1.(河南中考)化简$\frac{a-1}{a}+\frac{1}{a}$的结果是 （）

A.0
B.1
C.$a$
D.$a-2$

1.B

【分析】
这是一道同分母分式的加法计算题，解题时首先观察两个分式的分母，发现分母均为a，属于同分母分式相加，根据同分母分式加减法的运算规则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，先合并分子，再对得到的分式进行约分即可得到结果。
【解析】
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
原式=$\frac{a-1+1}{a}$
合并分子中的同类项：$a-1+1=a$，因此原式=$\frac{a}{a}$
约分后得结果为1，故选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法；分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，主要考查同分母分式的运算规则，计算时只需注意分子合并同类项的准确性，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9

2.(上海中考)化简$\frac{2}{1-x} - \frac{2x}{1-x}$的结果为.

2.2

【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母相同，均为$1-x$，符合同分母分式减法的运算条件；再根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减得到新的分式；最后对新分式的分子因式分解后约分，即可得到化简结果。
【解析】
根据同分母分式的减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{2}{1-x} - \frac{2x}{1-x}&=\frac{2 - 2x}{1 - x}\\&=\frac{2(1 - x)}{1 - x}\\&=2 \quad (\mathrm{隐含条件} \ 1-x≠0,\mathrm{可约去公因式})\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
1.同分母分式减法法则 2.分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心考查同分母分式的运算规则，计算时需注意先遵循法则合并分子，再对分子整理因式后约分，运算过程中要留意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.9

3.(教材 P150 例1变式)计算:
(1)$\frac{2}{a-2}+\frac{a}{2-a}$;
(2)$\frac{x+4}{x^2+3x}-\frac{1}{3x+x^2}$;
(3)$\frac{x}{x+1}+\frac{x-1}{x+1}+\frac{3}{x+1}$;
(4)$\frac{2x+y}{3x^2y}+\frac{x-2y}{3x^2y}-\frac{x-y}{3x^2y}$.

(1)原式$=-1$
(2)原式$=\frac{1}{x}$
(3)原式$=2$
(4)原式$=\frac{2}{3xy}$

【分析】
这4道题均为分式加减基础运算，解题思路如下：首先判断分式分母是否相同：①若分母互为相反数（如第(1)题的$a-2$和$2-a$），先提取负号将分母统一为相同形式；②若分母已经相同，直接遵循同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。最后对运算结果约分，化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 先将分母统一为$a-2$：
原式$=\frac{2}{a-2}-\frac{a}{a-2}=\frac{2-a}{a-2}=\frac{-(a-2)}{a-2}=-1$
(2) 两式分母均为$x^2+3x$，直接合并分子：
原式$=\frac{(x+4)-1}{x^2+3x}=\frac{x+3}{x(x+3)}=\frac{1}{x}$
(3) 三分式分母均为$x+1$，直接合并分子：
原式$=\frac{x+(x-1)+3}{x+1}=\frac{2x+2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$
(4) 三分式分母均为$3x^2y$，直接合并分子：
原式$=\frac{(2x+y)+(x-2y)-(x-y)}{3x^2y}=\frac{2x}{3x^2y}=\frac{2}{3xy}$
【答案】
(1)$-1$；(2)$\frac{1}{x}$；(3)$2$；(4)$\frac{2}{3xy}$
【知识点】
同分母分式加减，分式约分，符号化简
【点评】
本题是分式加减的基础题型，重点考查同分母分式加减法则的应用，需要注意分母互为相反数时的符号处理，计算分子时要注意运算符号，最终结果必须化为最简形式，能有效训练运算的细心程度。
【难度系数】
0.8

4.(山西中考)化简$\frac{1}{a-3}-\frac{6}{a^2-9}$的结果是 ()

A.$\frac{1}{a+3}$
B.$a-3$
C.$a+3$
D.$\frac{1}{a-3}$

4.A

【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路分为三步：第一步先对分母进行因式分解，找到两个分式的最简公分母；第二步将两个分式通分转化为同分母分式，再按照同分母分式减法规则，分母不变、分子相减；第三步对得到的分式的分子化简后约分，得到最简结果即可。
【解析】
首先对第二个分式的分母因式分解，根据平方差公式可得$a^2-9=(a+3)(a-3)$，因此两个分式的最简公分母为$(a+3)(a-3)$。
通分后计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{a-3}-\frac{6}{a^2-9}&=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}-\frac{6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{(a+3)-6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{1}{a+3}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的核心是先对分母因式分解确定最简公分母，通分时注意分子也要乘对应因式，最后结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8

