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1.(2025·游仙期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=4$,$EF$垂直平分$BC$,点$P$为直线$EF$上的任一点,则$AP+BP$的最小值是 (
A.4
B.5
C.6
D.7
A
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
1.A
解析
【分析】
要解决AP+BP的最小值问题，首先结合已知条件EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得BP=CP，因此可将AP+BP转化为AP+CP。再根据两点之间线段最短的原理，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，最小值就是线段AC的长度，代入已知AC的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵EF垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线EF对称，对直线EF上任意一点P，都满足BP=CP。
∴AP+BP = AP+CP。
根据两点之间线段最短，当点P恰好落在AC与EF的交点处时，AP+CP取得最小值，最小值等于线段AC的长度。
已知AC=4，因此AP+BP的最小值是4。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称求最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，再结合两点之间线段最短的原理确定最值，能很好地考查学生对几何最值问题的转化思维。
【难度系数】
0.7
要解决AP+BP的最小值问题，首先结合已知条件EF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得BP=CP，因此可将AP+BP转化为AP+CP。再根据两点之间线段最短的原理，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，最小值就是线段AC的长度，代入已知AC的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵EF垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线EF对称，对直线EF上任意一点P，都满足BP=CP。
∴AP+BP = AP+CP。
根据两点之间线段最短，当点P恰好落在AC与EF的交点处时，AP+CP取得最小值，最小值等于线段AC的长度。
已知AC=4，因此AP+BP的最小值是4。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称求最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，再结合两点之间线段最短的原理确定最值，能很好地考查学生对几何最值问题的转化思维。
【难度系数】
0.7
2.(2025·涪城期末)如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点.若AB=5,AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值是（
A.9
B.10
C.10.5
D.11
A
）A.9
B.10
C.10.5
D.11
答案
2.A
解析
【分析】
要解决△APC周长最小值的问题，首先明确△APC的周长=AP+PC+AC，其中AC是固定长度4，因此只需找到AP+PC的最小值即可。结合直线m是BC的垂直平分线这一条件，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可将PC转化为PB，即AP+PC=AP+PB。再根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB的长度最小，最小值为AB的长度，代入计算即可得到周长最小值。
【解析】
∵直线m是BC边的垂直平分线，点P在直线m上
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△APC的周长为：$C_{△ APC}=AP+PC+AC$
将PC=PB代入得：$C_{△ APC}=AP+PB+AC$
已知AC=4为定值，因此要使周长最小，只需AP+PB最小
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB取得最小值，最小值等于AB的长度，即$AP+PB_{min}=AB=5$
因此△APC周长的最小值为$5+4=9$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质转化变动线段，再结合两点之间线段最短的原理确定最值的取值情况，充分体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要解决△APC周长最小值的问题，首先明确△APC的周长=AP+PC+AC，其中AC是固定长度4，因此只需找到AP+PC的最小值即可。结合直线m是BC的垂直平分线这一条件，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可将PC转化为PB，即AP+PC=AP+PB。再根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB的长度最小，最小值为AB的长度，代入计算即可得到周长最小值。
【解析】
∵直线m是BC边的垂直平分线，点P在直线m上
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△APC的周长为：$C_{△ APC}=AP+PC+AC$
将PC=PB代入得：$C_{△ APC}=AP+PB+AC$
已知AC=4为定值，因此要使周长最小，只需AP+PB最小
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，AP+PB取得最小值，最小值等于AB的长度，即$AP+PB_{min}=AB=5$
因此△APC周长的最小值为$5+4=9$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质转化变动线段，再结合两点之间线段最短的原理确定最值的取值情况，充分体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
