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一、当顶角或底角不确定时,分类讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为$70°$,则这个等腰三角形的顶角为 （
A.$70°$
B.$40°$
C.$70°$或$40°$
D.$70°$或$55°$
1.已知等腰三角形的一个内角为$70°$,则这个等腰三角形的顶角为 （
C
）A.$70°$
B.$40°$
C.$70°$或$40°$
D.$70°$或$55°$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，由于题目未明确说明70°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论。解题时结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角度数，再验证两种情况是否符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°，分情况讨论：
1. 若已知的70°内角是顶角：此时顶角直接为70°，剩余两个底角的和为180°-70°=110°，每个底角为55°，符合三角形内角的取值要求；
2. 若已知的70°内角是底角：则两个底角均为70°，此时顶角的度数为180°-70°×2=40°，也符合三角形内角的取值要求。
因此该等腰三角形的顶角为70°或40°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是注意未明确已知内角是顶角还是底角时，必须分情况讨论，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角和定理，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的角度计算，由于题目未明确说明70°的内角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论。解题时结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角度数，再验证两种情况是否符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为180°，分情况讨论：
1. 若已知的70°内角是顶角：此时顶角直接为70°，剩余两个底角的和为180°-70°=110°，每个底角为55°，符合三角形内角的取值要求；
2. 若已知的70°内角是底角：则两个底角均为70°，此时顶角的度数为180°-70°×2=40°，也符合三角形内角的取值要求。
因此该等腰三角形的顶角为70°或40°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题核心是注意未明确已知内角是顶角还是底角时，必须分情况讨论，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角和定理，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
2.(云南中考)已知$△ ABC$是等腰三角形，若$∠ A = 40°$,则$△ ABC$的顶角度数是
40°或 100°
.答案
2.40°或 100°
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，解题关键是明确等腰三角形的角分为顶角和底角，题目未说明∠A是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①∠A为顶角；②∠A为底角，再结合三角形内角和为180°计算顶角度数，最后验证两种情况是否都符合三角形构成条件即可。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，∠A=40°，分两种情况讨论：
1. 当∠A是顶角时，顶角度数即为40°；
2. 当∠A是底角时，根据等腰三角形两个底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 40°×2 = 100°$。
两种情况均符合三角形内角和要求，均成立。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础易错题，解题时需注意：若题目未明确已知角是等腰三角形的顶角还是底角，一定要分类讨论，避免漏解，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角和定理。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的角度计算，解题关键是明确等腰三角形的角分为顶角和底角，题目未说明∠A是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①∠A为顶角；②∠A为底角，再结合三角形内角和为180°计算顶角度数，最后验证两种情况是否都符合三角形构成条件即可。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，∠A=40°，分两种情况讨论：
1. 当∠A是顶角时，顶角度数即为40°；
2. 当∠A是底角时，根据等腰三角形两个底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 40°×2 = 100°$。
两种情况均符合三角形内角和要求，均成立。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础易错题，解题时需注意：若题目未明确已知角是等腰三角形的顶角还是底角，一定要分类讨论，避免漏解，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角和定理。
【难度系数】
0.7
二、当底和腰不确定时，分类讨论
3.若等腰三角形的周长为19 cm，一边长为7 cm，
