质，直线l上任意一点M都满足PM=P'M，因此管道总长度PM+QM=P'M+QM；
2. 根据两点之间线段最短，当P'、M、Q三点共线时，P'M+QM的长度最小，等于线段P'Q的长度，此时M就是P'Q与直线l的交点；
3. 对比四个选项，只有选项C的作图符合上述要求，其余选项的管道总长度都更长。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础题型，解题核心是利用轴对称将同侧路径转化为异侧路径，再结合线段的性质判断最短路径，熟练掌握该类题型的通用作法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2.如图，要在一条直路$l$旁建一个燃气站，向$l$同侧的$A$，$B$两个城镇输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.
答案
2.如图,作点 A 关于 l 的对称点A',连接 BA',交 l 于点 P,点 P 即为燃气站的位置,沿 A→P→B路线铺设管道,管道长度最短
解析
【分析】
要在直线$l$上找到一点$P$，使得$PA+PB$的和最小。我们已知两点之间线段最短，因此可以通过轴对称的性质，将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的距离问题：作点$A$关于$l$的对称点$A'$，此时直线$l$上任意点到$A$和$A'$的距离相等，即$PA=PA'$，那么$PA+PB$就等价于$PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$的长度就是线段$A'B$的长度，为最小值，此时的点$P$就是所求位置。
【解析】
1. 作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，根据轴对称的性质，对直线$l$上任意一点$P$，均有$PA=PA'$；
2. 连接$A'B$，与直线$l$交于点$P$，此时$PA+PB=PA'+PB=A'B$，根据两点之间线段最短，此时$PA+PB$的和最小，因此点$P$即为燃气站的位置。
【答案】
2.如图,作点 A 关于 l 的对称点A',连接 BA',交 l 于点 P,点 P 即为燃气站的位置,沿 A→P→B路线铺设管道,管道长度最短
【知识点】
轴对称的性质、两点之间线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的经典基础题型，核心解题思路是利用轴对称实现线段的等量转化，将折线的长度和转化为两点间的线段长度，运用“两点之间线段最短”的原理求解，该方法可以迁移到同类同侧两点最短路径的变式问题中。
【难度系数】
0.7
要在直线$l$上找到一点$P$，使得$PA+PB$的和最小。我们已知两点之间线段最短，因此可以通过轴对称的性质，将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的距离问题：作点$A$关于$l$的对称点$A'$，此时直线$l$上任意点到$A$和$A'$的距离相等，即$PA=PA'$，那么$PA+PB$就等价于$PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA'+PB$的长度就是线段$A'B$的长度，为最小值，此时的点$P$就是所求位置。
【解析】
1. 作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，根据轴对称的性质，对直线$l$上任意一点$P$，均有$PA=PA'$；
2. 连接$A'B$，与直线$l$交于点$P$，此时$PA+PB=PA'+PB=A'B$，根据两点之间线段最短，此时$PA+PB$的和最小，因此点$P$即为燃气站的位置。
【答案】
2.如图,作点 A 关于 l 的对称点A',连接 BA',交 l 于点 P,点 P 即为燃气站的位置,沿 A→P→B路线铺设管道,管道长度最短
【知识点】
轴对称的性质、两点之间线段最短、最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的经典基础题型，核心解题思路是利用轴对称实现线段的等量转化，将折线的长度和转化为两点间的线段长度，运用“两点之间线段最短”的原理求解，该方法可以迁移到同类同侧两点最短路径的变式问题中。
【难度系数】
0.7
3.如图，点A在∠MON内部，点B，C分别在边OM，ON上.请作出△ABC，使△ABC的周长最小.(请保留作图痕迹)
答案
3.如图,分别作点 A 关于 OM,ON 的对称点 A',A'',连接 A'A'',分别交 OM,ON 于点 B,点 C,则△ABC 即为所求
解析
【分析】
