1.化简：$2x ÷ \dfrac{x}{y} · \dfrac{1}{x}$的结果是 （）

A.2
B.$2xy$
C.$\dfrac{2y}{x}$
D.$\dfrac{x}{2y}$

1.C

【分析】
本题考查分式的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确分式乘除属于同级运算，需严格按照从左到右的顺序计算；其次，分式除法要先转化为乘法（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数），最后通过约分化简得到最简结果，再匹配选项即可。
【解析】
按照从左到右的运算顺序逐步计算：
1. 先将除法转化为乘法：$2x ÷ \dfrac{x}{y} = 2x × \dfrac{y}{x}$
2. 计算前半部分乘法，约去分子分母的公因式$x$：$2x × \dfrac{y}{x} = 2y$
3. 再计算后续乘法：$2y × \dfrac{1}{x} = \dfrac{2y}{x}$
因此化简结果为$\dfrac{2y}{x}$。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，易错点是忽略同级运算从左到右的规则，错误先计算后半部分的乘法导致结果出错，熟练掌握分式乘除法则和运算顺序即可快速得分。
【难度系数】
0.7

2.计算：
(1)$\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} ÷ (-\frac{y}{x})=$ ；
(2)$\frac{a^4 - a^2b^2}{(a - b)^2} ÷ \frac{a(a + b)}{b^2} · \frac{b^2}{a}=$ 。

(1)$-\dfrac{x^2}{y}$；(2)$\dfrac{b^4}{a-b}$

【分析】
分式乘除属于同级运算，解题时遵循从左到右的运算顺序，先将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），先确定运算结果的符号，再对分子分母中能因式分解的多项式因式分解，最后约分化简得到最简结果即可。
第(1)题是单项式的分式乘除，直接转化为乘法后约分即可，注意负号的处理；第(2)题分子是多项式，先因式分解再约分计算。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，确定符号后约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2}{y} · \frac{y}{x} · (-\frac{x}{y})\\&=-\frac{x^2 · y · x}{y · x · y}\\&=-\frac{x^2}{y}\end{aligned}$
(2) 先对分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分化简：
首先对分子因式分解：$a^4 - a^2b^2 = a^2(a^2 - b^2) = a^2(a+b)(a-b)$
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2(a+b)(a-b)}{(a-b)^2} · \frac{b^2}{a(a+b)} · \frac{b^2}{a}\\&=\frac{a^2(a+b)(a-b) · b^2 · b^2}{(a-b)^2 · a(a+b) · a}\\&=\frac{b^4}{a-b}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{x^2}{y}$；(2)$\dfrac{b^4}{a-b}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先将除法统一为乘法运算，遇到多项式先因式分解再约分，计算过程中要注意运算符号的准确性，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8

3.(教材 P150 练习 T1 变式)计算:
(1) $\dfrac{2x^2 y}{3mn^2} · \dfrac{5m^2 n}{4xy^2} ÷ \dfrac{5xym}{3n}$;
(2) $\dfrac{2x - 6}{x^2 - 4x + 4} ÷ \dfrac{3 - x}{4x^2 - 16} · \dfrac{x - 2}{x + 3}$.