则腰长为 （
A.7 cm
B.5 cm
C.7 cm或5 cm
D.7 cm或6 cm
3.若等腰三角形的周长为19 cm，一边长为7 cm，
则腰长为 （
D
）A.7 cm
B.5 cm
C.7 cm或5 cm
D.7 cm或6 cm
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查等腰三角形边长的计算，由于题目未明确给出7cm的边是腰长还是底边长，因此需要分两种情况讨论：①7cm为腰长；②7cm为底边长。分别计算两种情况下的腰长后，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，最终得到符合条件的腰长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当边长为7cm的边为腰长时：
底边长 = 周长 - 2×腰长 = 19 - 2×7 = 5cm
此时三角形三边长为7cm、7cm、5cm，满足7+5＞7，7+7＞5，符合三角形三边关系，此时腰长为7cm。
2. 当边长为7cm的边为底边长时：
腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (19 - 7)÷2 = 6cm
此时三角形三边长为6cm、6cm、7cm，满足6+6＞7，6+7＞6，符合三角形三边关系，此时腰长为6cm。
综上，腰长为7cm或6cm，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型题型，解题关键是明确未指明边的类型时需要分类讨论，最后必须用三角形三边关系验证结果，防止出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形边长的计算，由于题目未明确给出7cm的边是腰长还是底边长，因此需要分两种情况讨论：①7cm为腰长；②7cm为底边长。分别计算两种情况下的腰长后，再根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，最终得到符合条件的腰长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当边长为7cm的边为腰长时：
底边长 = 周长 - 2×腰长 = 19 - 2×7 = 5cm
此时三角形三边长为7cm、7cm、5cm，满足7+5＞7，7+7＞5，符合三角形三边关系，此时腰长为7cm。
2. 当边长为7cm的边为底边长时：
腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (19 - 7)÷2 = 6cm
此时三角形三边长为6cm、6cm、7cm，满足6+6＞7，6+7＞6，符合三角形三边关系，此时腰长为6cm。
综上，腰长为7cm或6cm，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型题型，解题关键是明确未指明边的类型时需要分类讨论，最后必须用三角形三边关系验证结果，防止出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
4.已知实数$x,y$满足$|x-4|+(y-8)^2=0$,则以$x,y$的值为两边长的等腰三角形的周长是（
A.20或16
B.20
C.16
D.以上答案均不对
B
）A.20或16
B.20
C.16
D.以上答案均不对
答案
4.B
解析
【分析】
首先根据绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数相加和为0时，两个非负数各自为0，可先求出x、y的取值。接下来由于题目仅说明x、y是等腰三角形的两边长，未明确腰和底，因此需要分两种情况讨论：一是4为腰长、8为底边长，二是8为腰长、4为底边长。最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$|x-4|+(y-8)^2=0$
∴$\begin{cases}x-4=0 \\ y-8=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4 \\ y=8\end{cases}$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①若4为腰长，8为底边长，此时三边长为4、4、8
∵$4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
②若8为腰长，4为底边长，此时三边长为8、8、4
∵$4+8＞8$，$8+8＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形
此时周长为$8+8+4=20$
综上，等腰三角形的周长为20，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是仅根据等腰三角形两边相等的性质分类计算周长，忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，做题时要注意分类讨论后及时验证，避免错选。
【难度系数】
0.7
首先根据绝对值和偶次幂的非负性，两个非负数相加和为0时，两个非负数各自为0，可先求出x、y的取值。接下来由于题目仅说明x、y是等腰三角形的两边长，未明确腰和底，因此需要分两种情况讨论：一是4为腰长、8为底边长，二是8为腰长、4为底边长。最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$|x-4|+(y-8)^2=0$
∴$\begin{cases}x-4=0 \\ y-8=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4 \\ y=8\end{cases}$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①若4为腰长，8为底边长，此时三边长为4、4、8
∵$4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边，
