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10.计算：
(1)$\frac{x^2 - 4}{x + 2} · \frac{1}{x - 2} ÷ (x - 2)$；
(2)$( \frac{1 - x}{3 - x} )^2 ÷ ( \frac{x^2 - 6x + 9}{9 - x^2} )^2 · \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$。
(1)$\frac{x^2 - 4}{x + 2} · \frac{1}{x - 2} ÷ (x - 2)$；
(2)$( \frac{1 - x}{3 - x} )^2 ÷ ( \frac{x^2 - 6x + 9}{9 - x^2} )^2 · \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$。
答案
(1)原式$=\dfrac{1}{x-2}$；(2)原式$=\dfrac{(x+3)^2}{(x-3)^4}$
解析
【分析】
这两道题属于分式的混合运算题，解题思路如下：1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右依次计算；2. 先利用平方差公式、完全平方公式对各分式的分子、分母因式分解，便于后续约分；3. 遇到除法运算时，转化为乘法运算（除以一个式子等于乘它的倒数）；4. 最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。第一题是乘除混合运算，先分解第一个分式的分子，再统一为乘法运算约分即可；第二题先计算分式的乘方，再因式分解各部分，统一为乘法后约分即可。
【解析】
(1) 先因式分解分子，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2} · \frac{1}{x-2} · \frac{1}{x-2}$
约去分子分母的公因式$x+2$、$x-2$，得：
原式$=\frac{1}{x-2}$
(2) 先计算乘方，再因式分解各部分，将除法转化为乘法：
先因式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$9-x^2=(3-x)(3+x)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，偶次幂运算可抵消负号，即$(1-x)^2=(x-1)^2$，$(3-x)^2=(x-3)^2$。
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x-3)^2} ÷ ( \frac{(x-3)^2}{(3-x)(3+x)} )^2 · \frac{1}{(x-1)^2}$
计算乘方并化简：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x-3)^2} ÷ \frac{(x-3)^2}{(x+3)^2} · \frac{1}{(x-1)^2}$
将除法转为乘法：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)^2}{(x-3)^2} · \frac{1}{(x-1)^2}$
约去公因式$(x-1)^2$，合并得：
原式$=\frac{(x+3)^2}{(x-3)^4}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{x-2}$；(2) $\dfrac{(x+3)^2}{(x-3)^4}$
【知识点】
分式乘除运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要严格遵循运算顺序，提前对分子分母因式分解可简化计算过程，乘方运算时注意偶次幂可抵消负号，避免符号类错误。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式的混合运算题，解题思路如下：1. 遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右依次计算；2. 先利用平方差公式、完全平方公式对各分式的分子、分母因式分解，便于后续约分；3. 遇到除法运算时，转化为乘法运算（除以一个式子等于乘它的倒数）；4. 最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。第一题是乘除混合运算，先分解第一个分式的分子，再统一为乘法运算约分即可；第二题先计算分式的乘方，再因式分解各部分，统一为乘法后约分即可。
【解析】
(1) 先因式分解分子，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2} · \frac{1}{x-2} · \frac{1}{x-2}$
约去分子分母的公因式$x+2$、$x-2$，得：
原式$=\frac{1}{x-2}$
(2) 先计算乘方，再因式分解各部分，将除法转化为乘法：
先因式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$9-x^2=(3-x)(3+x)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，偶次幂运算可抵消负号，即$(1-x)^2=(x-1)^2$，$(3-x)^2=(x-3)^2$。
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x-3)^2} ÷ ( \frac{(x-3)^2}{(3-x)(3+x)} )^2 · \frac{1}{(x-1)^2}$
计算乘方并化简：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x-3)^2} ÷ \frac{(x-3)^2}{(x+3)^2} · \frac{1}{(x-1)^2}$
将除法转为乘法：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)^2}{(x-3)^2} · \frac{1}{(x-1)^2}$
约去公因式$(x-1)^2$，合并得：
原式$=\frac{(x+3)^2}{(x-3)^4}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{x-2}$；(2) $\dfrac{(x+3)^2}{(x-3)^4}$
【知识点】
分式乘除运算、分式的乘方、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时要严格遵循运算顺序，提前对分子分母因式分解可简化计算过程，乘方运算时注意偶次幂可抵消负号，避免符号类错误。
【难度系数】
0.7
11.(运算能力)计算$\frac{a^2 -1}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{a+1}{a-1} · \frac{1 -a}{a+1}$，下面是小翔的计算过程，小翔的计算过程是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若不正确，请改正.
