1.已知$a=-2,b=4$，求分式$\frac{4a^2 -4ab +b^2}{2(3a -b)-2a}$的值。

原式$=\frac{(2a-b)^2}{4a-2b}=\frac{(2a-b)^2}{2(2a-b)}=\frac{2a-b}{2}=-4$

【分析】
拿到分式求值类题目，优先选择先化简再代入求值的思路，可减少计算量。第一步处理分子：观察分子符合完全平方公式的结构特征，可利用完全平方公式因式分解；第二步处理分母：先去括号、合并同类项，再提取公因式完成因式分解；第三步找分子分母的公因式进行约分，将分式化为最简形式；最后代入已知的a、b的值计算结果即可。
【解析】
解：先对分式进行化简：
1. 分解分子：$4a^2 -4ab +b^2=(2a-b)^2$
2. 化简分母：$2(3a -b)-2a=6a-2b-2a=4a-2b=2(2a-b)$
3. 约分：由$a=-2,b=4$，可得$2a-b=2×(-2)-4=-8≠0$，因此可约去公因式$2a-b$，则
原式$=\frac{(2a-b)^2}{2(2a-b)}=\frac{2a-b}{2}$
4. 代入求值：将$a=-2,b=4$代入$\frac{2a-b}{2}$，得
$\frac{2×(-2)-4}{2}=\frac{-4-4}{2}=\frac{-8}{2}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
分式约分；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，通过先约分再代入的方式可大幅简化计算，降低出错概率。解题时要注意先观察分子分母的结构，熟练运用因式分解的方法找公因式，约分前需确认公因式不为0。
【难度系数】
0.8

2.已知$\frac{x}{y}=3$，求$\frac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2}$的值.

$\because \frac{x}{y}=3,\therefore x=3y,\therefore 原式=\frac{9y^2 - y^2}{9y^2 - 6y^2 + y^2}=\frac{8y^2}{4y^2}=2$

【分析】
本题已知两个字母的比值，求分式的值，核心思路是消元计算。首先根据$\frac{x}{y}=3$可推导得到$x=3y$，且隐含条件$y≠0$（否则已知分式无意义），将$x=3y$代入所求分式，分别化简分子、分母后约分就能得到结果。也可以先利用平方差公式、完全平方公式对分式的分子分母因式分解，约分后再代入比值计算，两种方法均符合要求。
【解析】
$\because \frac{x}{y}=3$，
$\therefore x=3y$且$y≠0$，
将$x=3y$代入原式可得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(3y)^2 - y^2}{(3y)^2 - 2·3y· y + y^2}\\&=\frac{9y^2 - y^2}{9y^2 - 6y^2 + y^2}\\&=\frac{8y^2}{4y^2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
$2$
【知识点】
分式约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是分式求值的基础题型，解题关键是利用已知的比值关系完成消元，或先因式分解约分简化计算，解题时要注意分式有意义的隐含条件，避免忽略分母不为0的要求出错。
【难度系数】
0.8

3.已知$2x-y=0$，求$\dfrac{x^2+xy+2y^2}{x^2-xy+3y^2}$的值.

$\because 2x-y=0,\therefore y=2x,\therefore 原式=\frac{x^2 + 2x^2 + 8x^2}{x^2 - 2x^2 + 12x^2}=\frac{11x^2}{11x^2}=1$

【分析】
首先观察已知条件和待求分式的特点，已知条件给出了x与y的等量关系，我们可以先通过等式变形用含x的代数式表示y，再将y代入待求分式中，把二元分式转化为仅含x的一元分式，最后根据分式的基本性质约分，就能求出分式的值，解题时需注意隐含的分式有意义的条件，即分母不能为0。
【解析】
$\because 2x-y=0$，
$\therefore y=2x$，由分式有意义可知$x≠0$（若$x=0$则$y=0$，原式分母为0，无意义）。
将$y=2x$代入原式得：
$\begin{split}原式&=\frac{x^2 + x·2x + 2×(2x)^2}{x^2 - x·2x + 3×(2x)^2} \\&=\frac{x^2 + 2x^2 + 8x^2}{x^2 - 2x^2 + 12x^2} \\&=\frac{11x^2}{11x^2} \\&=1\end{split}$
【答案】
$1$
【知识点】
分式化简求值、代入消元法、分式约分
【点评】
本题是分式求值的基础题型，核心解题思路是利用已知的变量等量关系消元，将多变量代数式转化为单变量代数式后约分求解，解题时要注意验证分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8

4.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}(abc≠0)$，求$\frac{3b+4c}{2a}$的值.