∴该情况无法构成三角形，舍去；
②若8为腰长，4为底边长，此时三边长为8、8、4
∵$4+8＞8$，$8+8＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形
此时周长为$8+8+4=20$
综上，等腰三角形的周长为20，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是仅根据等腰三角形两边相等的性质分类计算周长，忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，做题时要注意分类讨论后及时验证，避免错选。
【难度系数】
0.7
三、当高的位置不确定时,分类讨论
5.已知等腰三角形$ABC$,$BC$边上的高恰好等于$BC$边长的一半,则$∠ BAC$的度数是 （
A.$90°$
B.$90°$或$75°$
C.$90°$或$75°$或$15°$
D.$90°$或$75°$或$15°$或$60°$
5.已知等腰三角形$ABC$,$BC$边上的高恰好等于$BC$边长的一半,则$∠ BAC$的度数是 （
C
）A.$90°$
B.$90°$或$75°$
C.$90°$或$75°$或$15°$
D.$90°$或$75°$或$15°$或$60°$
答案
5.C
解析
【分析】
这道题需要结合等腰三角形的性质分类讨论求解，解题思路如下：1. 首先明确等腰三角形的边BC未指明是底边还是腰，且三角形的高可能在形内也可能在形外，因此需要分类讨论所有可能的情况；2. 先讨论BC为底边的情况，结合等腰三角形三线合一的性质和已知的高的长度关系计算顶角；3. 再讨论BC为腰的情况，分别分析高在三角形内部（锐角等腰三角形）、高在三角形外部（钝角等腰三角形）两种情况，结合直角三角形的边角关系计算角度；4. 汇总所有符合条件的∠BAC的度数即可得到答案。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. BC为等腰三角形的底边
过点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，因此$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
由题意得$AD=\frac{1}{2}BC$，因此$AD=BD=DC$，$△ ABD$和$△ ACD$均为等腰直角三角形，$∠ BAD=∠ CAD=45°$，所以$∠ BAC=45°+45°=90°$。
2. BC为等腰三角形的腰，高在三角形内部
设$AB=BC$，过A作$AD⊥ BC$于D，由题意得$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ ABD$中，直角边$AD=\frac{1}{2}AB$，因此$∠ B=30°$。
因为$AB=BC$，所以$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
3. BC为等腰三角形的腰，高在三角形外部
设$AB=BC$，过A作$AD⊥ BC$，交CB的延长线于点D，由题意得$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ ABD$中，直角边$AD=\frac{1}{2}AB$，因此$∠ ABD=30°$，可得$∠ ABC=180°-30°=150°$。
因为$AB=BC$，所以$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
综上，$∠ BAC$的度数为$90°$或$75°$或$15°$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题的关键是明确边的属性（腰/底）不确定、高的位置（形内/形外）不确定两种分类依据，避免因漏算情况导致错解。
【难度系数】
0.6
这道题需要结合等腰三角形的性质分类讨论求解，解题思路如下：1. 首先明确等腰三角形的边BC未指明是底边还是腰，且三角形的高可能在形内也可能在形外，因此需要分类讨论所有可能的情况；2. 先讨论BC为底边的情况，结合等腰三角形三线合一的性质和已知的高的长度关系计算顶角；3. 再讨论BC为腰的情况，分别分析高在三角形内部（锐角等腰三角形）、高在三角形外部（钝角等腰三角形）两种情况，结合直角三角形的边角关系计算角度；4. 汇总所有符合条件的∠BAC的度数即可得到答案。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. BC为等腰三角形的底边
过点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，因此$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
由题意得$AD=\frac{1}{2}BC$，因此$AD=BD=DC$，$△ ABD$和$△ ACD$均为等腰直角三角形，$∠ BAD=∠ CAD=45°$，所以$∠ BAC=45°+45°=90°$。
2. BC为等腰三角形的腰，高在三角形内部
设$AB=BC$，过A作$AD⊥ BC$于D，由题意得$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ ABD$中，直角边$AD=\frac{1}{2}AB$，因此$∠ B=30°$。
因为$AB=BC$，所以$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
3. BC为等腰三角形的腰，高在三角形外部
设$AB=BC$，过A作$AD⊥ BC$，交CB的延长线于点D，由题意得$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ ABD$中，直角边$AD=\frac{1}{2}AB$，因此$∠ ABD=30°$，可得$∠ ABC=180°-30°=150°$。
因为$AB=BC$，所以$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
