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10.约分：
(1)$\frac{-36xy^2z^3}{6yz^2}$；
(2)$\frac{a^3 -4ab^2}{a^2 -4ab +4b^2}$。
(1)$\frac{-36xy^2z^3}{6yz^2}$；
(2)$\frac{a^3 -4ab^2}{a^2 -4ab +4b^2}$。
答案
10.(1)原式$=-6xyz$ (2)原式$=\frac{a^2+2ab}{a-2b}$
解析
【分析】
分式约分的核心是约去分子与分母的公因式，最终结果需为最简分式或整式。
(1) 分子、分母均为单项式，约分思路：先确定符号，再约去系数的最大公约数，最后约去同底数幂的最低次幂即可；
(2) 分子、分母均为多项式，约分思路：先分别对分子、分母因式分解，找到公因式后再约去公因式，因式分解时要注意分解彻底。
【解析】
(1) 分子与分母的公因式为$6yz^2$，分子、分母同时除以$6yz^2$：
$\frac{-36xy^2z^3}{6yz^2}=\frac{-36xy^2z^3÷6yz^2}{6yz^2÷6yz^2}=-6xyz$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^3-4ab^2=a(a^2-4b^2)=a(a+2b)(a-2b)$（先提公因式，再用平方差公式）
分母：$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$（用完全平方公式）
约去分子、分母的公因式$(a-2b)$（隐含条件$a≠2b$）：
$\frac{a^3 -4ab^2}{a^2 -4ab +4b^2}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{(a-2b)^2}=\frac{a(a+2b)}{a-2b}=\frac{a^2+2ab}{a-2b}$
【答案】
(1) $\boxed{-6xyz}$；(2) $\boxed{\dfrac{a^2+2ab}{a-2b}}$
【知识点】
分式的约分；因式分解
【点评】
本题属于分式约分的基础题型，既考查了单项式约分的直接公因式提取方法，也考查了多项式约分前的因式分解能力，解题时要注意多项式需分解彻底，约分后结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.85
分式约分的核心是约去分子与分母的公因式，最终结果需为最简分式或整式。
(1) 分子、分母均为单项式，约分思路：先确定符号，再约去系数的最大公约数，最后约去同底数幂的最低次幂即可；
(2) 分子、分母均为多项式，约分思路：先分别对分子、分母因式分解，找到公因式后再约去公因式，因式分解时要注意分解彻底。
【解析】
(1) 分子与分母的公因式为$6yz^2$，分子、分母同时除以$6yz^2$：
$\frac{-36xy^2z^3}{6yz^2}=\frac{-36xy^2z^3÷6yz^2}{6yz^2÷6yz^2}=-6xyz$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子：$a^3-4ab^2=a(a^2-4b^2)=a(a+2b)(a-2b)$（先提公因式，再用平方差公式）
分母：$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$（用完全平方公式）
约去分子、分母的公因式$(a-2b)$（隐含条件$a≠2b$）：
$\frac{a^3 -4ab^2}{a^2 -4ab +4b^2}=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{(a-2b)^2}=\frac{a(a+2b)}{a-2b}=\frac{a^2+2ab}{a-2b}$
【答案】
(1) $\boxed{-6xyz}$；(2) $\boxed{\dfrac{a^2+2ab}{a-2b}}$
【知识点】
分式的约分；因式分解
【点评】
本题属于分式约分的基础题型，既考查了单项式约分的直接公因式提取方法，也考查了多项式约分前的因式分解能力，解题时要注意多项式需分解彻底，约分后结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.85
11.通分：
(1)$\frac{1}{2x+2},\frac{3}{x^2-1},\frac{x}{x^2+2x+1};$
(2)
(1)$\frac{1}{2x+2},\frac{3}{x^2-1},\frac{x}{x^2+2x+1};$
(2)
答案
11.(1)$\frac{1}{2x+2}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)},\frac{3}{x^2-1}=\frac{6(x+1)}{2(x+1)^2(x-1)},\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{2x(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$ (2)$\frac{x}{4x^2-16x+16}=\frac{3x^2(x+2)}{12x(x+2)(x-2)^2},\frac{1}{6x-3x^2}=-\frac{4(x+2)(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2},\frac{2x}{x^2-4}=\frac{24x^2(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题步骤为：①将每个分式的分母因式分解；②取各分母所有因式的最高次幂的乘积，系数取各分母系数的最小公倍数，得到最简公分母；③根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘最简公分母除以原分母得到的整式，使各分式分母均为最简公分母即可。
