1. 下列计算正确的是()

A.$(-3a - b)(3a - b) = 9a^{2} - b^{2}$
B.$(2y + 3)(-2y + 3) = 9 - 2y^{2}$
C.$(-a - b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
D.$(a + \dfrac{1}{a})^{2} = a^{2} + \dfrac{1}{a^{2}}$

1. C

2. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是()

A.$(x + 3y)(x - 3y)$
B.$(-2x + 3y)(-2x - 3y)$
C.$(x - 2y)(2y + x)$
D.$(2x - 3y)(3y - 2x)$

2. D

3. 若一个正方形的边长增加 $1\ \mathrm{cm}$，它的面积就增加 $13\ \mathrm{cm}^{2}$，则这个正方形的边长是()

A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$

3. C

设这个正方形的边长是$x\ \mathrm{cm}$。
根据题意，边长增加$1\ \mathrm{cm}$后，新正方形的边长为$(x + 1)\ \mathrm{cm}$，面积增加$13\ \mathrm{cm}^2$，可列方程：
$(x + 1)^2 - x^2 = 13$
展开并化简方程：
$x^2 + 2x + 1 - x^2 = 13$
$2x + 1 = 13$
$2x = 12$
$x = 6$
C

4. 两个连续偶数的平方差一定是()

A.$3$ 的倍数
B.$4$ 的倍数
C.$5$ 的倍数
D.$6$ 的倍数

4. B

设两个连续偶数分别为$2n$和$2n + 2$（$n$为整数）。
$\begin{aligned}&(2n + 2)^2 - (2n)^2\\=&(4n^2 + 8n + 4) - 4n^2\\=&8n + 4\\=&4(2n + 1)\end{aligned}$
因为$4(2n + 1)$是$4$的倍数，所以两个连续偶数的平方差一定是$4$的倍数。
B

5. 若 $x^{2} - ax + 9$ 是一个完全平方式，则 $a =$。

5. ±6

解：因为$x^{2}-ax + 9$是完全平方式，所以$x^{2}-ax + 9=(x\pm3)^{2}$。
展开$(x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9$，对比可得$-a = 6$，即$a=-6$；
展开$(x - 3)^{2}=x^{2}-6x + 9$，对比可得$-a=-6$，即$a = 6$。
综上，$a=\pm6$。

6. 若 $(x + 2)(x - n) = x^{2} + mx + 2$，则 $m - n$ 的值是。

6. 4

$(x + 2)(x - n) = x^{2} - nx + 2x - 2n = x^{2} + (2 - n)x - 2n$，
因为$(x + 2)(x - n) = x^{2} + mx + 2$，
所以$\begin{cases}2 - n = m \\ -2n = 2\end{cases}$，
由$-2n = 2$得$n = -1$，
将$n = -1$代入$2 - n = m$，得$m = 2 - (-1) = 3$，
所以$m - n = 3 - (-1) = 4$。

7. 已知 $2a^{2} - a - 3 = 0$，则 $(2a + 3)(2a - 3) + (2a - 1)^{2}$ 的值是。

7. 4

解：$(2a + 3)(2a - 3) + (2a - 1)^{2}$
$=4a^{2}-9 + 4a^{2}-4a + 1$
$=8a^{2}-4a - 8$
$=4(2a^{2}-a) - 8$
因为$2a^{2}-a - 3 = 0$，所以$2a^{2}-a = 3$。
将$2a^{2}-a = 3$代入$4(2a^{2}-a) - 8$，得：
$4×3 - 8 = 12 - 8 = 4$
4

8. 已知多项式 $x - a$ 与 $2x^{2} - 2x + 1$ 的乘积的结果中不含 $x^{2}$ 项，则常数 $a$ 的值是。

8. -1

解：$(x - a)(2x^{2} - 2x + 1)$
$=x(2x^{2} - 2x + 1) - a(2x^{2} - 2x + 1)$
$=2x^{3} - 2x^{2} + x - 2ax^{2} + 2ax - a$
$=2x^{3} + (-2 - 2a)x^{2} + (1 + 2a)x - a$
因为乘积结果中不含$x^{2}$项，所以$-2 - 2a = 0$，解得$a = -1$。
-1