综上，$∠ BAC$的度数为$90°$或$75°$或$15°$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题的关键是明确边的属性（腰/底）不确定、高的位置（形内/形外）不确定两种分类依据，避免因漏算情况导致错解。
【难度系数】
0.6
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$48°$，则该等腰三角形的底角的度数为
69°或 21°
。答案
6.69°或 21°
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的特征分类讨论求解：首先等腰三角形的形状不确定，可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，因此腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，两种情况对应的顶角度数不同，需分别计算顶角后，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
此时高与另一腰的夹角为48°，在高、腰构成的直角三角形中，可得顶角为$90°-48°=42°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180°-42°}{2}=69°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为48°，在高、腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角为$90°-48°=42°$，因此顶角为$180°-42°=138°$。
同理可得底角度数为$\frac{180°-138°}{2}=21°$。
综上，该等腰三角形的底角度数为69°或21°。
【答案】
69°或21°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的典型题，解题的关键是明确等腰三角形腰上的高的位置有两种可能，易错点是容易忽略钝角三角形中高在外部的情况，造成漏解，解题时需考虑周全。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的特征分类讨论求解：首先等腰三角形的形状不确定，可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，因此腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，两种情况对应的顶角度数不同，需分别计算顶角后，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
此时高与另一腰的夹角为48°，在高、腰构成的直角三角形中，可得顶角为$90°-48°=42°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180°-42°}{2}=69°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为48°，在高、腰的延长线构成的直角三角形中，可得顶角的邻补角为$90°-48°=42°$，因此顶角为$180°-42°=138°$。
同理可得底角度数为$\frac{180°-138°}{2}=21°$。
综上，该等腰三角形的底角度数为69°或21°。
【答案】
69°或21°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关计算的典型题，解题的关键是明确等腰三角形腰上的高的位置有两种可能，易错点是容易忽略钝角三角形中高在外部的情况，造成漏解，解题时需考虑周全。
【难度系数】
0.6
四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论
7.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$30°$，求底角$∠ B$的大小。
7.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$30°$，求底角$∠ B$的大小。
答案
7.分两种情况:如图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交时,∠ADM=30°,
∴∠A=60°,
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}=60°$;如图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时,∠ADN=30°,
∴∠BAD=60°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}∠DAB=30°$
解析
【分析】
本题是等腰三角形结合线段垂直平分线的计算问题，解题首先要注意题干中“AC所在直线”的表述，说明垂直平分线与AC的交点可能在线段AC上，也可能在线段CA的延长线上，需分两种情况分类讨论：①交点在AC线段上时，先利用直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的顶角∠A，再结合等腰三角形两底角相等的性质计算底角∠B；②交点在CA延长线上时，先求出顶角∠BAC的补角，再计算顶角的度数，最后求底角∠B即可。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
（1）当AB的垂直平分线MN与线段AC相交时：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN与AB的夹角为90°，
已知相交所得锐角为30°，在直角三角形中可得∠A=90°-30°=60°，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，两底角相等，