【解析】
(1) 先对各分母因式分解：
$2x+2=2(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$
可得最简公分母为$2(x+1)^2(x-1)$，对各分式变形：
$\frac{1}{2x+2}=\frac{1· (x+1)(x-1)}{2(x+1)· (x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
$\frac{3}{x^2-1}=\frac{3· 2(x+1)}{(x+1)(x-1)· 2(x+1)}=\frac{6(x+1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x· 2(x-1)}{(x+1)^2· 2(x-1)}=\frac{2x(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
(2) 先对各分母因式分解：
$4x^2-16x+16=4(x^2-4x+4)=4(x-2)^2$，$6x-3x^2=-3x(x-2)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
可得最简公分母为$12x(x+2)(x-2)^2$，对各分式变形：
$\frac{x}{4x^2-16x+16}=\frac{x· 3x(x+2)}{4(x-2)^2· 3x(x+2)}=\frac{3x^2(x+2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
$\frac{1}{6x-3x^2}=\frac{1· 4(x+2)(x-2)}{-3x(x-2)· 4(x+2)(x-2)}=-\frac{4(x+2)(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
$\frac{2x}{x^2-4}=\frac{2x· 12x(x-2)}{(x+2)(x-2)· 12x(x-2)}=\frac{24x^2(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
【答案】
(1)$\frac{1}{2x+2}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)},\frac{3}{x^2-1}=\frac{6(x+1)}{2(x+1)^2(x-1)},\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{2x(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
(2)$\frac{x}{4x^2-16x+16}=\frac{3x^2(x+2)}{12x(x+2)(x-2)^2},\frac{1}{6x-3x^2}=-\frac{4(x+2)(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2},\frac{2x}{x^2-4}=\frac{24x^2(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
【知识点】
分式的通分；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是正确对分母因式分解，准确确定最简公分母，通分时要注意分母系数的符号及公因式的最高次幂的选取。
【难度系数】
0.7
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题步骤为：①将每个分式的分母因式分解；②取各分母所有因式的最高次幂的乘积，系数取各分母系数的最小公倍数，得到最简公分母；③根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘最简公分母除以原分母得到的整式，使各分式分母均为最简公分母即可。
【解析】
(1) 先对各分母因式分解：
$2x+2=2(x+1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$
可得最简公分母为$2(x+1)^2(x-1)$，对各分式变形：
$\frac{1}{2x+2}=\frac{1· (x+1)(x-1)}{2(x+1)· (x+1)(x-1)}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
$\frac{3}{x^2-1}=\frac{3· 2(x+1)}{(x+1)(x-1)· 2(x+1)}=\frac{6(x+1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
$\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{x· 2(x-1)}{(x+1)^2· 2(x-1)}=\frac{2x(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
(2) 先对各分母因式分解：
$4x^2-16x+16=4(x^2-4x+4)=4(x-2)^2$，$6x-3x^2=-3x(x-2)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$
可得最简公分母为$12x(x+2)(x-2)^2$，对各分式变形：