5.(眉山中考)化简$\frac{4}{a+2} + a - 2$的结果是 （）

A.1
B.$\frac{a^2}{a+2}$
C.$\frac{a^2}{a^2 -4}$
D.$\frac{a}{a+2}$

5.B

【分析】
这是分式与整式的加减运算题，解题时先回忆分式加减的运算规则：异分母分式相加减要先通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算。题中的整式a-2可以看作分母为1的“分式”，两个分式的最简公分母是a+2，先对整式部分通分，再合并分子、化简即可得到结果。
【解析】
解：$\frac{4}{a+2} + a - 2$
$=\frac{4}{a+2} + \frac{a-2}{1}$
$=\frac{4}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}$（通分，公分母为$a+2$）
$=\frac{4 + a^2 - 4}{a+2}$（同分母分式相加，分母不变，分子相加，结合平方差公式计算$(a-2)(a+2)=a^2-4$）
$=\frac{a^2}{a+2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算；平方差公式；通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考点是分式与整式的加减运算，解题关键是将整式看作分母为1的式子完成通分，计算分子时要正确运用乘法公式化简，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8

6.计算:
(1)$\frac{2}{x-2}-\frac{8}{x^2 -4}$;
(2)$\frac{a+b}{ab}-\frac{b+c}{bc}$;
(3)$\frac{1}{x-1}+\frac{x^2 -3x}{x^2 -1}$.

(1)原式$=\frac{2}{x+2}$
(2)原式$=\frac{c-a}{ac}$
(3)原式$=\frac{x-1}{x+1}$

【分析】
这是异分母分式的加减运算，解题思路分三步：1. 先对各分式的分母因式分解，找到最简公分母；2. 利用分式的基本性质将异分母分式通分为同分母分式，再按照“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”的法则计算；3. 对计算得到的分式的分子因式分解，约分得到最简分式。计算时要注意通分时分子也要乘对应整式，分子相加减时要注意符号变化。
【解析】
(1) 先利用平方差公式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{8}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2x+4-8}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2x-4}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2}{x+2}\end{aligned}$
(2) 分母$ab$和$bc$的最简公分母为$abc$
$\begin{aligned}原式&=\frac{c(a+b)}{abc}-\frac{a(b+c)}{abc}\\&=\frac{ac+bc-ab-ac}{abc}\\&=\frac{bc-ab}{abc}\\&=\frac{b(c-a)}{abc}\\&=\frac{c-a}{ac}\end{aligned}$
(3) 先利用平方差公式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x^2-3x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x+1+x^2-3x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x-1}{x+1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{2}{x+2}$；(2)$\frac{c-a}{ac}$；(3)$\frac{x-1}{x+1}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式约分
【点评】
这几道题是分式加减的常规基础题，重点考察异分母分式加减的运算步骤，计算时需准确找到最简公分母，注意分子加减时的符号变化，最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8

7.(吉林中考)下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中M是单项式,请写出单项式M,并将该例题的解答过程补充完整.
例:先化简,再求值:$\frac{M}{a+1}-\frac{1}{a^2+a}$,其中$a=100$.
解:原式$=\frac{a^2}{a(a+1)} $$ \frac{1}{a(a+1)}$
……

由题意可得$\frac{M}{a+1}=\frac{a^2}{a(a+1)}=\frac{a}{a+1},∴M=a,∴\frac{a}{a+1}-\frac{1}{a^2+a}=\frac{a^2}{a(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}=\frac{a^2-1}{a(a+1)}=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+1)}=\frac{a-1}{a}$,当$a=100$时,原式$=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}$

【分析】
要解决本题首先需要求出单项式M：观察通分后的结果，第一个分式$\frac{M}{a+1}$通分后分母变为$a(a+1)$，是给原分式分子、分母同乘a得到的，通分后分子为$a^2$，因此$M× a=a^2$，即可求出M=a；再根据同分母分式减法法则计算，对分子因式分解后约分，最后代入a=100计算即可得到结果。
【解析】
1. 求单项式M：
给$\frac{M}{a+1}$通分，分子分母同乘a，得$\frac{Ma}{a(a+1)}$，结合题中给出的通分结果$\frac{a^2}{a(a+1)}$，可得$Ma=a^2$，解得$M=a$。
2. 补充化简求值过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2}{a(a+1)}-\frac{1}{a(a+1)}\\&=\frac{a^2-1}{a(a+1)}\\&=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a+1)}\\&=\frac{a-1}{a}\end{aligned}$
将$a=100$代入化简后的式子，得：
原式$=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}$
【答案】
$M=a$，原式化简结果为$\frac{a-1}{a}$，当$a=100$时，原式的值为$\frac{99}{100}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解，分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础综合题，核心是掌握分式通分的规则和分式加减的运算顺序，化简时要注意先对分子分母因式分解，再约去公因式，保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.7