解：原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} ÷ (-1) = \frac{1+a}{1 -a}.$
解：原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} ÷ (-1) = \frac{1+a}{1 -a}.$
答案
不正确，正确的计算过程如下:原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1} =\dfrac{1-a}{1+a}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘除混合运算，解题思路如下：1.明确运算规则：分式的乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，不能随意打乱运算顺序；2.运算时先将除法转化为乘法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；3.对分子、分母能因式分解的先因式分解，再逐步约分得到最简结果。小翔的错误是违反了乘除同级运算的顺序，提前计算了右侧的乘法，导致结果错误。
【解析】
小翔的计算过程不正确，错误原因是乘除为同级运算，需从左到右依次计算，他违规先计算了后两项的运算，不符合运算顺序要求。正确计算步骤如下：
第一步，将除法转化为乘法：除以$\frac{a+1}{a-1}$等价于乘它的倒数$\frac{a-1}{a+1}$，因此原式变形为：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \frac{a-1}{a+1} · \frac{1-a}{a+1}$
第二步，约分计算：分子的$(a+1)$与分母的$(a+1)$约去，分子的$(a-1)$与分母的$(a-1)^2$约去1个$(a-1)$，剩余分母的$(a-1)$和后一项分子的$(a-1)$约去，最终得到最简结果。
【答案】
不正确，正确的计算过程如下:原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1} =\dfrac{1-a}{1+a}$
【知识点】
1.分式乘除混合运算 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心易错点是忽略乘除同级运算的顺序，不少同学会为了简便提前计算后两项，导致运算错误。解题时要牢记先把所有除法转化为乘法，再按从左到右的顺序约分计算，即可避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的乘除混合运算，解题思路如下：1.明确运算规则：分式的乘除属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，不能随意打乱运算顺序；2.运算时先将除法转化为乘法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；3.对分子、分母能因式分解的先因式分解，再逐步约分得到最简结果。小翔的错误是违反了乘除同级运算的顺序，提前计算了右侧的乘法，导致结果错误。
【解析】
小翔的计算过程不正确，错误原因是乘除为同级运算，需从左到右依次计算，他违规先计算了后两项的运算，不符合运算顺序要求。正确计算步骤如下：
第一步，将除法转化为乘法：除以$\frac{a+1}{a-1}$等价于乘它的倒数$\frac{a-1}{a+1}$，因此原式变形为：
$\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \frac{a-1}{a+1} · \frac{1-a}{a+1}$
第二步，约分计算：分子的$(a+1)$与分母的$(a+1)$约去，分子的$(a-1)$与分母的$(a-1)^2$约去1个$(a-1)$，剩余分母的$(a-1)$和后一项分子的$(a-1)$约去，最终得到最简结果。
【答案】
不正确，正确的计算过程如下:原式$=\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} · \dfrac{a-1}{a+1} · \dfrac{1-a}{a+1} =\dfrac{1-a}{1+a}$
【知识点】
1.分式乘除混合运算 2.因式分解 3.分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心易错点是忽略乘除同级运算的顺序，不少同学会为了简便提前计算后两项，导致运算错误。解题时要牢记先把所有除法转化为乘法，再按从左到右的顺序约分计算，即可避免出错。
【难度系数】
0.7
12. 新考向 创新思维 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$知$x≠0$,所以$\frac{x^2 +1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$,所以$\frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$,故$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解下面的题目:
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=\frac{1}{5}$,求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$知$x≠0$,所以$\frac{x^2 +1}{x}=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$,所以$\frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$,故$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒数法”解下面的题目:
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=\frac{1}{5}$,求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.
