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1. 以下列各组数作为边长,能组成直角三角形的有 (
①16,20,12；②25,7,24；③12,13,5；④16,8,15。
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
C
)①16,20,12；②25,7,24；③12,13,5；④16,8,15。
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
C [解析]$∵16^{2}+12^{2}=20^{2}$，$∴$①能组成直角三角形.
$∵7^{2}+24^{2}=25^{2}$，$∴$②能组成直角三角形.
$∵5^{2}+12^{2}=13^{2}$，$∴$③能组成直角三角形.
$∵8^{2}+15^{2}≠16^{2}$，$∴$④不能组成直角三角形.
综上，能组成直角三角形的有 3 组.
$∵7^{2}+24^{2}=25^{2}$，$∴$②能组成直角三角形.
$∵5^{2}+12^{2}=13^{2}$，$∴$③能组成直角三角形.
$∵8^{2}+15^{2}≠16^{2}$，$∴$④不能组成直角三角形.
综上，能组成直角三角形的有 3 组.
2. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别是a$,$b$,$c$,且$a^{2}-b^{2}= c^{2}$,则下列说法正确的是 (
A.$\angle C$是直角
B.$\angle B$是直角
C.$\angle A$是直角
D.$\angle A$是锐角
C
)A.$\angle C$是直角
B.$\angle B$是直角
C.$\angle A$是直角
D.$\angle A$是锐角
答案
C [解析]$∵a^{2}-b^{2}=c^{2}$，$∴a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$∴\triangle ABC$是直角三角形，且$∠A=90^{\circ }$.
3. 有一组勾股数,若已知其中的两个数分别是17和8,则第三个数是
15
。答案
$15$
4. 某木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为120cm,宽为90cm,对角线的长为150cm,则这个桌面
合格
(填“合格”或“不合格”)。答案
合格 [解析]$∵120^{2}+90^{2}=150^{2}$，$∴$这个桌面合格.
5. 如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,$\triangle ABC$的顶点均在格点上,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由。
解：$\triangle ABC$是
由题意，得$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，$BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$∴AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$∴\triangle ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90^{\circ }$.
解：$\triangle ABC$是
直角三角形
.理由如下：由题意，得$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，$BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$∴AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$∴\triangle ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90^{\circ }$.
答案
解：$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下：
由题意，得$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，$BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$∴AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$∴\triangle ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90^{\circ }$.
由题意，得$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，$BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$∴AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
$∴\triangle ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90^{\circ }$.
6. (江苏扬州广陵区期末)已知$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{4}-b^{4}= a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}$,则$\triangle ABC$是 (
A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
B
)A.直角三角形
B.等腰三角形或直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案
B [解析]$∵a^{4}-b^{4}=a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}$，
$∴(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=c^{2}(a^{2}-b^{2})$，
$∴(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})-c^{2}(a^{2}-b^{2})=0$，
$∴(a^{2}-b^{2})[(a^{2}+b^{2})-c^{2}]=0$，
$∴a^{2}-b^{2}=0$或$(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$，
$∴a^{2}=b^{2}$或$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$∴a=b$(舍去负值)或$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$∴\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形.
$∴(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=c^{2}(a^{2}-b^{2})$，
$∴(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})-c^{2}(a^{2}-b^{2})=0$，
$∴(a^{2}-b^{2})[(a^{2}+b^{2})-c^{2}]=0$，
$∴a^{2}-b^{2}=0$或$(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0$，
$∴a^{2}=b^{2}$或$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$∴a=b$(舍去负值)或$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$∴\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形.
7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 3$,$BC= 4$,$CD= 12$,$AD= 13$,$E是AD$的中点,连接$CE$,求$CE$的长。
解：在$Rt\triangle ABC$中，$∠B=90^{\circ }$，$AB=3$，$BC=4$，
$∴AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=$
$∵CD=12$，$AD=13$，
$∴AC^{2}+CD^{2}=$
$∴AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，
$∴\triangle ACD$是直角三角形，
且$∠ACD=90^{\circ }$.
$∵E$是$AD$的中点，
$∴CE=\frac {1}{2}AD=\frac {1}{2}×$
解：在$Rt\triangle ABC$中，$∠B=90^{\circ }$，$AB=3$，$BC=4$，
$∴AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=$
5
.$∵CD=12$，$AD=13$，
$∴AC^{2}+CD^{2}=$
5
$^{2}+$12
$^{2}=$169
，$AD^{2}=$169
，$∴AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，
$∴\triangle ACD$是直角三角形，
且$∠ACD=90^{\circ }$.
$∵E$是$AD$的中点，
$∴CE=\frac {1}{2}AD=\frac {1}{2}×$
13
=6.5
.答案
解：在$Rt\triangle ABC$中，$∠B=90^{\circ }$，$AB=3$，$BC=4$，
$∴AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5$.
$∵CD=12$，$AD=13$，
$∴AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$AD^{2}=169$，
$∴AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，
$∴\triangle ACD$是直角三角形，
且$∠ACD=90^{\circ }$.