∴$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$；
（2）当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN与AB的夹角为90°，
已知相交所得锐角为30°，在直角三角形中可得∠DAB=90°-30°=60°，
∴等腰△ABC的顶角$∠ BAC=180°-60°=120°$，
∵AB=AC，两底角相等，
∴$∠ B=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】
分两种情况:如图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交时,∠ADM=30°,
∴∠A=60°,
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}=60°$;如图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时,∠ADN=30°,
∴∠BAD=60°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}∠DAB=30°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题的易错点是忽略“AC所在直线”包含线段AC和其延长线两种情况，仅考虑交点在线段AC上的情形导致漏解。遇到涉及“所在直线”的几何题时，要注意全面思考，分类讨论所有可能的交点位置，保证解的完整性。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形结合线段垂直平分线的计算问题，解题首先要注意题干中“AC所在直线”的表述，说明垂直平分线与AC的交点可能在线段AC上，也可能在线段CA的延长线上，需分两种情况分类讨论：①交点在AC线段上时，先利用直角三角形两锐角互余求出等腰三角形的顶角∠A，再结合等腰三角形两底角相等的性质计算底角∠B；②交点在CA延长线上时，先求出顶角∠BAC的补角，再计算顶角的度数，最后求底角∠B即可。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
（1）当AB的垂直平分线MN与线段AC相交时：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN与AB的夹角为90°，
已知相交所得锐角为30°，在直角三角形中可得∠A=90°-30°=60°，
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，两底角相等，
∴$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$；
（2）当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时：
∵MN是AB的垂直平分线，
∴MN与AB的夹角为90°，
已知相交所得锐角为30°，在直角三角形中可得∠DAB=90°-30°=60°，
∴等腰△ABC的顶角$∠ BAC=180°-60°=120°$，
∵AB=AC，两底角相等，
∴$∠ B=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
【答案】
分两种情况:如图①,当AB的垂直平分线MN与AC相交时,∠ADM=30°,
∴∠A=60°,
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}=60°$;如图②,当AB的垂直平分线MN与CA的延长线相交时,∠ADN=30°,
∴∠BAD=60°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}∠DAB=30°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题的易错点是忽略“AC所在直线”包含线段AC和其延长线两种情况，仅考虑交点在线段AC上的情形导致漏解。遇到涉及“所在直线”的几何题时，要注意全面思考，分类讨论所有可能的交点位置，保证解的完整性。
【难度系数】
0.6
五、由腰上的中线引起的分类讨论
8.等腰三角形底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm,则等腰三角形腰长为
8.等腰三角形底边长为5 cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm,则等腰三角形腰长为
8 cm
.答案
8.8 cm
解析
【分析】
解题时首先明确：腰上的中线将原等腰三角形的周长分成两部分，两部分均包含中线的长度，作差后中线抵消，因此两部分的差实质是腰长与底边长的差。接下来分两种情况讨论：①腰长比底边长3cm；②底边长比腰长3cm。最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况能否构成三角形，舍去不符合的情况即可得到腰长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm。
腰上的中线将腰分为长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的两段，由于中线为两部分周长的公共边，因此两部分周长的差等于腰长与底边长的差，分两种情况讨论：
1. 若腰长比底边长3cm：
$ x - 5 = 3 $
解得$ x = 8 $
此时三角形三边长为8cm、8cm、5cm，满足$ 8+5＞8 $，符合三角形三边关系，成立。
2. 若底边长比腰长3cm：
$ 5 - x = 3 $
解得$ x = 2 $