要使△ABC的周长最小，即要让AB+BC+AC的和最小，我们可以借助轴对称的性质，将分散的三条线段转化到同一条线段上，结合“两点之间线段最短”的原理求解。首先明确：关于某条直线对称的两个点，到直线上任意一点的距离相等，因此我们可以通过作点A关于OM、ON的对称点，把AB、AC分别替换成对称点到B、C的线段，此时△ABC的周长就等价于两个对称点之间的折线段长度，当折线段变为直线段时，总长度最小。
【解析】
1. 作点A关于直线OM的对称点A'，根据轴对称的性质，对OM上任意一点B，都有AB=A'B；
2. 作点A关于直线ON的对称点A''，根据轴对称的性质，对ON上任意一点C，都有AC=A''C；
3. 连接A'A''，该线段与OM的交点记为B，与ON的交点记为C；
4. 连接AB、BC、AC，此时△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+A''C=A'A''，根据两点之间线段最短，A'A''是A'到A''的最短距离，所以此时△ABC的周长最小，即为所求三角形。
【答案】
3.如图,分别作点 A 关于 OM,ON 的对称点 A',A'',连接 A'A'',分别交 OM,ON 于点 B,点 C,则△ABC 即为所求
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，解题核心是利用轴对称性质转化相等线段，将折线长度的最值问题转化为两点间线段长度的问题，掌握该转化思路可快速解决同类角内构造周长最小三角形的问题。
【难度系数】
0.7
要使△ABC的周长最小，即要让AB+BC+AC的和最小，我们可以借助轴对称的性质，将分散的三条线段转化到同一条线段上，结合“两点之间线段最短”的原理求解。首先明确：关于某条直线对称的两个点，到直线上任意一点的距离相等，因此我们可以通过作点A关于OM、ON的对称点，把AB、AC分别替换成对称点到B、C的线段，此时△ABC的周长就等价于两个对称点之间的折线段长度，当折线段变为直线段时，总长度最小。
【解析】
1. 作点A关于直线OM的对称点A'，根据轴对称的性质，对OM上任意一点B，都有AB=A'B；
2. 作点A关于直线ON的对称点A''，根据轴对称的性质，对ON上任意一点C，都有AC=A''C；
3. 连接A'A''，该线段与OM的交点记为B，与ON的交点记为C；
4. 连接AB、BC、AC，此时△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+A''C=A'A''，根据两点之间线段最短，A'A''是A'到A''的最短距离，所以此时△ABC的周长最小，即为所求三角形。
【答案】
3.如图,分别作点 A 关于 OM,ON 的对称点 A',A'',连接 A'A'',分别交 OM,ON 于点 B,点 C,则△ABC 即为所求
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，解题核心是利用轴对称性质转化相等线段，将折线长度的最值问题转化为两点间线段长度的问题，掌握该转化思路可快速解决同类角内构造周长最小三角形的问题。
【难度系数】
0.7
4.(2025·南开期末)直线$ l_1,l_2 $表示一条河的两岸，且$ l_1 // l_2 $，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸.现要在这条河上建一座桥EF(桥EF与河的两岸$ l_1,l_2 $垂直)，使得从村庄P经桥EF过河到村庄Q的路径PEFQ最短，即$ PE + EF + FQ $最小.则下列图中满足条件的是（
）
）答案
4.A
解析
【分析】
要解决河上建桥使路径最短的问题，首先明确桥EF与河岸垂直，长度固定等于河宽，因此要使PE+EF+FQ最小，只需保证PE+FQ最小即可。我们可以通过平移法转化线段：将点P沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽（即EF的长度）得到点P'，根据平移的性质，此时PE=P'F，那么PE+FQ就转化为P'F+FQ。根据“两点之间线段最短”，连接P'Q，与l₁的交点就是建桥的上桥头F，再过F作FE垂直l₂得到下桥头E，此时对应的路径就是最短路径，对应选项即可判断。
【解析】
∵ 桥EF与河岸l₁、l₂垂直，且l₁//l₂，
∴ EF的长度等于河宽，是固定值，因此要使PE+EF+FQ最小，只需PE+FQ最小。
将点P沿垂直河岸向上的方向平移，平移距离等于EF的长度，得到点P'，由平移的性质可知：PE=P'F，且PP'平行且等于EF。
要使P'F+FQ最小，根据“两点之间，线段最短”，连接P'Q，P'Q与l₁的交点即为F点，过F作FE⊥l₂，垂足为E，连接PE，此时路径PEFQ最短，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，核心解题思路是利用平移将分散的线段转化为可直接利用最短原理判断的形式，解题关键是掌握平移的性质和两点之间线段最短的原理，能根据题意正确平移点确定桥的位置。
【难度系数】