(1)原式$=\dfrac{1}{2y^2}$；(2)原式$=-\dfrac{8(x+2)}{x+3}$

【分析】
分式乘除混合运算的解题思路：①先将除法运算统一转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；②若分子、分母含多项式，先对多项式因式分解；③将所有分子的乘积作为新分子，所有分母的乘积作为新分母，约去公因式，最终化为最简分式或整式。
对于第(1)问，分子分母均为单项式，直接转化为乘法后，分别对系数、同底数幂进行约分化简即可；对于第(2)问，分子分母含多项式，先分解因式，注意$3-x$可变形为$-(x-3)$，避免符号出错，再按步骤约分计算。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2x^2 y}{3mn^2} · \dfrac{5m^2 n}{4xy^2} · \dfrac{3n}{5xym}\\&=\dfrac{2x^2y · 5m^2n · 3n}{3mn^2 · 4xy^2 · 5xym}\\&=\dfrac{30x^2y m^2 n^2}{60x^2 y^3 m^2 n^2}\\&=\dfrac{1}{2y^2}\end{aligned}$
(2) 先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{2(x-3)}{(x-2)^2} ÷ \dfrac{-(x-3)}{4(x+2)(x-2)} · \dfrac{x-2}{x+3}\\&=\dfrac{2(x-3)}{(x-2)^2} · \dfrac{4(x+2)(x-2)}{-(x-3)} · \dfrac{x-2}{x+3}\\&=\dfrac{2(x-3) · 4(x+2)(x-2) · (x-2)}{(x-2)^2 · [-(x-3)] · (x+3)}\\&=-\dfrac{8(x+2)}{x+3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2y^2}$；(2) $-\dfrac{8(x+2)}{x+3}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，解题核心是先统一运算为乘法，再通过约分化简，需要注意互为相反数的因式变形时的符号变化，多项式因式分解要彻底，避免因分解不全导致约分错误。
【难度系数】
0.7

4.计算$(\frac{2a}{b})^3$的正确结果是 （）

A.$\frac{8a^3}{b^3}$
B.$\frac{8a^3}{b}$
C.$\frac{2a^2}{b}$
D.$\frac{6a^3}{b^3}$

4.A

【分析】
这是分式乘方的运算题，解题时先回忆相关运算法则：首先，分式乘方需要把分子、分母分别进行乘方运算；其次，分子是2a，属于两个因式的乘积，要用到积的乘方法则，即积的乘方要把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。按照先拆分分式乘方、再计算分子积的乘方的步骤推导，即可得到结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则：分式的乘方等于分子、分母分别乘方，可得：
$(\frac{2a}{b})^3=\frac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方运算法则计算分子：
$(2a)^3=2^3 · a^3=8a^3$
因此原式化简结果为$\frac{8a^3}{b^3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘方、积的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是牢记分式乘方和积的乘方的运算法则，运算时注意不要遗漏对系数的乘方计算，避免出现把2³算成2×3这类错误。
【难度系数】
0.9

5.(教材 P149 例 5 变式)计算：
(1)$(-\dfrac{3ab^3}{2c^2})^3$；
(2)$(\dfrac{-4x}{x-y})^2$。

(1)原式$=-\dfrac{27a^3b^9}{8c^6}$；(2)原式$=\dfrac{16x^2}{(x-y)^2}$

【分析】
这两道题属于分式乘方的运算题，解题时需遵循以下思路：首先运用分式乘方的核心法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方；其次结合乘方的符号规则确定结果符号：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；最后再结合积的乘方、幂的乘方的运算法则对分子分母分别展开计算即可。第(1)题指数为奇数，结果符号为负，再对分子分母分别做3次方运算；第(2)题指数为偶数，结果符号为正，再对分子分母分别做2次方运算。
【解析】
(1) 计算$(-\dfrac{3ab^3}{2c^2})^3$：
根据分式乘方法则，结合负数的奇次幂为负，可得：
原式$=-\dfrac{(3ab^3)^3}{(2c^2)^3}$
分别对分子分母运用积的乘方、幂的乘方法则展开：
分子：$(3ab^3)^3=3^3 · a^3 · (b^3)^3=27a^3b^9$
分母：$(2c^2)^3=2^3 · (c^2)^3=8c^6$
因此原式$=-\dfrac{27a^3b^9}{8c^6}$
(2) 计算$(\dfrac{-4x}{x-y})^2$：
根据分式乘方法则，结合负数的偶次幂为正，可得：
原式$=\dfrac{(-4x)^2}{(x-y)^2}$
对分子运用积的乘方法则展开：
$(-4x)^2=(-4)^2 · x^2=16x^2$
因此原式$=\dfrac{16x^2}{(x-y)^2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{27a^3b^9}{8c^6}$；(2)$\dfrac{16x^2}{(x-y)^2}$
【知识点】
分式的乘方；积的乘方；幂的乘方
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，解题的关键是先确定结果的符号，再准确运用幂的相关运算规则展开计算，要注意避免出现符号判断错误、幂的指数计算错误等问题，需熟练掌握相关运算法则为后续分式混合运算打好基础。
【难度系数】
0.8