答案
由$\dfrac{x}{x^2 -3x +1}=\dfrac{1}{5}$知$x≠0$,$\therefore \dfrac{x^2 -3x +1}{x}=5$,即$x-3+\dfrac{1}{x}=5$,$\therefore x+\dfrac{1}{x}=8$,$\therefore \dfrac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2 -1=8^2 -1=63$,$\therefore \dfrac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\dfrac{1}{63}$
解析
【分析】
观察已知条件和待求分式的特征，均为分子次数比分母次数低1次，适合用题干给出的“倒数法”求解。首先由已知分式的值不为0可判断x≠0，满足取倒数的条件；接着对已知分式取倒数、拆分后求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求分式取倒数、拆分，利用完全平方公式将其转化为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入计算后再取倒数即可得到结果。
【解析】
由$\dfrac{x}{x^2 -3x +1}=\dfrac{1}{5}$知$x≠0$，$\therefore \dfrac{x^2 -3x +1}{x}=5$，即$x-3+\dfrac{1}{x}=5$，$\therefore x+\dfrac{1}{x}=8$。
$\therefore \dfrac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2 -2 +1=(x+\dfrac{1}{x})^2 -1=8^2 -1=63$，
$\therefore \dfrac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\dfrac{1}{63}$。
【答案】
$\dfrac{1}{63}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，倒数法求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是灵活运用题干给出的倒数法，结合分式性质和完全平方公式变形，可大幅降低高次分式求值的计算难度，解题时要注意先判断分母不为0，保证取倒数的操作合法。
【难度系数】
0.7
观察已知条件和待求分式的特征，均为分子次数比分母次数低1次，适合用题干给出的“倒数法”求解。首先由已知分式的值不为0可判断x≠0，满足取倒数的条件；接着对已知分式取倒数、拆分后求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求分式取倒数、拆分，利用完全平方公式将其转化为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入计算后再取倒数即可得到结果。
【解析】
由$\dfrac{x}{x^2 -3x +1}=\dfrac{1}{5}$知$x≠0$，$\therefore \dfrac{x^2 -3x +1}{x}=5$，即$x-3+\dfrac{1}{x}=5$，$\therefore x+\dfrac{1}{x}=8$。
$\therefore \dfrac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2 -2 +1=(x+\dfrac{1}{x})^2 -1=8^2 -1=63$，
$\therefore \dfrac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\dfrac{1}{63}$。
【答案】
$\dfrac{1}{63}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，倒数法求值
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是灵活运用题干给出的倒数法，结合分式性质和完全平方公式变形，可大幅降低高次分式求值的计算难度，解题时要注意先判断分母不为0，保证取倒数的操作合法。
【难度系数】
0.7
例 已知$x^2 - 3x -1 = 0$.求$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值.