$\frac{x}{4x^2-16x+16}=\frac{x· 3x(x+2)}{4(x-2)^2· 3x(x+2)}=\frac{3x^2(x+2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
$\frac{1}{6x-3x^2}=\frac{1· 4(x+2)(x-2)}{-3x(x-2)· 4(x+2)(x-2)}=-\frac{4(x+2)(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
$\frac{2x}{x^2-4}=\frac{2x· 12x(x-2)}{(x+2)(x-2)· 12x(x-2)}=\frac{24x^2(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
【答案】
(1)$\frac{1}{2x+2}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)},\frac{3}{x^2-1}=\frac{6(x+1)}{2(x+1)^2(x-1)},\frac{x}{x^2+2x+1}=\frac{2x(x-1)}{2(x+1)^2(x-1)}$
(2)$\frac{x}{4x^2-16x+16}=\frac{3x^2(x+2)}{12x(x+2)(x-2)^2},\frac{1}{6x-3x^2}=-\frac{4(x+2)(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2},\frac{2x}{x^2-4}=\frac{24x^2(x-2)}{12x(x+2)(x-2)^2}$
【知识点】
分式的通分；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是正确对分母因式分解，准确确定最简公分母，通分时要注意分母系数的符号及公因式的最高次幂的选取。
【难度系数】
0.7
12.(运算能力)先化简，再求值：$\frac{2x - 8y}{x^2 - 16y^2}$，其中$x + 4y = -\frac{1}{2}$。
答案
12.原式$=\frac{2}{x+4y}$，当$x+4y=-\frac{1}{2}$时，原式$=-4$
解析
【分析】
解题时先观察分式的分子和分母结构，第一步对分子、分母分别因式分解：分子2x-8y可提取公因式2，分解为2(x-4y)；分母x²-16y²符合平方差公式形式，可分解为(x-4y)(x+4y)。再根据分式约分规则，公因式不为0时可约去，结合已知条件x+4y=-1/2可知原分式分母不为0，因此x-4y≠0，约分后得到最简分式，最后将x+4y整体代入最简分式计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
解：对原式的分子、分母分别因式分解：
分子：$2x - 8y = 2(x - 4y)$
分母：$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
由$x + 4y = -\frac{1}{2} ≠ 0$，可得$x^2 - 16y^2 ≠ 0$，即$x - 4y ≠ 0$，符合约分条件：
$\frac{2x - 8y}{x^2 - 16y^2}=\frac{2(x - 4y)}{(x - 4y)(x + 4y)} = \frac{2}{x + 4y}$
将$x + 4y = -\frac{1}{2}$代入上式：
原式$=\frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
因式分解，分式约分，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是通过因式分解找到分子分母的公因式进行约分，采用整体代入的方法可简化计算，解题时要注意约分的前提是公因式不为0，避免出现分式无意义的情况。
【难度系数】
0.8
解题时先观察分式的分子和分母结构，第一步对分子、分母分别因式分解：分子2x-8y可提取公因式2，分解为2(x-4y)；分母x²-16y²符合平方差公式形式，可分解为(x-4y)(x+4y)。再根据分式约分规则，公因式不为0时可约去，结合已知条件x+4y=-1/2可知原分式分母不为0，因此x-4y≠0，约分后得到最简分式，最后将x+4y整体代入最简分式计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
解：对原式的分子、分母分别因式分解：
分子：$2x - 8y = 2(x - 4y)$
分母：$x^2 - 16y^2 = x^2 - (4y)^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
由$x + 4y = -\frac{1}{2} ≠ 0$，可得$x^2 - 16y^2 ≠ 0$，即$x - 4y ≠ 0$，符合约分条件：
$\frac{2x - 8y}{x^2 - 16y^2}=\frac{2(x - 4y)}{(x - 4y)(x + 4y)} = \frac{2}{x + 4y}$
将$x + 4y = -\frac{1}{2}$代入上式：
原式$=\frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
因式分解，分式约分，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是通过因式分解找到分子分母的公因式进行约分，采用整体代入的方法可简化计算，解题时要注意约分的前提是公因式不为0，避免出现分式无意义的情况。
【难度系数】
0.8
13.(整体思想)(2024·平谷区二模)已知$x = y+4$，求代数式$\frac{2x - 2y}{x^2 - 2xy + y^2}$的值.
答案
13.