6.计算：$\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} · ( \frac{b - a}{ab} )^2 ÷ \frac{a + b}{a} =$

$\dfrac{a-b}{ab^2}$

【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算，解题思路如下：1. 先遵循运算顺序，先计算乘方运算，利用互为相反数的偶次幂相等，将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$；2. 把除法运算转化为乘法运算，统一为分式乘法；3. 对分子分母中的多项式因式分解（$a^2-b^2$用平方差公式分解）；4. 约去所有公因式，化简得到最简分式即可。
【解析】
解：按照运算顺序先算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} · \frac{(b - a)^2}{a^2b^2} · \frac{a}{a + b}\\&=\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} · \frac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \frac{a}{a + b} \quad \mathrm{（平方差公式分解$a^2-b^2$，且$(b-a)^2=(a-b)^2$）}\\&=\frac{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a-b)^2}} · \frac{\cancel{(a-b)^2}}{a^{\cancel{2}}b^2} · \frac{\cancel{a}}{\cancel{a + b}} \quad \mathrm{（约去分子分母公因式）}\\&=\frac{a-b}{ab^2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{a-b}{ab^2}$
【知识点】
分式的乘方运算；分式的乘除运算；因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式混合运算的顺序，熟练运用因式分解和约分的技巧，注意互为相反数的偶次幂相等这一性质的运用，避免在符号上出错，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.75

7.(教材 P149 例 5 变式)计算:
(1)$(-\dfrac{b^2}{2a})÷(-\dfrac{b}{a^2})^3÷(\dfrac{1}{ab})^3$；
(2)$(\dfrac{x^2 - y^2}{xy})^2÷(x + y)^2·(\dfrac{x}{x - y})^3$。

(1)原式$=\dfrac{a^8b^2}{2}$；(2)原式$=\dfrac{x}{y^2(x-y)}$

【分析】
这两道题属于分式的乘方与乘除混合运算题，解题思路如下：①先确定运算顺序：先计算分式的乘方，再将除法运算统一转化为乘法运算，同级运算从左到右依次计算；②计算乘方时注意符号规则：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，分子分母分别乘方；③若分子分母出现多项式，优先因式分解，再通过约分化简得到最简结果，过程中注意幂的运算法则的正确使用。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\dfrac{b^2}{2a})÷(-\dfrac{b^3}{a^6})÷(\dfrac{1}{a^3b^3})\\&=(-\dfrac{b^2}{2a})×(-\dfrac{a^6}{b^3})× a^3b^3\\&=\dfrac{b^2· a^6· a^3b^3}{2a· b^3}\\&=\dfrac{a^9b^5}{2ab^3}\\&=\dfrac{a^8b^2}{2}\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再对多项式因式分解，统一为乘法后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}÷(x+y)^2·\dfrac{x^3}{(x-y)^3}\\&=\dfrac{[(x+y)(x-y)]^2}{x^2y^2}·\dfrac{1}{(x+y)^2}·\dfrac{x^3}{(x-y)^3}\\&=\dfrac{(x+y)^2(x-y)^2}{x^2y^2}·\dfrac{1}{(x+y)^2}·\dfrac{x^3}{(x-y)^3}\\&=\dfrac{x}{y^2(x-y)}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^8b^2}{2}$；(2)$\dfrac{x}{y^2(x-y)}$
【知识点】
分式的乘方运算；分式的乘除混合运算；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和运算规则的应用，解题时需注意符号的判断，遇到多项式先因式分解可大幅简化约分步骤，计算时要留意幂的指数运算，避免低级错误。
【难度系数】
0.7

8.计算:
(1)$(-\dfrac{m}{n})^5 · (-\dfrac{n^2}{m})^4 ÷ (-mn^4) =$ ;
(2)$(\dfrac{a-b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b-a})^2 ÷ \dfrac{1}{a^2 - b^2} =$ .