答案
由$x^2 -3x -1=0$可知$x≠0$,在$x^2 -3x -1=0$两边都除以$x$,得$x-3-\dfrac{1}{x}=0$,$x-\dfrac{1}{x}=3$,$\therefore (x-\dfrac{1}{x})^2=9$,$x^2 -2+\dfrac{1}{x^2}=9$,$x^2 +\dfrac{1}{x^2}=11$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，它符合完全平方公式展开后的结构，可通过$(x\pm\frac{1}{x})^2$变形得到，因此需要先构造出$x$与$\frac{1}{x}$的和或差的形式。第一步先判断$x$的取值：将$x=0$代入原方程，左边为$-1≠0$，可知$x≠0$，因此可以在原方程两边同时除以$x$，得到$x-\frac{1}{x}$的值，再对其两边平方，整理后即可求出目标代数式的值。
【解析】
解：$\because x^2 - 3x -1 = 0$，
把$x=0$代入方程左边得：$0-0-1=-1≠0$，
$\therefore x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 3 - \frac{1}{x} = 0$，
整理得：$x - \frac{1}{x} = 3$，
将等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$，
由完全平方公式展开左边：$x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，
即$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11$。
【答案】
$11$
【知识点】
等式的性质；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，解题时需注意在对等式两边除以含未知数的式子前，要先判断该式子不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，它符合完全平方公式展开后的结构，可通过$(x\pm\frac{1}{x})^2$变形得到，因此需要先构造出$x$与$\frac{1}{x}$的和或差的形式。第一步先判断$x$的取值：将$x=0$代入原方程，左边为$-1≠0$，可知$x≠0$，因此可以在原方程两边同时除以$x$，得到$x-\frac{1}{x}$的值，再对其两边平方，整理后即可求出目标代数式的值。
【解析】
解：$\because x^2 - 3x -1 = 0$，
把$x=0$代入方程左边得：$0-0-1=-1≠0$，
$\therefore x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 3 - \frac{1}{x} = 0$，
整理得：$x - \frac{1}{x} = 3$，
将等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$，
由完全平方公式展开左边：$x^2 - 2· x·\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$，
即$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11$。
【答案】
$11$
【知识点】
等式的性质；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，解题时需注意在对等式两边除以含未知数的式子前，要先判断该式子不为0，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
1.已知$a+\frac{1}{a}=5$，则$a^2+\frac{1}{a^2}=$
23
，$a^4+\frac{1}{a^4}=$527
，$a-\frac{1}{a}=$$\pm\sqrt{21}$
。答案
23；527；$\pm\sqrt{21}$
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解。首先观察所求代数式与已知条件的关系：①求$a^2+\frac{1}{a^2}$，可将已知$a+\frac{1}{a}=5$两边同时平方，利用完全平方公式展开后即可得到含$a^2+\frac{1}{a^2}$的式子，移项计算即可；②求$a^4+\frac{1}{a^4}$，可将第一步得到的$a^2+\frac{1}{a^2}$的结果再次平方，同理展开计算即可；③求$a-\frac{1}{a}$，可先计算$(a-\frac{1}{a})^2$，利用完全平方公式展开后代入已得的$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，再开平方即可，注意平方根有正负两个结果。
【解析】
1. 计算$a^2+\frac{1}{a^2}$：
将$a+\frac{1}{a}=5$两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = 5^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 25$
化简得：$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 25$
移项得：$a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 - 2 = 23$
2. 计算$a^4+\frac{1}{a^4}$：
将$a^2+\frac{1}{a^2}=23$两边同时平方，得：