设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k(k≠0)$,则$a=2k,b=3k,c=4k,\therefore \frac{3b+4c}{2a}=\frac{9k+16k}{4k}=\frac{25k}{4k}=\frac{25}{4}$

【分析】
遇到多个变量成连等比例的求值问题时，可采用设参数的方法求解：先设这个相等的比值为非零常数k，就能将a、b、c都用含k的式子表示，再将其代入待求分式，分子分母的k可通过约分消去，最终得到分式的数值结果。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k(k≠0)$，
则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$，
将上述表达式代入$\frac{3b+4c}{2a}$得：
$\frac{3b+4c}{2a}=\frac{3×3k + 4×4k}{2×2k}=\frac{9k+16k}{4k}=\frac{25k}{4k}$，
∵$k≠0$，约分后可得结果为$\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{25}{4}$
【知识点】
比例的性质，分式约分，代数式求值
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，核心考察连比式的常用处理技巧，通过设参数将多个未知量统一为同一个参数表示，代入后消去参数即可得到结果，熟练掌握该方法可快速解决同类比例求值问题。
【难度系数】
0.8

5.已知$a:b:c=1:2:3$,求$\frac{b^2 + 2c^2}{a^2}$的值.

$\because a:b:c=1:2:3,\therefore 可设a=k,b=2k,c=3k(k≠0),\therefore \frac{b^2 + 2c^2}{a^2}=\frac{4k^2 + 18k^2}{k^2}=\frac{22k^2}{k^2}=22$

【分析】
本题给出了a、b、c的连比关系，要求分式的值，解题时可采用参数法：遇到连比类的条件，我们可以设每份为参数k（k≠0，避免分母为0无意义），将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入所求分式，最后通过约分化简消去参数k，即可得到分式的数值。
【解析】
∵ $a:b:c=1:2:3$，
∴ 可设$a=k$，$b=2k$，$c=3k$（$k≠0$），
将其代入分式得：
$\frac{b^2 + 2c^2}{a^2}=\frac{(2k)^2 + 2×(3k)^2}{k^2}=\frac{4k^2 + 18k^2}{k^2}=\frac{22k^2}{k^2}=22$
【答案】
22
【知识点】
比例的应用；分式约分；代数式求值
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，核心解题技巧是针对连比条件合理设参数，代入后参数可通过约分消去，无需额外求解参数的值，这种方法在涉及比例的代数式求值问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

6.已知$x - y = 3xy$，求$\dfrac{2x + 5xy - 2y}{4x - 3xy - 4y}$的值.

原式$=\frac{2(x-y)+5xy}{4(x-y)-3xy}=\frac{2×3xy+5xy}{4×3xy-3xy}=\frac{11xy}{9xy}=\frac{11}{9}$

【分析】
解题时先观察已知条件和待求分式的结构，发现待求分式的分子、分母中都包含x与y的差的组合项，因此可以先通过提公因式，把分子、分母分别整理为含有(x-y)的整体形式，再将已知的x-y=3xy整体代入变形后的式子，就能消去未知数，约分后得到结果，不需要单独求出x、y的具体值。
【解析】
先对待求分式的分子、分母进行变形：
分子：$2x + 5xy - 2y = 2(x - y) + 5xy$
分母：$4x - 3xy - 4y = 4(x - y) - 3xy$
将$x - y = 3xy$代入上述变形后的式子：
分子$=2×3xy + 5xy = 6xy + 5xy = 11xy$
分母$=4×3xy - 3xy = 12xy - 3xy = 9xy$
由分式有意义的条件可得$xy≠0$，约去公因式$xy$，得：
原式$=\dfrac{11xy}{9xy}=\dfrac{11}{9}$
【答案】
$\dfrac{11}{9}$
【知识点】
整体代入求值、分式约分、提公因式因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，核心是运用整体思想简化计算，规避了单独求解未知数的繁琐，解题的关键是准确识别待求式与已知条件的结构关联，合理变形后代入计算。
【难度系数】
0.7