∵$x=y+4$，
∴$x-y=4$，$\frac{2x-2y}{x^2-2xy+y^2}=\frac{2(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{2}{x-y}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵$x=y+4$，
∴$x-y=4$，$\frac{2x-2y}{x^2-2xy+y^2}=\frac{2(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{2}{x-y}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
拿到题目后先观察已知条件和待求代数式的特征：首先由已知$x=y+4$可变形得到$x-y=4$这个整体的值；再看待求式，分子可提取公因式2，分母是完全平方式，可因式分解为$(x-y)^2$，将待求式化简为仅含$(x-y)$的形式后，把$x-y=4$整体代入即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的值，用整体思想可简化计算。
【解析】
解：$\because x=y+4$，
$\therefore x-y=4$，
对代数式进行化简：
$\frac{2x - 2y}{x^2 - 2xy + y^2}=\frac{2(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{2}{x-y}$，
将$x-y=4$代入化简后的式子得：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式约分、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题时运用整体代入思想可避免单独求解未知数的繁琐，熟练掌握因式分解的方法是正确化简分式的前提。
【难度系数】
0.8
拿到题目后先观察已知条件和待求代数式的特征：首先由已知$x=y+4$可变形得到$x-y=4$这个整体的值；再看待求式，分子可提取公因式2，分母是完全平方式，可因式分解为$(x-y)^2$，将待求式化简为仅含$(x-y)$的形式后，把$x-y=4$整体代入即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的值，用整体思想可简化计算。
【解析】
解：$\because x=y+4$，
$\therefore x-y=4$，
对代数式进行化简：
$\frac{2x - 2y}{x^2 - 2xy + y^2}=\frac{2(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{2}{x-y}$，
将$x-y=4$代入化简后的式子得：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式约分、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题时运用整体代入思想可避免单独求解未知数的繁琐，熟练掌握因式分解的方法是正确化简分式的前提。
【难度系数】
0.8
14. 新考向 新定义 小学里,我们把分子比分母小的数叫做真分数.类似地,我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称为假分式.任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式.如:$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$.
(1)下列分式中,属于真分式的是 (
A.$\frac{x^2}{x-1}$ B.$\frac{x-1}{x+1}$
C.$-\frac{3}{2x-1}$ D.$\frac{x^2+1}{x^2-1}$
(2)将假分式$\frac{m^2+3}{m+1}$化成整式和真分式的和的形式;
(3)若$\frac{4x^2-3}{2x-1}$的值为整数,求整数$x$的值.
(1)下列分式中,属于真分式的是 (
C
)A.$\frac{x^2}{x-1}$ B.$\frac{x-1}{x+1}$
C.$-\frac{3}{2x-1}$ D.$\frac{x^2+1}{x^2-1}$
(2)将假分式$\frac{m^2+3}{m+1}$化成整式和真分式的和的形式;
(3)若$\frac{4x^2-3}{2x-1}$的值为整数,求整数$x$的值.
答案
14.(1)C (2)$\frac{m^2+3}{m+1}=\frac{m^2-1+4}{m+1}=\frac{m^2-1}{m+1}+\frac{4}{m+1}=m-1+\frac{4}{m+1}$ (3)原式$=\frac{(2x+1)(2x-1)-2}{2x-1}=2x+1-\frac{2}{2x-1}$。
∵原分式的值是整数，
∴$2x-1$是2的因数，
∴$2x-1=±1,±2$，
∵x是整数，
∴x=1或0
∵原分式的值是整数，
∴$2x-1$是2的因数，
∴$2x-1=±1,±2$，
∵x是整数，
∴x=1或0
解析
【分析】
