【练2】下列四组数中,是勾股数的是 ()
A.6,8,10
B.0.6,0.8,1
C.1,2,3
D.6,7,8

A

【例3】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BCA= 90^{\circ}$,$AC= 12$,$AB= 13$,$D是Rt\triangle ABC$外一点,连接$DC$,$DB$,且$CD= 4$,$BD= 3$。
(1)求$BC$的长；
(2)求四边形$ABDC$的面积。
[思路导引](1)在$Rt\triangle ABC$中,利用勾股定理求出$BC^{2}$的值,进而可求出$BC$的长。
(2)由$CD$,$BD$,$BC$的长,得$CD^{2}+BD^{2}= BC^{2}$,进而可证得$\triangle DBC$是直角三角形,且$\angle D= 90^{\circ}$,再利用三角形的面积公式求出$S_{\triangle DBC}与S_{\triangle ABC}$,进而可求出四边形$ABDC$的面积。

[答案]解：(1)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BCA= 90^{\circ}$,$AC= 12$,$AB= 13$,
$\therefore BC^{2}= AB^{2}-AC^{2}= 13^{2}-12^{2}= 25$,$\therefore BC= 5$。
(2)$\because CD= 4$,$BD= 3$,$BC= 5$,$\therefore CD^{2}+BD^{2}= BC^{2}$,
$\therefore \triangle DBC$是直角三角形,且$\angle D= 90^{\circ}$,$\therefore S_{\triangle DBC}= \frac{1}{2}BD\cdot CD= \frac{1}{2}×3×4= 6$。
又$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}BC\cdot AC= \frac{1}{2}×5×12= 30$,$\therefore S_{四边形ABDC}= S_{\triangle ABC}+S_{\triangle DBC}= 30+6= 36$。

【练3】如图,已知$\angle ADC= 90^{\circ}$,$AD= 4$,$CD= 3$,$AB= 13$,$BC= 12$。
(1)连接$AC$,判断$\triangle ABC$的形状；
(2)求四边形$ABCD$的面积。

解：(1)$\triangle ABC$是直角三角形.
在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=3^{2}+4^{2}=5^{2}$，$\therefore AC=5$.
$\because AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=13^{2}=AB^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90^{\circ }$.
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}AC\cdot BC-\frac {1}{2}AD\cdot CD=\frac {1}{2}×5×12-\frac {1}{2}×4×3=24$.