3.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点。若$AE=2$，当$EF+CF$取得最小值时，$∠ ECF$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$25°$
D.$20°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$25°$
D.$20°$
答案
3.A
解析
【分析】
本题属于几何最短路径问题，解题思路如下：①先利用等边三角形的对称性，AD是BC的中垂线，因此点C关于AD的对称点是点B，可将CF转化为BF，那么EF+CF的最小值就转化为EF+BF的最小值；②根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值；③再结合等边三角形“三线合一”的性质，确定点E是AC中点后，利用中线与角平分线重合的特点，即可求出∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于AD对称，∠ACB=60°
∴CF=BF，因此EF+CF=EF+BF
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的值最小，即此时EF+CF取得最小值
∵AC=4，AE=2，
∴E是AC边的中点
∴BE是等边△ABC的AC边上的中线，等边三角形的三条中线交于同一点（重心），因此AD与BE的交点F也在AB边的中线上
∵等边三角形的中线与对应角的角平分线重合，
∴CF平分∠ACB
∴∠ECF=½∠ACB=½×60°=30°
【答案】
A
【知识点】
轴对称求最短路径，等边三角形的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题的核心是利用轴对称将线段和的最值转化为两点之间线段最短的问题，再结合等边三角形三线合一的性质求解，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于几何最短路径问题，解题思路如下：①先利用等边三角形的对称性，AD是BC的中垂线，因此点C关于AD的对称点是点B，可将CF转化为BF，那么EF+CF的最小值就转化为EF+BF的最小值；②根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值；③再结合等边三角形“三线合一”的性质，确定点E是AC中点后，利用中线与角平分线重合的特点，即可求出∠ECF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于AD对称，∠ACB=60°
∴CF=BF，因此EF+CF=EF+BF
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF的值最小，即此时EF+CF取得最小值
∵AC=4，AE=2，
∴E是AC边的中点
∴BE是等边△ABC的AC边上的中线，等边三角形的三条中线交于同一点（重心），因此AD与BE的交点F也在AB边的中线上
∵等边三角形的中线与对应角的角平分线重合，
∴CF平分∠ACB
∴∠ECF=½∠ACB=½×60°=30°
【答案】
A
【知识点】
轴对称求最短路径，等边三角形的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题的核心是利用轴对称将线段和的最值转化为两点之间线段最短的问题，再结合等边三角形三线合一的性质求解，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4.(2025·召陵期末)如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，AD＝4，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的一个动点，则PC＋PE的最小值为
4
。答案
4.4
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，可将PC转化为PB；②此时PC+PE转化为PB+PE，根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，两条线段的和最小，最小值为线段BE的长度；③最后结合等边三角形的性质，中线与高长度相等，即可求出BE的长度，得到最终结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC（等边三角形三线合一）
∴点C关于AD的对称点为点B，即PC=PB
∴PC+PE=PB+PE
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，最小值为BE的长度
又
∵E是AC边的中点，
∴BE是等边△ABC中AC边上的中线
∵等边三角形各边上的高、中线长度相等，AD=4
∴BE=AD=4
即PC+PE的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
1.轴对称最短路径问题 2.等边三角形的性质 3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题核心是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质计算，侧重考查学生对几何转化思想的运用和基础几何性质的掌握。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，可将PC转化为PB；②此时PC+PE转化为PB+PE，根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，两条线段的和最小，最小值为线段BE的长度；③最后结合等边三角形的性质，中线与高长度相等，即可求出BE的长度，得到最终结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC（等边三角形三线合一）
∴点C关于AD的对称点为点B，即PC=PB
∴PC+PE=PB+PE
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，最小值为BE的长度
又
∵E是AC边的中点，
∴BE是等边△ABC中AC边上的中线
∵等边三角形各边上的高、中线长度相等，AD=4
∴BE=AD=4
即PC+PE的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
1.轴对称最短路径问题 2.等边三角形的性质 3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题核心是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质计算，侧重考查学生对几何转化思想的运用和基础几何性质的掌握。