(1) 解题时先明确真分式的定义：分子的次数小于分母的次数的分式为真分式，逐一计算各选项分子、分母的次数，对比后即可选出正确答案。
(2) 假分式化为整式与真分式的和，核心是将分子凑成含分母因式的形式，拆分后能约分的部分得到整式，剩余部分为真分式。本题可将分子$m^2+3$变形为$(m^2-1)+4$，其中$m^2-1$可因式分解出和分母相同的因式$m+1$，拆分约分即可得到结果。
(3) 先仿照第二问的方法将分式拆成整式加真分式的形式，整式部分一定是整数，因此只需保证真分式部分的值为整数即可，即真分式的分母是分子的因数，再结合x为整数的条件筛选出符合要求的x值。
【解析】
(1) 逐一分析选项：
A. 分子$x^2$次数为2，分母$x-1$次数为1，分子次数＞分母次数，是假分式；
B. 分子$x-1$次数为1，分母$x+1$次数为1，分子次数=分母次数，是假分式；
C. 分子$-3$为常数（次数为0），分母$2x-1$次数为1，分子次数＜分母次数，是真分式；
D. 分子$x^2+1$次数为2，分母$x^2-1$次数为2，分子次数=分母次数，是假分式；
故选C。
(2) 对$\frac{m^2+3}{m+1}$变形：
$\frac{m^2+3}{m+1}=\frac{(m^2-1)+4}{m+1}=\frac{(m+1)(m-1)+4}{m+1}=\frac{(m+1)(m-1)}{m+1}+\frac{4}{m+1}=m-1+\frac{4}{m+1}$
(3) 先拆分分式：
$\frac{4x^2-3}{2x-1}=\frac{(4x^2-1)-2}{2x-1}=\frac{(2x+1)(2x-1)-2}{2x-1}=2x+1-\frac{2}{2x-1}$
∵原分式的值为整数，且x为整数时$2x+1$是整数
∴$\frac{2}{2x-1}$为整数，即$2x-1$是2的因数
∴$2x-1$的可能取值为$\pm1,\pm2$
分别计算：
当$2x-1=1$时，$x=1$，符合整数要求；
当$2x-1=-1$时，$x=0$，符合整数要求；
当$2x-1=2$时，$x=\frac{3}{2}$，不是整数，舍去；
当$2x-1=-2$时，$x=-\frac{1}{2}$，不是整数，舍去；
综上，整数x的值为1或0。
【答案】
(1)C
(2)$m-1+\frac{4}{m+1}$
(3)$x=1$或$x=0$
【知识点】
1. 分式新定义
2. 分式的拆分变形
3. 整除的性质
【点评】
本题结合新定义考查分式的相关运算，解题关键是读懂新定义的内容，掌握假分式拆分的方法，求解第三问时要注意整数的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先明确真分式的定义：分子的次数小于分母的次数的分式为真分式，逐一计算各选项分子、分母的次数，对比后即可选出正确答案。
(2) 假分式化为整式与真分式的和，核心是将分子凑成含分母因式的形式，拆分后能约分的部分得到整式，剩余部分为真分式。本题可将分子$m^2+3$变形为$(m^2-1)+4$，其中$m^2-1$可因式分解出和分母相同的因式$m+1$，拆分约分即可得到结果。
(3) 先仿照第二问的方法将分式拆成整式加真分式的形式，整式部分一定是整数，因此只需保证真分式部分的值为整数即可，即真分式的分母是分子的因数，再结合x为整数的条件筛选出符合要求的x值。
【解析】
(1) 逐一分析选项：
A. 分子$x^2$次数为2，分母$x-1$次数为1，分子次数＞分母次数，是假分式；
B. 分子$x-1$次数为1，分母$x+1$次数为1，分子次数=分母次数，是假分式；
C. 分子$-3$为常数（次数为0），分母$2x-1$次数为1，分子次数＜分母次数，是真分式；
D. 分子$x^2+1$次数为2，分母$x^2-1$次数为2，分子次数=分母次数，是假分式；
故选C。
(2) 对$\frac{m^2+3}{m+1}$变形：
$\frac{m^2+3}{m+1}=\frac{(m^2-1)+4}{m+1}=\frac{(m+1)(m-1)+4}{m+1}=\frac{(m+1)(m-1)}{m+1}+\frac{4}{m+1}=m-1+\frac{4}{m+1}$
(3) 先拆分分式：
$\frac{4x^2-3}{2x-1}=\frac{(4x^2-1)-2}{2x-1}=\frac{(2x+1)(2x-1)-2}{2x-1}=2x+1-\frac{2}{2x-1}$
∵原分式的值为整数，且x为整数时$2x+1$是整数
∴$\frac{2}{2x-1}$为整数，即$2x-1$是2的因数
∴$2x-1$的可能取值为$\pm1,\pm2$
分别计算：
当$2x-1=1$时，$x=1$，符合整数要求；
当$2x-1=-1$时，$x=0$，符合整数要求；
当$2x-1=2$时，$x=\frac{3}{2}$，不是整数，舍去；
当$2x-1=-2$时，$x=-\frac{1}{2}$，不是整数，舍去；
综上，整数x的值为1或0。
【答案】
(1)C
(2)$m-1+\frac{4}{m+1}$
(3)$x=1$或$x=0$
【知识点】
1. 分式新定义
2. 分式的拆分变形
3. 整除的性质
【点评】
本题结合新定义考查分式的相关运算，解题关键是读懂新定义的内容，掌握假分式拆分的方法，求解第三问时要注意整数的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
