12.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD//BC,∠ABC＝90°,有下列条件:①AB//CD,②AD＝BC.
(1)请从①②两个条件中任选1个作为已知,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB＝3,∠ACB＝30°,求BD的长.

12.(1)选择①,
证明:$\because AB// CD,AD// BC$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
又$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.
选择②,
证明:$\because AD=BC,AD// BC$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
又$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.
(2)解:$\because ∠ ABC=90°,∠ ACB=30°$,
$\therefore AC=2AB=2×3=6$,
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,
$\therefore BD=AC=6$.

13.定义:若一个四边形的两条对角线互相垂直,则称这个四边形为“垂美四边形”.

(1)如图1,四边形ABCD是“垂美四边形”,则根据勾股定理,可得
AB²=+;BC²=+;
CD²=+;AD²=+;
综上,用等式表示AB²,BC²,CD²,AD²之间的数量关系是;
(2)如图2,分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACGD和正方形ABFE,连接DE,BD,CE,CE分别交AB,BD于点M,N.
①CE与BD的位置关系是,给出证明;
②若$AB=4,AC=2\sqrt{3},$则线段DE的长是.

13.解:(1)$AO^2$ $BO^2$ $BO^2$ $CO^2$ $CO^2$ $DO^2$
$AO^2$ $DO^2$ $AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$
(2)①$CE⊥ BD$,证明如下:
如图,连接 $CD,BE$,

$\because$ 正方形 $ACGD$ 和正方形 $ABFE$,
$\therefore AD=AC,AB=AE,∠ CAD=∠ BAE=90°$,
$\therefore ∠ CAD + ∠ BAC = ∠ BAE + ∠ BAC$,即
$∠ DAB=∠ CAE$,
$\therefore △ DAB≌△ CAE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ABD=∠ AEC$.
$\because ∠ AEC+∠ AME=90°$,
$\therefore ∠ ABD+∠ AME=90°$.
$\because ∠ AME=∠ BMN$,
$\therefore ∠ ABD+∠ BMN=90°$,
$\therefore ∠ MNB=90°$,即 $CE⊥ BD$.
②$2\sqrt{13}$(提示:$DE^2+BC^2=DC^2+BE^2$)