0.7
要解决河上建桥使路径最短的问题，首先明确桥EF与河岸垂直，长度固定等于河宽，因此要使PE+EF+FQ最小，只需保证PE+FQ最小即可。我们可以通过平移法转化线段：将点P沿垂直于河岸的方向向上平移，平移距离等于河宽（即EF的长度）得到点P'，根据平移的性质，此时PE=P'F，那么PE+FQ就转化为P'F+FQ。根据“两点之间线段最短”，连接P'Q，与l₁的交点就是建桥的上桥头F，再过F作FE垂直l₂得到下桥头E，此时对应的路径就是最短路径，对应选项即可判断。
【解析】
∵ 桥EF与河岸l₁、l₂垂直，且l₁//l₂，
∴ EF的长度等于河宽，是固定值，因此要使PE+EF+FQ最小，只需PE+FQ最小。
将点P沿垂直河岸向上的方向平移，平移距离等于EF的长度，得到点P'，由平移的性质可知：PE=P'F，且PP'平行且等于EF。
要使P'F+FQ最小，根据“两点之间，线段最短”，连接P'Q，P'Q与l₁的交点即为F点，过F作FE⊥l₂，垂足为E，连接PE，此时路径PEFQ最短，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，核心解题思路是利用平移将分散的线段转化为可直接利用最短原理判断的形式，解题关键是掌握平移的性质和两点之间线段最短的原理，能根据题意正确平移点确定桥的位置。
【难度系数】
0.7
5.如图,在一条河的两岸有两个村庄A,B,现要在河上建一座小桥,桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从村庄A到村庄B的距离最短？
答案
5.如图,过点 A 作 AC 垂直于河岸,且使 AC 的长等于河宽,连接 BC 与河岸GH 相交于点 N,过点 N 作 NM⊥EF 于点 M,则 MN 为所建桥的位置,从村庄 A 到村庄 B 的最短路径为A→M→N→B
解析
【分析】
要解决建桥使A到B总路程最短的问题，首先明确：桥与河岸垂直，所以桥长等于河宽，是固定值。总路程为A→M→N→B的长度，即AM+MN+NB，其中MN是定值，因此只需让AM+NB的和最小即可。我们可以利用平移的思路，将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，把AM转化为和它相等的线段，让AM和NB拼接成两条有公共端点的线段，再利用“两点之间线段最短”找到对应点的位置。
【解析】
1. 由于桥的方向与河流垂直，河宽固定，因此桥长MN为定值，要使从A到B的总路程AM+MN+NB最短，只需满足AM+NB的和最小。
2. 过点A作AC垂直于河岸EF，使AC的长度等于河宽，这一操作相当于将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度到点C，由平移的性质可得AM=CN。
3. 此时AM+NB=CN+NB，根据“两点之间，线段最短”，连接BC，BC与靠近B的河岸GH交于点N，此时CN+NB的和最小，等于BC的长度。
4. 过点N作NM⊥EF，垂足为M，MN即为所求的桥的位置，最短路径为A→M→N→B。
【答案】
如图,过点 A 作 AC 垂直于河岸,且使 AC 的长等于河宽,连接 BC 与河岸GH 相交于点 N,过点 N 作 NM⊥EF 于点 M,则 MN 为所建桥的位置,从村庄 A 到村庄 B 的最短路径为A→M→N→B
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 平移的性质
3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，解题核心是通过平移转化固定长度的桥，将待求的最短路径问题转化为两点之间线段最短的基础模型，掌握平移转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决建桥使A到B总路程最短的问题，首先明确：桥与河岸垂直，所以桥长等于河宽，是固定值。总路程为A→M→N→B的长度，即AM+MN+NB，其中MN是定值，因此只需让AM+NB的和最小即可。我们可以利用平移的思路，将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，把AM转化为和它相等的线段，让AM和NB拼接成两条有公共端点的线段，再利用“两点之间线段最短”找到对应点的位置。
【解析】
1. 由于桥的方向与河流垂直，河宽固定，因此桥长MN为定值，要使从A到B的总路程AM+MN+NB最短，只需满足AM+NB的和最小。
2. 过点A作AC垂直于河岸EF，使AC的长度等于河宽，这一操作相当于将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度到点C，由平移的性质可得AM=CN。
3. 此时AM+NB=CN+NB，根据“两点之间，线段最短”，连接BC，BC与靠近B的河岸GH交于点N，此时CN+NB的和最小，等于BC的长度。