$(a^2+\frac{1}{a^2})^2 = 23^2$
展开左边：$a^4 + 2· a^2· \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 529$
化简得：$a^4 + \frac{1}{a^4} + 2 = 529$
移项得：$a^4 + \frac{1}{a^4} = 529 - 2 = 527$
3. 计算$a-\frac{1}{a}$：
先计算$(a-\frac{1}{a})^2$，展开得：
$(a-\frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
代入$a^2 + \frac{1}{a^2}=23$，得：
$(a-\frac{1}{a})^2 = 23 - 2 = 21$
对等式两边开平方，得：$a-\frac{1}{a} = \pm\sqrt{21}$
【答案】
23；527；$\pm\sqrt{21}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题核心是完全平方公式的变形应用，解题时要注意观察已知和所求代数式的结构联系，灵活对完全平方公式进行变形，开平方时不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题可利用完全平方公式的变形求解。首先观察所求代数式与已知条件的关系：①求$a^2+\frac{1}{a^2}$，可将已知$a+\frac{1}{a}=5$两边同时平方，利用完全平方公式展开后即可得到含$a^2+\frac{1}{a^2}$的式子，移项计算即可；②求$a^4+\frac{1}{a^4}$，可将第一步得到的$a^2+\frac{1}{a^2}$的结果再次平方，同理展开计算即可；③求$a-\frac{1}{a}$，可先计算$(a-\frac{1}{a})^2$，利用完全平方公式展开后代入已得的$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，再开平方即可，注意平方根有正负两个结果。
【解析】
1. 计算$a^2+\frac{1}{a^2}$：
将$a+\frac{1}{a}=5$两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2 = 5^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 25$
化简得：$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 25$
移项得：$a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 - 2 = 23$
2. 计算$a^4+\frac{1}{a^4}$：
将$a^2+\frac{1}{a^2}=23$两边同时平方，得：
$(a^2+\frac{1}{a^2})^2 = 23^2$
展开左边：$a^4 + 2· a^2· \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 529$
化简得：$a^4 + \frac{1}{a^4} + 2 = 529$
移项得：$a^4 + \frac{1}{a^4} = 529 - 2 = 527$
3. 计算$a-\frac{1}{a}$：
先计算$(a-\frac{1}{a})^2$，展开得：
$(a-\frac{1}{a})^2 = a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
代入$a^2 + \frac{1}{a^2}=23$，得：
$(a-\frac{1}{a})^2 = 23 - 2 = 21$
对等式两边开平方，得：$a-\frac{1}{a} = \pm\sqrt{21}$
【答案】
23；527；$\pm\sqrt{21}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题核心是完全平方公式的变形应用，解题时要注意观察已知和所求代数式的结构联系，灵活对完全平方公式进行变形，开平方时不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2.已知$m^2 -6m +1=0$.求$m^2 + \frac{1}{m^2}=$
34
.答案
34
解析
【分析】
解题时先观察已知方程和所求代数式的特征：首先判断$m ≠ 0$，若$m=0$，代入已知方程左边得1，等式不成立；因此可利用等式的性质给方程两边同时除以$m$，得到$m+\frac{1}{m}$的值；再结合完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将$m$和$\frac{1}{m}$看作公式中的$a$和$b$，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $m^2 - 6m + 1 = 0$，
∴ 易知$m ≠ 0$（若$m=0$，代入方程左边得$1 ≠ 0$，矛盾），
将方程两边同时除以$m$，得：
$m - 6 + \frac{1}{m} = 0$，
移项得：$m + \frac{1}{m} = 6$，
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + \frac{1}{m^2} = (m + \frac{1}{m})^2 - 2 · m · \frac{1}{m}$，
将$m + \frac{1}{m} = 6$代入上式：
原式$= 6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$。