【难度系数】
0.7
5.(2025·淮滨期末)如图,等腰三角形ABC的底边BC长为6,面积是24,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为
11
.答案
5.11
解析
【分析】
要解决△CDM周长最小的问题，首先拆分周长的组成：△CDM周长=CD+DM+CM。其中D是BC中点，BC长为固定值6，因此CD=3是定值，只需让DM+CM的和最小即可。其次利用垂直平分线的性质：EF是AC的垂直平分线，所以线段EF上任意点M到A、C的距离相等，即CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM，此时问题转化为求DM+AM的最小值。最后根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值为AD的长度，再结合等腰三角形的性质求出AD即可得到最小周长。
【解析】
1. 求定值CD的长度
∵点D是BC的中点，BC=6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$。
2. 利用垂直平分线性质转化线段
∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴$MA=MC$，
∴△CDM的周长$=CD+DM+MC=3+DM+MA$，要使周长最小，只需$DM+MA$最小。
3. 求$DM+MA$的最小值
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+MA$取得最小值，最小值为AD的长度。
4. 求AD的长度
∵△ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
已知△ABC面积为24，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=24$，
代入BC=6，得$\frac{1}{2}×6×AD=24$，解得$AD=8$。
5. 计算最小周长
△CDM周长的最小值为$3+8=11$。
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形三线合一，最短路径问题
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段转化，将动态线段和的最值问题转化为两点之间线段最短的固定问题，再结合等腰三角形的性质计算相关线段长度，解题关键是准确找到动点M的最优位置。
【难度系数】
0.7
要解决△CDM周长最小的问题，首先拆分周长的组成：△CDM周长=CD+DM+CM。其中D是BC中点，BC长为固定值6，因此CD=3是定值，只需让DM+CM的和最小即可。其次利用垂直平分线的性质：EF是AC的垂直平分线，所以线段EF上任意点M到A、C的距离相等，即CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM，此时问题转化为求DM+AM的最小值。最后根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值为AD的长度，再结合等腰三角形的性质求出AD即可得到最小周长。
【解析】
1. 求定值CD的长度
∵点D是BC的中点，BC=6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=3$。
2. 利用垂直平分线性质转化线段
∵EF是AC的垂直平分线，点M在EF上，
∴$MA=MC$，
∴△CDM的周长$=CD+DM+MC=3+DM+MA$，要使周长最小，只需$DM+MA$最小。
3. 求$DM+MA$的最小值
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+MA$取得最小值，最小值为AD的长度。
4. 求AD的长度
∵△ABC是等腰三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
已知△ABC面积为24，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=24$，
代入BC=6，得$\frac{1}{2}×6×AD=24$，解得$AD=8$。
5. 计算最小周长
△CDM周长的最小值为$3+8=11$。
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形三线合一，最短路径问题
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段转化，将动态线段和的最值问题转化为两点之间线段最短的固定问题，再结合等腰三角形的性质计算相关线段长度，解题关键是准确找到动点M的最优位置。
【难度系数】
0.7
6.(2025·三门峡期末)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=8,∠ACB=75°,AD⊥BC于D,点M,N分别是线段AB,AD上的动点,则MN+BN的最小值是
4
.答案
6.4
解析
【分析】
本题属于将军饮马类几何最值问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD是∠BAC的对称轴，AB与AC关于AD对称，因此可将MN转化为点N到AC上对应点的距离；其次根据“点到直线的距离，垂线段最短”，可知MN+BN的最小值就是点B到AC的垂线段长度；最后先计算等腰△ABC的顶角度数，再利用含30°角的直角三角形的性质计算垂线段长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ACB=75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
由三角形内角和为180°可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-75°×2=30°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，直线AD是△ABC的对称轴，AB与AC关于AD对称，
过点B作BH⊥AC于点H，此时BH的长度就是MN+BN的最小值：根据轴对称性质，对AD上任意一点N，都存在AB上的点M使得MN等于点N到AC的距离，因此MN+BN≥BN+点N到AC的距离≥BH（点到直线垂线段最短）。
在Rt△ABH中，∠BAC=30°，斜边AB=8，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
BH=½AB=½×8=4。
【答案】
4
【知识点】