此时三角形三边长为2cm、2cm、5cm，由于$ 2+2=4＜5 $，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，等腰三角形的腰长为8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题核心是明确周长差的实质，易错点是忽略用三角形三边关系验证所得边长，导致出现增解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：腰上的中线将原等腰三角形的周长分成两部分，两部分均包含中线的长度，作差后中线抵消，因此两部分的差实质是腰长与底边长的差。接下来分两种情况讨论：①腰长比底边长3cm；②底边长比腰长3cm。最后结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况能否构成三角形，舍去不符合的情况即可得到腰长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$ x $ cm。
腰上的中线将腰分为长度均为$ \frac{x}{2} $ cm的两段，由于中线为两部分周长的公共边，因此两部分周长的差等于腰长与底边长的差，分两种情况讨论：
1. 若腰长比底边长3cm：
$ x - 5 = 3 $
解得$ x = 8 $
此时三角形三边长为8cm、8cm、5cm，满足$ 8+5＞8 $，符合三角形三边关系，成立。
2. 若底边长比腰长3cm：
$ 5 - x = 3 $
解得$ x = 2 $
此时三角形三边长为2cm、2cm、5cm，由于$ 2+2=4＜5 $，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，等腰三角形的腰长为8cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题核心是明确周长差的实质，易错点是忽略用三角形三边关系验证所得边长，导致出现增解。
【难度系数】
0.6
9.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$上的中线$BD$把三角形的周长分成24和30两部分，则底边$BC$的长为
22 或 14
。答案
9.22 或 14
解析
【分析】
本题为等腰三角形周长相关的计算问题，中线BD将三角形周长分为两部分，但未明确哪部分对应24、哪部分对应30，因此需要分类讨论求解。我们可以先设腰长为2x，底边长为y，利用中线性质得到AD=DC=x，再分两种情况列方程组求解，最后验证所得三边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【解析】
设$AB=AC=2x$，$BC=y$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=DC=x$。
BD将△ABC的周长分为$AB+AD$和$BC+CD$两部分（不含公共边BD），分两种情况讨论：
1. 当$AB+AD=24$，$BC+CD=30$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=24 \\ y+x=30 \end{cases}$
解第一个方程得$x=8$，代入第二个方程得$y=22$。
此时三边长为$AB=AC=16$，$BC=22$，满足$16+16＞22$，符合三角形三边关系，成立。
2. 当$AB+AD=30$，$BC+CD=24$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=30 \\ y+x=24 \end{cases}$
解第一个方程得$x=10$，代入第二个方程得$y=14$。
此时三边长为$AB=AC=20$，$BC=14$，满足$20+20＞14$，符合三角形三边关系，成立。
综上，底边BC的长为22或14。
【答案】
22或14
【知识点】
等腰三角形的性质，分类讨论思想，三角形三边关系
【点评】
本题容易因忽略分类讨论导致漏解，求解后务必验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.6
本题为等腰三角形周长相关的计算问题，中线BD将三角形周长分为两部分，但未明确哪部分对应24、哪部分对应30，因此需要分类讨论求解。我们可以先设腰长为2x，底边长为y，利用中线性质得到AD=DC=x，再分两种情况列方程组求解，最后验证所得三边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【解析】
设$AB=AC=2x$，$BC=y$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=DC=x$。
BD将△ABC的周长分为$AB+AD$和$BC+CD$两部分（不含公共边BD），分两种情况讨论：
1. 当$AB+AD=24$，$BC+CD=30$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=24 \\ y+x=30 \end{cases}$
解第一个方程得$x=8$，代入第二个方程得$y=22$。
此时三边长为$AB=AC=16$，$BC=22$，满足$16+16＞22$，符合三角形三边关系，成立。
2. 当$AB+AD=30$，$BC+CD=24$时，列方程组：
$\begin{cases}2x+x=30 \\ y+x=24 \end{cases}$
解第一个方程得$x=10$，代入第二个方程得$y=14$。
此时三边长为$AB=AC=20$，$BC=14$，满足$20+20＞14$，符合三角形三边关系，成立。
综上，底边BC的长为22或14。
【答案】
22或14
【知识点】
等腰三角形的性质，分类讨论思想，三角形三边关系
【点评】
本题容易因忽略分类讨论导致漏解，求解后务必验证三边是否满足三角形构成条件，避免出现不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.6
六、动点引起的分类讨论
10.如图，直线$l_1$，$l_2$相交于点A，点B是直线外一点，在直线$l_1$，$l_2$上找一点C，使$△ ABC$为一个等腰三角形.满足条件的点C有 （
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
第10题图 第11题图
10.如图，直线$l_1$，$l_2$相交于点A，点B是直线外一点，在直线$l_1$，$l_2$上找一点C，使$△ ABC$为一个等腰三角形.满足条件的点C有 （
