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19.如图,线段AD,CB相交于点O,连接AB,CD,∠DAB和∠BCD的平分线AP,CP相交于点P.试问∠P与∠D,∠B之间存在着怎样的数量关系?请说明理由.
第19题图
第19题图答案
19. 解:2∠P=∠B+∠D. 理由如下:
如答图
,在△AOB和△COD中,
∵∠AOB=∠COD,
∴∠OAB+∠B=∠OCD+∠D.
在△AEP和△CED中,
∵∠AEP=∠CED,
∴∠1 + ∠P = ∠2 + ∠D. ①
∵AP,CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠OAB=2∠1,∠OCD=2∠2,
∴2∠1+∠B=2∠2+∠D. ②
2①−②,得2∠P−∠B=2∠D−∠D,
整理,得2∠P=∠B+∠D.
20.如图，在$△ ABC$中，$∠ A = ∠ BCD$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$分别交$CD$，$CA$于点$F$，$E$.
(1)求$∠ ACB$的度数；
(2)证明：$∠ CEF = ∠ CFE$；
(3)若$AC=3CE$，$AB=4BD$，$△ ABC$，$△ CEF$，$△ BDF$的面积分别表示为$S_{△ ABC}$，$S_{△ CEF}$，$S_{△ BDF}$，且$S_{△ ABC}=60$，则$S_{△ CEF} - S_{△ BDF}=$
(1)求$∠ ACB$的度数；
(2)证明：$∠ CEF = ∠ CFE$；
(3)若$AC=3CE$，$AB=4BD$，$△ ABC$，$△ CEF$，$△ BDF$的面积分别表示为$S_{△ ABC}$，$S_{△ CEF}$，$S_{△ BDF}$，且$S_{△ ABC}=60$，则$S_{△ CEF} - S_{△ BDF}=$
5
（直接填结果）.答案
20. 解:(1)
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
又
∵∠A=∠BCD,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.
证明:(2)由题意,得∠CEF=∠A+∠ABE,∠CFE=∠BCF+∠CBF.
∵∠A=∠BCF,∠CBF=∠ABE,
∴∠CEF=∠CFE.
(3)5
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
又
∵∠A=∠BCD,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.
证明:(2)由题意,得∠CEF=∠A+∠ABE,∠CFE=∠BCF+∠CBF.
∵∠A=∠BCF,∠CBF=∠ABE,
∴∠CEF=∠CFE.
(3)5
