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三、解答题
16. 如图，$∠ A = 65°$，$∠ ABD = 30°$，$∠ ACB = 72°$，且CE平分$∠ ACB$，求$∠ BEC$的度数。
16. 如图，$∠ A = 65°$，$∠ ABD = 30°$，$∠ ACB = 72°$，且CE平分$∠ ACB$，求$∠ BEC$的度数。
答案
16. 解:
∵∠A=65°,∠ACB=72°,
∴∠ABC=43°.
∵∠ABD=30°,
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=13°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°,
∴在△BCE中,∠BEC=180°−13°−36°=131°.
∵∠A=65°,∠ACB=72°,
∴∠ABC=43°.
∵∠ABD=30°,
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=13°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°,
∴在△BCE中,∠BEC=180°−13°−36°=131°.
17.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边,化简:$|a - b + c| + |c - a - b| - |a + b + c|$.
答案
17. 解:
∵a,b,c是△ABC的三边,
∴a−b+c＞0,c−a−b＜0,a+b+c＞0,
∴原式=a−b+c+a+b−c−a−b−c=a−b−c.
∵a,b,c是△ABC的三边,
∴a−b+c＞0,c−a−b＜0,a+b+c＞0,
∴原式=a−b+c+a+b−c−a−b−c=a−b−c.
18. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”。
(1)已知一个特征三角形的特征角为$100°$，求这个特征三角形的最小内角的度数。
(2)是否存在特征角为$120°$的三角形？若存在，请举例说明。
(1)已知一个特征三角形的特征角为$100°$，求这个特征三角形的最小内角的度数。
(2)是否存在特征角为$120°$的三角形？若存在，请举例说明。
答案
18. 解:设三角形的三个内角为α,β,γ.
(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,
则γ=30°,
∴这个特征三角形的最小内角的度数为30°.
(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,则γ=0°,此时不能构成三角形,
∴不存在特征角为120°的三角形.
(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,
则γ=30°,
∴这个特征三角形的最小内角的度数为30°.
(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,则γ=0°,此时不能构成三角形,
∴不存在特征角为120°的三角形.