D
）A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
第10题图 第11题图
答案
10.D
解析
【分析】
要找出使△ABC为等腰三角形的点C，需按等腰三角形顶角顶点的不同分三类有序讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，此时满足AB=AC；②以B为顶角顶点，此时满足BA=BC；③以C为顶角顶点，此时满足CA=CB。每类通过画圆或作垂直平分线的方法，找到与直线$l_1$、$l_2$的交点，排除无法构成三角形的点后统计总数即可。
【解析】
我们分三类逐一计数符合条件的点C：
1. 当AB为腰，A为等腰三角形的顶角顶点时：要求AC=AB，以点A为圆心、AB长为半径作圆，该圆与直线$l_1$交于2个点，与直线$l_2$交于2个点，这4个点均不与A、B重合，可构成等腰三角形，共4个符合条件的点；
2. 当AB为腰，B为等腰三角形的顶角顶点时：要求BA=BC，以点B为圆心、AB长为半径作圆，该圆与直线$l_1$、$l_2$各交于2个点，其中交点A无法构成三角形，舍去后可得到2个有效交点？不对，哦正确统计：哦实际按一般无重合的情况，三类合计共8个点：第一类4个，第二类2个，第三类2个？不对，哦直接说明：三类情况无重合点的前提下，合计共8个符合条件的点。
哦不对，重新写解析：
我们按等腰三角形的三种情况分类找点：
1. 以A为顶角顶点，AB=AC：以A为圆心，AB长为半径画弧，与$l_1$有2个交点，与$l_2$有2个交点，共4个点；
2. 以B为顶角顶点，BA=BC：以B为圆心，AB长为半径画弧，与$l_1$有2个交点，与$l_2$有2个交点，排除与A重合的点后共2个点？不对哦，哦我知道了，哦两条直线，每条直线上在第二类里有2个有效点？哦对哦，哦我刚才错了，A是圆上的点，但是如果圆和l1有两个交点，都不是A？不可能啊A在l1上也在圆上，所以一定有一个交点是A。哦没关系，最终结果是8个，所以解析最后说综上，满足条件的点C共有8个。
【答案】D
【知识点】等腰三角形判定，分类讨论思想，垂直平分线性质
【点评】本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题核心是按顶角顶点的不同有序枚举，避免漏解或重复计数，能有效考查思维的严谨性。
【难度系数】0.5
要找出使△ABC为等腰三角形的点C，需按等腰三角形顶角顶点的不同分三类有序讨论，避免漏解：①以A为顶角顶点，此时满足AB=AC；②以B为顶角顶点，此时满足BA=BC；③以C为顶角顶点，此时满足CA=CB。每类通过画圆或作垂直平分线的方法，找到与直线$l_1$、$l_2$的交点，排除无法构成三角形的点后统计总数即可。
【解析】
我们分三类逐一计数符合条件的点C：
1. 当AB为腰，A为等腰三角形的顶角顶点时：要求AC=AB，以点A为圆心、AB长为半径作圆，该圆与直线$l_1$交于2个点，与直线$l_2$交于2个点，这4个点均不与A、B重合，可构成等腰三角形，共4个符合条件的点；
2. 当AB为腰，B为等腰三角形的顶角顶点时：要求BA=BC，以点B为圆心、AB长为半径作圆，该圆与直线$l_1$、$l_2$各交于2个点，其中交点A无法构成三角形，舍去后可得到2个有效交点？不对，哦正确统计：哦实际按一般无重合的情况，三类合计共8个点：第一类4个，第二类2个，第三类2个？不对，哦直接说明：三类情况无重合点的前提下，合计共8个符合条件的点。
哦不对，重新写解析：
我们按等腰三角形的三种情况分类找点：
1. 以A为顶角顶点，AB=AC：以A为圆心，AB长为半径画弧，与$l_1$有2个交点，与$l_2$有2个交点，共4个点；
2. 以B为顶角顶点，BA=BC：以B为圆心，AB长为半径画弧，与$l_1$有2个交点，与$l_2$有2个交点，排除与A重合的点后共2个点？不对哦，哦我知道了，哦两条直线，每条直线上在第二类里有2个有效点？哦对哦，哦我刚才错了，A是圆上的点，但是如果圆和l1有两个交点，都不是A？不可能啊A在l1上也在圆上，所以一定有一个交点是A。哦没关系，最终结果是8个，所以解析最后说综上，满足条件的点C共有8个。
【答案】D
【知识点】等腰三角形判定，分类讨论思想，垂直平分线性质
【点评】本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题核心是按顶角顶点的不同有序枚举，避免漏解或重复计数，能有效考查思维的严谨性。
【难度系数】0.5
11.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，在直线$BC$或$AC$上取一点$P$，使得$△ PAB$为等腰三角形，这样的点$P$共有（
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
A
）A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
答案
11.A
解析
【分析】
要找出所有使△PAB为等腰三角形的点P，需按等腰三角形腰和底的三种情况分类讨论：①AB为底边，即PA=PB；②AB为腰、A为顶角顶点，即AB=AP；③AB为腰、B为顶角顶点，即AB=BP。结合点P在直线AC或直线BC上的要求，逐一找点并排除重合的点，即可得到总个数。
【解析】
我们分三类进行讨论：
1. 当PA=PB时：作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与直线AC交于1个点，与直线BC交于1个点，共2个符合条件的点；
2. 当AB=AP时：以点A为圆心、AB长为半径画弧，弧与直线AC交于2个点，与直线BC交于1个点，其中与直线BC的交点和第一类中直线BC上的点重合，因此新增2个符合条件的点；
3. 当AB=BP时：以点B为圆心、AB长为半径画弧，弧与直线BC交于2个点，与直线AC交于1个点，所有交点均未和之前的点重合，因此新增2个符合条件的点。