7.已知$x^2 - 3x + 2 = 0$，求$\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2 - 2x + 2}$的值。

$\because x^2 - 3x + 2 = 0,\therefore x^2 + 2 = 3x,\therefore \frac{\sqrt{3}x}{x^2 - 2x + 2}=\frac{\sqrt{3}x}{3x - 2x}=\frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$

【分析】
拿到题目后，先观察已知方程和待求分式的结构特征，发现待求分式的分母包含$x^2+2$的部分，我们可以先对已知方程做移项变形，得到$x^2+2=3x$，再把这个式子整体代入待求分式的分母，就能简化分母的表达式，不需要先解一元二次方程求x的值，减少运算量。另外还要注意验证x不为0，保证后续约分符合分式的基本性质。
【解析】
已知$x^2 - 3x + 2 = 0$，移项可得$x^2 + 2 = 3x$。
将$x=0$代入原方程左边，得$0-0+2=2≠0$，因此$x≠0$。
把$x^2 + 2 = 3x$代入待求分式：
$\dfrac{\sqrt{3}x}{x^2 - 2x + 2}=\dfrac{\sqrt{3}x}{(x^2 + 2) - 2x}=\dfrac{\sqrt{3}x}{3x - 2x}=\dfrac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
整体代入法，分式约分，代数式求值
【点评】
本题属于分式求值的基础技巧题，解题关键是找到已知式和待求式之间的共同结构，运用整体代入的方法简化运算，避免了解方程代入的繁琐，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

8.(教材 P145 习题 T12 变式)已知 $a+\dfrac{1}{a}=2$，且 $\dfrac{a^4 +5a^2 m +1}{2a^3 -3a^2 +2a}=7$，求 $m$ 的值.

$\because \frac{a^4 +5a^2 m +1}{2a^3 -3a^2 +2a}=7,\therefore \frac{a^2 +5m +\frac{1}{a^2}}{2a - 3 + \frac{2}{a}}=7,\therefore \frac{a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} +5m -2}{2(a+\frac{1}{a})-3}=7,\therefore \frac{(a+\frac{1}{a})^2 +5m -2}{2(a+\frac{1}{a})-3}=7$,把$a+\frac{1}{a}=2$代入得$\frac{2^2 +5m -2}{2×2 -3}=7$,解得$m=1$

【分析】
已知$a+\frac{1}{a}=2$，直接求解$a$的值计算繁琐，首先观察分式结构：分子为四次多项式、分母为三次多项式，且$a≠0$（否则$\frac{1}{a}$无意义），因此可利用分式基本性质将分子分母同除以$a^2$，把式子转化为含有$a+\frac{1}{a}$、$a^2+\frac{1}{a^2}$的形式，再借助完全平方公式将$a^2+\frac{1}{a^2}$变形为$(a+\frac{1}{a})^2-2$，最后整体代入已知条件即可求出$m$的值。
【解析】
$\because a+\frac{1}{a}=2$，$\therefore a≠0$，
对等式$\frac{a^4 +5a^2 m +1}{2a^3 -3a^2 +2a}=7$的分子、分母同时除以$a^2$，得：
$\frac{a^2 +5m +\frac{1}{a^2}}{2a - 3 + \frac{2}{a}}=7$，
将分子凑完全平方、分母提取公因式2，得：
$\frac{(a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}) +5m -2}{2(a+\frac{1}{a})-3}=7$，即$\frac{(a+\frac{1}{a})^2 +5m -2}{2(a+\frac{1}{a})-3}=7$，
把$a+\frac{1}{a}=2$代入上式，得：
$\frac{2^2 +5m -2}{2×2 -3}=7$，
化简得$2+5m=7$，解得$m=1$。
【答案】
$m=1$
【知识点】
分式的基本性质；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是分式约分求值的典型题型，核心是通过分式基本性质对高次分式降次，结合完全平方公式的变形，运用整体代入思想简化运算，避免了求解$a$的值的繁琐步骤，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7