最短路径问题；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题的核心是利用轴对称将两条动线段的和转化为定点到定直线的垂线段长度，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质求解，是几何最值类的典型基础题，掌握轴对称转化的思路是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
本题属于将军饮马类几何最值问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD是∠BAC的对称轴，AB与AC关于AD对称，因此可将MN转化为点N到AC上对应点的距离；其次根据“点到直线的距离，垂线段最短”，可知MN+BN的最小值就是点B到AC的垂线段长度；最后先计算等腰△ABC的顶角度数，再利用含30°角的直角三角形的性质计算垂线段长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ACB=75°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
由三角形内角和为180°可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-75°×2=30°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，直线AD是△ABC的对称轴，AB与AC关于AD对称，
过点B作BH⊥AC于点H，此时BH的长度就是MN+BN的最小值：根据轴对称性质，对AD上任意一点N，都存在AB上的点M使得MN等于点N到AC的距离，因此MN+BN≥BN+点N到AC的距离≥BH（点到直线垂线段最短）。
在Rt△ABH中，∠BAC=30°，斜边AB=8，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
BH=½AB=½×8=4。
【答案】
4
【知识点】
最短路径问题；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题的核心是利用轴对称将两条动线段的和转化为定点到定直线的垂线段长度，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质求解，是几何最值类的典型基础题，掌握轴对称转化的思路是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
7.(2025·辉县期末)如图,在锐角$△ ABC$中,$AC=10,S_{△ ABC}=25,∠ BAC$的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则$BM+MN$的最小值是
5
.答案
7.5
解析
【分析】
本题属于几何线段和最值问题，解题可按以下思路推导：①首先利用角平分线的轴对称性转化线段：AD是∠BAC的平分线，将AB上的点N关于AD作对称，对称点N'一定落在AC边上，根据轴对称性质可得MN=MN'，因此求BM+MN的最小值可转化为求BM+MN'的最小值；②根据“两点之间线段最短”，BM+MN'的最小值是点B到AC的线段长度，再结合“垂线段最短”，可知点B到AC的垂线段长度就是所求的最小值，即AC边上的高；③最后利用三角形面积公式计算这个高的长度即可。
【解析】
解：过点B作BH⊥AC，垂足为H。
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴将点N沿AD对称后，其对称点N'落在AC边上，由轴对称性质得MN=MN'，
∴BM+MN = BM+MN'，
根据两点之间线段最短可知BM+MN' ≥ BN'，再根据垂线段最短可知BN' ≥ BH，
即BM+MN的最小值为BH的长度。
已知$S_{△ABC}=25$，$AC=10$，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × AC × BH$
代入数据得：$25=\frac{1}{2} × 10 × BH$
解得$BH=5$。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，解题关键是利用角平分线的轴对称性对线段进行等量转化，将折线和的最值转化为点到直线的距离，再结合三角形面积公式求解，体现了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题属于几何线段和最值问题，解题可按以下思路推导：①首先利用角平分线的轴对称性转化线段：AD是∠BAC的平分线，将AB上的点N关于AD作对称，对称点N'一定落在AC边上，根据轴对称性质可得MN=MN'，因此求BM+MN的最小值可转化为求BM+MN'的最小值；②根据“两点之间线段最短”，BM+MN'的最小值是点B到AC的线段长度，再结合“垂线段最短”，可知点B到AC的垂线段长度就是所求的最小值，即AC边上的高；③最后利用三角形面积公式计算这个高的长度即可。
【解析】
解：过点B作BH⊥AC，垂足为H。
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴将点N沿AD对称后，其对称点N'落在AC边上，由轴对称性质得MN=MN'，
∴BM+MN = BM+MN'，
根据两点之间线段最短可知BM+MN' ≥ BN'，再根据垂线段最短可知BN' ≥ BH，
即BM+MN的最小值为BH的长度。
已知$S_{△ABC}=25$，$AC=10$，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × AC × BH$
代入数据得：$25=\frac{1}{2} × 10 × BH$
解得$BH=5$。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，解题关键是利用角平分线的轴对称性对线段进行等量转化，将折线和的最值转化为点到直线的距离，再结合三角形面积公式求解，体现了几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
8.(2025·安阳期末)如图,等边三角形ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是边AC的中点.当△ECF的周长取得最小值时,∠EFC的度数为
60
°.答案
8.60
解析
【分析】
要解决△ECF周长最小的问题，首先观察到E是AC中点，EC长度为定值，因此周长最小等价于EF+CF的和最小。利用等边三角形的轴对称性，AD是BC的垂直平分线，点B与点C关于AD对称，因此CF=BF，可将EF+CF转化为EF+BF，根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值，最后结合等边三角形的性质计算∠EFC的度数即可。