(1)$\dfrac{1}{n}$；(2)$\dfrac{a^2-b^2}{b^2}$

【分析】
这两道题属于分式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：①先计算每个乘方项，根据负数的偶次幂为正、奇次幂为负确定符号，同时按分式乘方法则把分子分母分别乘方；②将除法运算转化为乘法运算（除以一个整式等于乘以它的倒数）；③对分子、分母中的公因式进行约分，若遇到多项式可先分解因式再约分，最终得到最简结果。第(1)题是单项式类的分式运算，直接整理分子分母的同底数幂约分即可；第(2)题注意$(a-b)$和$(b-a)$互为相反数，平方后结果相等，可直接约去，同时$a^2-b^2$用平方差公式分解后再参与运算。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\dfrac{m^5}{n^5})·\dfrac{n^8}{m^4}÷(-mn^4)\\&=(-\dfrac{m^5}{n^5})·\dfrac{n^8}{m^4}·\dfrac{1}{-mn^4}\\&=\dfrac{m^5·n^8}{n^5·m^4·mn^4}\\&=\dfrac{m^5n^8}{m^5n^9}\\&=\dfrac{1}{n}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，利用$(b-a)^2=(a-b)^2$化简，再将除法转化为乘法，结合平方差公式分解因式后约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2}·\dfrac{a^2}{(b-a)^2}÷\dfrac{1}{a^2-b^2}\\&=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2}·\dfrac{a^2}{(a-b)^2}·(a^2-b^2)\\&=\dfrac{1}{b^2}·(a^2-b^2)\\&=\dfrac{a^2-b^2}{b^2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{n}$；(2)$\dfrac{a^2-b^2}{b^2}$
【知识点】
分式的乘方运算、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，解题时需注意运算顺序，符号判断要准确，遇到互为相反数的偶次幂可直接等价转化，多项式因式分解后约分更简便，是分式运算的常规基础题，对运算的细心度要求较高。
【难度系数】
0.7

9.若$2x - 3y = 0$，则$(\frac{x}{y})^3 ÷ (\frac{3x}{y})^2 · \frac{6x}{y}$的值等于.

$\dfrac{3}{2}$

【分析】
首先观察已知条件和待求式的特征，待求式中所有项都以$\frac{x}{y}$为基本单元，因此第一步先从已知等式$2x-3y=0$推导出$\frac{x}{y}$的值（注意$y≠0$，否则原式无意义）；第二步根据分式乘方、乘除的运算法则对待求式进行化简，将其转化为仅含有$\frac{x}{y}$的式子；最后将$\frac{x}{y}$的值整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：由$2x - 3y = 0$，得$2x = 3y$，
$\because$ 原式中$y$为分母，$\therefore y≠0$，则$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$。
化简待求式：
先计算乘方：
$(\frac{x}{y})^3 ÷ (\frac{3x}{y})^2 · \frac{6x}{y} = \frac{x^3}{y^3} ÷ \frac{9x^2}{y^2} · \frac{6x}{y}$
将除法转化为乘法：
$= \frac{x^3}{y^3} · \frac{y^2}{9x^2} · \frac{6x}{y}$
约分计算：
$= \frac{x^3·y^2·6x}{y^3·9x^2·y} = \frac{6x^4y^2}{9x^2y^4} = \frac{2}{3}·(\frac{x}{y})^2$
将$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$代入上式：
$\frac{2}{3} × (\frac{3}{2})^2 = \frac{2}{3} × \frac{9}{4} = \frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算；分式的乘方；整体代入求值
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是先根据已知条件得到$x$与$y$的比值，再将待求式化简为含有该比值的形式后整体代入计算，运算时要注意遵循先乘方、再乘除的顺序，约分要准确，避免计算错误。
【难度系数】
0.7