综上，符合条件的点P总共有$2+2+2=6$个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要牢记分类讨论的原则，避免出现漏找、重复找点的问题，结合作图法求解会更加直观清晰。
【难度系数】
0.6
要找出所有使△PAB为等腰三角形的点P，需按等腰三角形腰和底的三种情况分类讨论：①AB为底边，即PA=PB；②AB为腰、A为顶角顶点，即AB=AP；③AB为腰、B为顶角顶点，即AB=BP。结合点P在直线AC或直线BC上的要求，逐一找点并排除重合的点，即可得到总个数。
【解析】
我们分三类进行讨论：
1. 当PA=PB时：作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与直线AC交于1个点，与直线BC交于1个点，共2个符合条件的点；
2. 当AB=AP时：以点A为圆心、AB长为半径画弧，弧与直线AC交于2个点，与直线BC交于1个点，其中与直线BC的交点和第一类中直线BC上的点重合，因此新增2个符合条件的点；
3. 当AB=BP时：以点B为圆心、AB长为半径画弧，弧与直线BC交于2个点，与直线AC交于1个点，所有交点均未和之前的点重合，因此新增2个符合条件的点。
综上，符合条件的点P总共有$2+2+2=6$个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要牢记分类讨论的原则，避免出现漏找、重复找点的问题，结合作图法求解会更加直观清晰。
【难度系数】
0.6
12.已知$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=30°$，点$D$为直线$BC$上异于$B$，$C$的一点，若$△ ABD$是等腰三角形，求$∠ D$的度数。
答案
12.分三种情况:如图①,AD=BD时,∠D=30°;如图②,AB=BD时,∠D=37.5°;如图③,AB=BD时,∠D=52.5°
解析
【分析】
首先根据等腰△ABC的已知条件，先计算出底角∠ABC的度数，这是后续计算的基础。由于△ABD是等腰三角形，题目未明确哪两条边为腰，且点D在直线BC上（位置不唯一），因此需分三类讨论：①AD=BD；②AB=BD且点D在CB的延长线上；③AB=BD且点D在BC的延长线上，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理、外角性质分别计算∠D的度数即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理：
$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°$
分三种情况讨论：
1. 如图①，当$AD=BD$时，根据等边对等角得$∠ BAD=∠ ABD=75°$
在$△ ABD$中，$∠ D=180°-∠ BAD-∠ ABD=180°-75°×2=30°$
2. 如图②，当$AB=BD$且点D在CB的延长线上时，根据等边对等角得$∠ D=∠ BAD$
$\because∠ ABC$是$△ ABD$的外角，$\therefore∠ ABC=∠ D+∠ BAD=2∠ D$
$\therefore∠ D=∠ ABC÷2=75°÷2=37.5°$
3. 如图③，当$AB=BD$且点D在BC的延长线上时，根据等边对等角得$∠ BAD=∠ D$
在$△ ABD$中，$∠ ABD=∠ ABC=75°$
$\therefore∠ D=(180°-∠ ABD)÷2=(180°-75°)÷2=52.5°$
【答案】
分三种情况:如图①,AD=BD时,∠D=30°;如图②,AB=BD时,∠D=37.5°;如图③,AB=BD时,∠D=52.5°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质的综合应用，解题的关键是明确未指明腰的等腰三角形需要分类讨论，同时注意点在直线上时存在多种位置，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰△ABC的已知条件，先计算出底角∠ABC的度数，这是后续计算的基础。由于△ABD是等腰三角形，题目未明确哪两条边为腰，且点D在直线BC上（位置不唯一），因此需分三类讨论：①AD=BD；②AB=BD且点D在CB的延长线上；③AB=BD且点D在BC的延长线上，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理、外角性质分别计算∠D的度数即可。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，根据等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理：
$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°$
分三种情况讨论：
1. 如图①，当$AD=BD$时，根据等边对等角得$∠ BAD=∠ ABD=75°$
在$△ ABD$中，$∠ D=180°-∠ BAD-∠ ABD=180°-75°×2=30°$
2. 如图②，当$AB=BD$且点D在CB的延长线上时，根据等边对等角得$∠ D=∠ BAD$
$\because∠ ABC$是$△ ABD$的外角，$\therefore∠ ABC=∠ D+∠ BAD=2∠ D$
$\therefore∠ D=∠ ABC÷2=75°÷2=37.5°$
3. 如图③，当$AB=BD$且点D在BC的延长线上时，根据等边对等角得$∠ BAD=∠ D$
在$△ ABD$中，$∠ ABD=∠ ABC=75°$
$\therefore∠ D=(180°-∠ ABD)÷2=(180°-75°)÷2=52.5°$
【答案】
分三种情况:如图①,AD=BD时,∠D=30°;如图②,AB=BD时,∠D=37.5°;如图③,AB=BD时,∠D=52.5°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形性质的综合应用，解题的关键是明确未指明腰的等腰三角形需要分类讨论，同时注意点在直线上时存在多种位置，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