【解析】
1. 确定定值：
∵△ABC是等边三角形，E是AC中点，
∴$EC=\frac{1}{2}AC$，长度固定，因此△ECF的周长$=EC+EF+CF$，要使周长最小，需使$EF+CF$最小。
2. 对称转化线段：
∵AD是等边△ABC中BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，因此$CF=BF$，可得$EF+CF=EF+BF$。
3. 确定最小值位置：
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，$EF+BF$取得最小值，此时△ECF周长最小。
4. 角度计算：
∵△ABC是等边三角形，E是AC中点，
∴BE是AC边上的高，即$∠BEC=90°$，且BE平分$∠ABC$，
∵$∠ABC=60°$，
∴$∠FBC=30°$。
又
∵$CF=BF$，
∴$∠FCB=∠FBC=30°$，
∵$∠ACB=60°$，
∴$∠ECF=∠ACB-∠FCB=60°-30°=30°$。
在△EFC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=180°-90°-30°=60°$。
【答案】
60
【知识点】
轴对称最短路径；等边三角形的性质；三角形内角和
【点评】
本题是几何最值与等边三角形性质结合的典型题型，解题核心是通过轴对称将动态线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合特殊三角形的性质计算角度，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决△ECF周长最小的问题，首先观察到E是AC中点，EC长度为定值，因此周长最小等价于EF+CF的和最小。利用等边三角形的轴对称性，AD是BC的垂直平分线，点B与点C关于AD对称，因此CF=BF，可将EF+CF转化为EF+BF，根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，EF+BF取得最小值，最后结合等边三角形的性质计算∠EFC的度数即可。
【解析】
1. 确定定值：
∵△ABC是等边三角形，E是AC中点，
∴$EC=\frac{1}{2}AC$，长度固定，因此△ECF的周长$=EC+EF+CF$，要使周长最小，需使$EF+CF$最小。
2. 对称转化线段：
∵AD是等边△ABC中BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，因此$CF=BF$，可得$EF+CF=EF+BF$。
3. 确定最小值位置：
根据两点之间线段最短，当B、F、E三点共线时，$EF+BF$取得最小值，此时△ECF周长最小。
4. 角度计算：
∵△ABC是等边三角形，E是AC中点，
∴BE是AC边上的高，即$∠BEC=90°$，且BE平分$∠ABC$，
∵$∠ABC=60°$，
∴$∠FBC=30°$。
又
∵$CF=BF$，
∴$∠FCB=∠FBC=30°$，
∵$∠ACB=60°$，
∴$∠ECF=∠ACB-∠FCB=60°-30°=30°$。
在△EFC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=180°-90°-30°=60°$。
【答案】
60
【知识点】
轴对称最短路径；等边三角形的性质；三角形内角和
【点评】
本题是几何最值与等边三角形性质结合的典型题型，解题核心是通过轴对称将动态线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合特殊三角形的性质计算角度，难度适中。
【难度系数】
0.6
9.(2025·殷都期末)如图，$△ ABC$中，$BA=BC=10$，$BD$是$AC$边的中线，点$E$是$BD$上的动点，点$F$是$BC$边上的动点，若$CE+EF$的最小值为9.6，则$△ ABC$的面积为（
A.96
B.48
C.38
D.24
B
）A.96
B.48
C.38
D.24
答案
9.B
解析
【分析】
本题属于几何最值问题，首先根据已知条件BA=BC，BD是AC边的中线，结合等腰三角形三线合一的性质，可得BD垂直平分AC，因此BD上的任意点E到点C和点A的距离相等，即CE=AE。此时求CE+EF的最小值可转化为求AE+EF的最小值，根据垂线段最短，当A、E、F三点共线且该线段垂直BC时，和最小，这个最小值就是点A到BC边的垂线段长度，再结合三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵BA=BC，BD是AC边上的中线
∴BD垂直平分AC（等腰三角形三线合一）
∴对BD上的任意点E，都有CE=AE
∴CE+EF=AE+EF
根据垂线段最短，过点A作AH⊥BC于点H，此时AH的长度就是AE+EF的最小值，即AH=9.6
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH=\frac{1}{2}×10×9.6=48$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题将等腰三角形性质与最短路径问题结合考查，解题核心是利用三线合一完成线段的等量转化，把两条线段和的最小值转化为点到直线的垂线段长度，属于常见的几何最值题型，掌握转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题属于几何最值问题，首先根据已知条件BA=BC，BD是AC边的中线，结合等腰三角形三线合一的性质，可得BD垂直平分AC，因此BD上的任意点E到点C和点A的距离相等，即CE=AE。此时求CE+EF的最小值可转化为求AE+EF的最小值，根据垂线段最短，当A、E、F三点共线且该线段垂直BC时，和最小，这个最小值就是点A到BC边的垂线段长度，再结合三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵BA=BC，BD是AC边上的中线
∴BD垂直平分AC（等腰三角形三线合一）
∴对BD上的任意点E，都有CE=AE
∴CE+EF=AE+EF
根据垂线段最短，过点A作AH⊥BC于点H，此时AH的长度就是AE+EF的最小值，即AH=9.6
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AH=\frac{1}{2}×10×9.6=48$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题将等腰三角形性质与最短路径问题结合考查，解题核心是利用三线合一完成线段的等量转化，把两条线段和的最小值转化为点到直线的垂线段长度，属于常见的几何最值题型，掌握转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.6