4. 过点N作NM⊥EF，垂足为M，MN即为所求的桥的位置，最短路径为A→M→N→B。
【答案】
如图,过点 A 作 AC 垂直于河岸,且使 AC 的长等于河宽,连接 BC 与河岸GH 相交于点 N,过点 N 作 NM⊥EF 于点 M,则 MN 为所建桥的位置,从村庄 A 到村庄 B 的最短路径为A→M→N→B
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 平移的性质
3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，解题核心是通过平移转化固定长度的桥，将待求的最短路径问题转化为两点之间线段最短的基础模型，掌握平移转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
6.某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。
答案
6.如图,作点 C 关于 OA 的对称点 C',点 D 关于 OB 的对称点 D';连接 C'D',分别交 OA,OB 于点 M,N,连接 CM,DN,那么小明沿 C→M→N→D 的路线行走,所走的总路程最短
解析
【分析】
要解决这个最短路径问题，核心是将折线路程转化为直线段长度，利用“两点之间线段最短”求解。思考步骤如下：①我们需要在OA上取点M、OB上取点N，使CM+MN+ND的总路程最短；②根据轴对称的性质，作点C关于OA的对称点C'，则OA上任意一点到C和C'的距离相等，即CM=C'M；同理作点D关于OB的对称点D'，可得ND=ND'；③此时总路程可转化为C'M+MN+ND'，要让这个和最小，根据两点之间线段最短，当C'、M、N、D'四点共线时，和最小，最小值为C'D'的长度，此时交点M、N即为所求。
【解析】
步骤1：作点C关于直线OA的对称点C'，根据轴对称的性质，对OA上任意点M，均有CM=C'M；
步骤2：作点D关于直线OB的对称点D'，根据轴对称的性质，对OB上任意点N，均有DN=D'N；
步骤3：连接C'D'，分别交OA于点M、交OB于点N，此时总路程CM+MN+DN = C'M+MN+D'N = C'D'，根据两点之间线段最短，此时总路程最短；
步骤4：连接CM、DN，所得路线C→M→N→D即为最短行走路线。
【答案】
如图,作点 C 关于 OA 的对称点 C',点 D 关于 OB 的对称点 D';连接 C'D',分别交 OA,OB 于点 M,N,连接 CM,DN,那么小明沿 C→M→N→D 的路线行走,所走的总路程最短
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径设计
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，解题核心是通过轴对称变换将折线路径转化为两点间的线段，体现了转化的数学思想，是这类问题的常规考法，掌握轴对称的性质和转化思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决这个最短路径问题，核心是将折线路程转化为直线段长度，利用“两点之间线段最短”求解。思考步骤如下：①我们需要在OA上取点M、OB上取点N，使CM+MN+ND的总路程最短；②根据轴对称的性质，作点C关于OA的对称点C'，则OA上任意一点到C和C'的距离相等，即CM=C'M；同理作点D关于OB的对称点D'，可得ND=ND'；③此时总路程可转化为C'M+MN+ND'，要让这个和最小，根据两点之间线段最短，当C'、M、N、D'四点共线时，和最小，最小值为C'D'的长度，此时交点M、N即为所求。
【解析】
步骤1：作点C关于直线OA的对称点C'，根据轴对称的性质，对OA上任意点M，均有CM=C'M；
步骤2：作点D关于直线OB的对称点D'，根据轴对称的性质，对OB上任意点N，均有DN=D'N；
步骤3：连接C'D'，分别交OA于点M、交OB于点N，此时总路程CM+MN+DN = C'M+MN+D'N = C'D'，根据两点之间线段最短，此时总路程最短；
步骤4：连接CM、DN，所得路线C→M→N→D即为最短行走路线。
【答案】
如图,作点 C 关于 OA 的对称点 C',点 D 关于 OB 的对称点 D';连接 C'D',分别交 OA,OB 于点 M,N,连接 CM,DN,那么小明沿 C→M→N→D 的路线行走,所走的总路程最短
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径设计
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，解题核心是通过轴对称变换将折线路径转化为两点间的线段，体现了转化的数学思想，是这类问题的常规考法，掌握轴对称的性质和转化思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