【答案】
34
【知识点】
等式的性质；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题的解题突破口是对已知方程做合理变形，得到$m+\frac{1}{m}$的值，再利用完全平方公式的变形求解，解题时要注意先验证$m ≠ 0$，才可在方程两边同时除以$m$，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知方程和所求代数式的特征：首先判断$m ≠ 0$，若$m=0$，代入已知方程左边得1，等式不成立；因此可利用等式的性质给方程两边同时除以$m$，得到$m+\frac{1}{m}$的值；再结合完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，将$m$和$\frac{1}{m}$看作公式中的$a$和$b$，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $m^2 - 6m + 1 = 0$，
∴ 易知$m ≠ 0$（若$m=0$，代入方程左边得$1 ≠ 0$，矛盾），
将方程两边同时除以$m$，得：
$m - 6 + \frac{1}{m} = 0$，
移项得：$m + \frac{1}{m} = 6$，
根据完全平方公式变形可得：
$m^2 + \frac{1}{m^2} = (m + \frac{1}{m})^2 - 2 · m · \frac{1}{m}$，
将$m + \frac{1}{m} = 6$代入上式：
原式$= 6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$。
【答案】
34
【知识点】
等式的性质；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题的解题突破口是对已知方程做合理变形，得到$m+\frac{1}{m}$的值，再利用完全平方公式的变形求解，解题时要注意先验证$m ≠ 0$，才可在方程两边同时除以$m$，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
3.已知$a-\frac{1}{a}=4$，那么$a^2+\frac{1}{a^2}=$
18
，$(a - 2)^2=$5
。答案
18；5
解析
【分析】
解题思路如下：1. 求$a^2+\frac{1}{a^2}$时，观察到已知式是$a-\frac{1}{a}$，两者符合完全平方公式的结构特征，可将已知等式两边同时平方，利用完全平方公式展开，结合$a·\frac{1}{a}=1$的特点即可求出结果；2. 求$(a-2)^2$时，先利用完全平方公式展开该式，再将已知的$a-\frac{1}{a}=4$两边同乘不为0的$a$，变形得到展开式所需的$a^2-4a$的值，整体代入计算即可。
【解析】
1. 计算$a^2+\frac{1}{a^2}$：
已知$a-\frac{1}{a}=4$，将等式两边同时平方，得：
$(a-\frac{1}{a})^2=4^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 - 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=16$
化简得：$a^2 -2 +\frac{1}{a^2}=16$
移项得：$a^2+\frac{1}{a^2}=16+2=18$
2. 计算$(a-2)^2$：
先将$a-\frac{1}{a}=4$两边同乘$a$（由$\frac{1}{a}$有意义可知$a≠0$，符合等式性质），得：
$a^2 -1=4a$
整理得：$a^2-4a=1$
再展开$(a-2)^2$：$(a-2)^2=a^2-4a+4$
将$a^2-4a=1$代入上式，得：$1+4=5$
【答案】
18；5
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形和整体代入的求值思想，解题时要注意观察已知式和待求式的结构关联，同时不要忽略分式有意义的隐含条件，熟练掌握完全平方公式的常见变形是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 求$a^2+\frac{1}{a^2}$时，观察到已知式是$a-\frac{1}{a}$，两者符合完全平方公式的结构特征，可将已知等式两边同时平方，利用完全平方公式展开，结合$a·\frac{1}{a}=1$的特点即可求出结果；2. 求$(a-2)^2$时，先利用完全平方公式展开该式，再将已知的$a-\frac{1}{a}=4$两边同乘不为0的$a$，变形得到展开式所需的$a^2-4a$的值，整体代入计算即可。
【解析】
1. 计算$a^2+\frac{1}{a^2}$：
已知$a-\frac{1}{a}=4$，将等式两边同时平方，得：
$(a-\frac{1}{a})^2=4^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 - 2· a·\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=16$
化简得：$a^2 -2 +\frac{1}{a^2}=16$
移项得：$a^2+\frac{1}{a^2}=16+2=18$
2. 计算$(a-2)^2$：
先将$a-\frac{1}{a}=4$两边同乘$a$（由$\frac{1}{a}$有意义可知$a≠0$，符合等式性质），得：
$a^2 -1=4a$
整理得：$a^2-4a=1$
再展开$(a-2)^2$：$(a-2)^2=a^2-4a+4$
将$a^2-4a=1$代入上式，得：$1+4=5$