$∵E$是$AD$的中点，
$∴CE=\frac {1}{2}AD=\frac {1}{2}×13=6.5$.
$∴AC=\sqrt {AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5$.
$∵CD=12$，$AD=13$，
$∴AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，$AD^{2}=169$，
$∴AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，
$∴\triangle ACD$是直角三角形，
且$∠ACD=90^{\circ }$.
$∵E$是$AD$的中点，
$∴CE=\frac {1}{2}AD=\frac {1}{2}×13=6.5$.
8. 练思维·综合能力 如图,某条笔直的河流一侧有一旅游景点$G$,河边有两个漂流点$A$,$B$,且点$A到点B$的距离等于点$A到点G$的距离。近阶段由于点$G到点A$的路线处于维修中,为方便游客游玩,现决定在河边新建一个漂流点$C$(点$A$,$B$,$C$在一条直线上),并新建一条路$GC$,测得$BG= 5km$,$CG= 4km$,$BC= 3km$。
(1)判断$\triangle BCG$的形状,并说明理由；
$\triangle BCG$是
$∵BG=5km$，$CG=4km$，$BC=3km$，
$∴BC^{2}+CG^{2}=BG^{2}$，
$∴\triangle BCG$是直角三角形，且$∠BCG=90^{\circ }$.
(2)求原路线$AG$的长。
原路线$AG$的长为
(1)判断$\triangle BCG$的形状,并说明理由；
$\triangle BCG$是
直角三角形
.理由如下：$∵BG=5km$，$CG=4km$，$BC=3km$，
$∴BC^{2}+CG^{2}=BG^{2}$，
$∴\triangle BCG$是直角三角形，且$∠BCG=90^{\circ }$.
(2)求原路线$AG$的长。
原路线$AG$的长为
$\frac {25}{6}km$
.答案
解：(1)$\triangle BCG$是直角三角形.理由如下：
$∵BG=5km$，$CG=4km$，$BC=3km$，
$∴BC^{2}+CG^{2}=BG^{2}$，
$∴\triangle BCG$是直角三角形，且$∠BCG=90^{\circ }$.
(2)由(1)，得$CG⊥AB$.
$∵$点$A$到点$B$的距离等于点$A$到点$G$的距离，
$∴AB=AG$.
$∵AC=AB-BC=AB-3=(AG-3)km$，
$AC^{2}+CG^{2}=AG^{2}$，
$∴(AG-3)^{2}+4^{2}=AG^{2}$，
解得$AG=\frac {25}{6}(km)$.
答：原路线$AG$的长为$\frac {25}{6}km$.
$∵BG=5km$，$CG=4km$，$BC=3km$，
$∴BC^{2}+CG^{2}=BG^{2}$，
$∴\triangle BCG$是直角三角形，且$∠BCG=90^{\circ }$.
(2)由(1)，得$CG⊥AB$.
$∵$点$A$到点$B$的距离等于点$A$到点$G$的距离，
$∴AB=AG$.
$∵AC=AB-BC=AB-3=(AG-3)km$，
$AC^{2}+CG^{2}=AG^{2}$，
$∴(AG-3)^{2}+4^{2}=AG^{2}$，
解得$AG=\frac {25}{6}(km)$.
答：原路线$AG$的长为$\frac {25}{6}km$.
9. (江苏南京)某个直三棱柱的表面展开图如图所示,已知$AC= 3$,$BC= 4$,$AB= 5$,四边形$AMNB$是正方形,将其折叠成直三棱柱后,下列各点中,与点$C$的距离最大的是 (
A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
B
)A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
答案
B [解析]$∵AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，
$∴\triangle ABC$是直角三角形.
$∵$四边形$AMNB$是正方形，
$∴$直三棱柱的高$AM=AB=5$，
$∴CM=\sqrt {AC^{2}+AM^{2}}=\sqrt {3^{2}+5^{2}}=\sqrt {34}$，$CN=\sqrt {BC^{2}+BN^{2}}=\sqrt {4^{2}+5^{2}}=\sqrt {41}$，$CP=\sqrt {34}$，$CQ=AM=5$.
$∵\sqrt {41}＞\sqrt {34}＞\sqrt {25}$，
$∴$与点$C$的距离最大的是点$N$.
$∴\triangle ABC$是直角三角形.
$∵$四边形$AMNB$是正方形，
$∴$直三棱柱的高$AM=AB=5$，
$∴CM=\sqrt {AC^{2}+AM^{2}}=\sqrt {3^{2}+5^{2}}=\sqrt {34}$，$CN=\sqrt {BC^{2}+BN^{2}}=\sqrt {4^{2}+5^{2}}=\sqrt {41}$，$CP=\sqrt {34}$，$CQ=AM=5$.
$∵\sqrt {41}＞\sqrt {34}＞\sqrt {25}$，
$∴$与点$C$的距离最大的是点$N$.