【答案】
18；5
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形和整体代入的求值思想，解题时要注意观察已知式和待求式的结构关联，同时不要忽略分式有意义的隐含条件，熟练掌握完全平方公式的常见变形是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.(倒数法)已知$m+\frac{1}{m}=3$，则$\frac{m^2}{4m^4 - m^2 + 4}=$
$\dfrac{1}{27}$
，$m-\frac{1}{m}=$$\pm\sqrt{5}$
。答案
$\dfrac{1}{27}$；$\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
对于第一个求值式，分子为二次式，分母为四次式，直接代入已知条件计算困难，结合已知是$m+\frac{1}{m}$的和的形式，考虑使用倒数法：先求原式的倒数，利用分式基本性质，将倒数式的分子分母同除以$m^2$，转化为含$m^2+\frac{1}{m^2}$的式子；再通过对$m+\frac{1}{m}=3$两边平方，求出$m^2+\frac{1}{m^2}$的值，即可得到原式的值。
对于第二个求值式，利用完全平方公式的变形关系：$(m-\frac{1}{m})^2=(m+\frac{1}{m})^2-4$，代入已知计算出平方值后开方，注意开平方有正负两个结果。
【解析】
首先由$m+\frac{1}{m}=3$可知$m≠0$。
1. 求$\frac{m^2}{4m^4 - m^2 + 4}$的值：
先取原式的倒数，得：
$\frac{4m^4 - m^2 + 4}{m^2}=4m^2 - 1 + \frac{4}{m^2}=4(m^2+\frac{1}{m^2})-1$
将$m+\frac{1}{m}=3$两边平方，得：
$(m+\frac{1}{m})^2=m^2 + 2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=m^2+\frac{1}{m^2}+2=9$
解得$m^2+\frac{1}{m^2}=9-2=7$
代入倒数式得：$4×7 -1=27$，因此$\frac{m^2}{4m^4 - m^2 + 4}=\frac{1}{27}$。
2. 求$m-\frac{1}{m}$的值：
由完全平方公式变形得：
$(m-\frac{1}{m})^2=m^2 - 2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=(m^2+\frac{1}{m^2})-2$
将$m^2+\frac{1}{m^2}=7$代入得：$(m-\frac{1}{m})^2=7-2=5$
开平方得$m-\frac{1}{m}=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{27}$；$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1. 倒数法化简求值
2. 完全平方公式变形
3. 分式基本性质
【点评】
本题重点考查倒数法在分式求值中的应用，以及完全平方公式的灵活变形，解题时要注意开平方时存在正负两种结果，不要漏解。
【难度系数】
0.7
对于第一个求值式，分子为二次式，分母为四次式，直接代入已知条件计算困难，结合已知是$m+\frac{1}{m}$的和的形式，考虑使用倒数法：先求原式的倒数，利用分式基本性质，将倒数式的分子分母同除以$m^2$，转化为含$m^2+\frac{1}{m^2}$的式子；再通过对$m+\frac{1}{m}=3$两边平方，求出$m^2+\frac{1}{m^2}$的值，即可得到原式的值。
对于第二个求值式，利用完全平方公式的变形关系：$(m-\frac{1}{m})^2=(m+\frac{1}{m})^2-4$，代入已知计算出平方值后开方，注意开平方有正负两个结果。
【解析】
首先由$m+\frac{1}{m}=3$可知$m≠0$。
1. 求$\frac{m^2}{4m^4 - m^2 + 4}$的值：
先取原式的倒数，得：
$\frac{4m^4 - m^2 + 4}{m^2}=4m^2 - 1 + \frac{4}{m^2}=4(m^2+\frac{1}{m^2})-1$
将$m+\frac{1}{m}=3$两边平方，得：
$(m+\frac{1}{m})^2=m^2 + 2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=m^2+\frac{1}{m^2}+2=9$
解得$m^2+\frac{1}{m^2}=9-2=7$
代入倒数式得：$4×7 -1=27$，因此$\frac{m^2}{4m^4 - m^2 + 4}=\frac{1}{27}$。
2. 求$m-\frac{1}{m}$的值：
由完全平方公式变形得：
$(m-\frac{1}{m})^2=m^2 - 2· m·\frac{1}{m}+\frac{1}{m^2}=(m^2+\frac{1}{m^2})-2$
将$m^2+\frac{1}{m^2}=7$代入得：$(m-\frac{1}{m})^2=7-2=5$
开平方得$m-\frac{1}{m}=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{27}$；$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
1. 倒数法化简求值
2. 完全平方公式变形
3. 分式基本性质
【点评】
本题重点考查倒数法在分式求值中的应用，以及完全平方公式的灵活变形，解题时要注意开平方时存在正负两种结果，不要漏解。
【难度系数】
0.7