9. 已知 $a - b = 1$，则 $a^{2} - b^{2} - 2b$ 的值为。

9. 1

因为$a - b = 1$，所以$a = b + 1$。
将$a = b + 1$代入$a^2 - b^2 - 2b$可得：
$\begin{aligned}&(b + 1)^2 - b^2 - 2b\\=&b^2 + 2b + 1 - b^2 - 2b\\=&(b^2 - b^2) + (2b - 2b) + 1\\=&0 + 0 + 1\\=&1\end{aligned}$
1

10. 如图，两个正方形的边长分别为 $m$，$n$，如果 $m + n = 10$，$mn = 20$，则图中阴影部分的面积为。

10. 20

解：阴影部分面积为两个正方形面积之和减去三个空白三角形面积。
两个正方形面积和：$m^2 + n^2$。
空白三角形面积分别为：
$S_1 = \frac{1}{2}m^2$（以小正方形边长为直角边的三角形）
$S_2 = \frac{1}{2}n(m + n)$（以$n$和$m + n$为直角边的三角形）
$S_3 = \frac{1}{2}m(n - m)$（以$m$和$n - m$为直角边的三角形）
阴影面积$S = m^2 + n^2 - S_1 - S_2 - S_3$
$\begin{aligned}S&=m^2 + n^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}n(m + n) - \frac{1}{2}m(n - m)\\&=\frac{1}{2}m^2 + n^2 - \frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}m^2\\&=m^2 + \frac{1}{2}n^2 - mn\\&=\frac{1}{2}(2m^2 + n^2 - 2mn)\\&=\frac{1}{2}[(m^2 + n^2) - 2mn + m^2]\\&=\frac{1}{2}[(m - n)^2 + m^2]\end{aligned}$
由$m + n = 10$，$mn = 20$，得$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn = 10^2 - 2×20 = 60$。
$\begin{aligned}S&=m^2 + n^2 - \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}n(m + n) - \frac{1}{2}m(n - m)\\&=\frac{1}{2}m^2 + n^2 - \frac{1}{2}mn - \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}m^2\\&=m^2 + \frac{1}{2}n^2 - mn\\&=\frac{1}{2}(2m^2 + n^2 - 2mn)\\&=\frac{1}{2}[(m^2 + n^2) + (m^2 - 2mn + n^2) - n^2]\\&=\frac{1}{2}[60 + (m - n)^2 - n^2]\end{aligned}$（此步骤可简化）
正确简化：$S = \frac{1}{2}(m^2 + n^2 - mn)$，将$m^2 + n^2 = 60$，$mn = 20$代入得：
$S = \frac{1}{2}(60 - 20) = 20$
20

11. 计算：
(1) $(-3y)·(4x^{2}y - 2xy)$；
(2) $(-2a - 5)^{2}$；
(3) $(x + y)^{2} - (x - y)^{2}$；
(4) $5x(x^{2} + 2x + 1) - (2x + 3)(x - 5)$。

11. 解：(1) 原式 = -12x²y² + 6xy².
(2) 原式 = 4a² + 20a + 25.
(3) 原式 = (x² + 2xy + y²) - (x² - 2xy + y²) = x² + 2xy + y² - x² + 2xy - y² = 4xy.
(4) 原式 = 5x³ + 10x² + 5x - 2x² + 10x - 3x + 15 = 5x³ + 8x² + 12x + 15.

12. 先化简，再求值：$(x + 1)^{2} + (1 + x)(x - 1) - 2(x^{2} - 3)$，其中 $x = -\dfrac{1}{2}$。

12. 解：原式 = x² + 2x + 1 + x² - 1 - 2x² + 6 = 2x + 6.
当 x = - $\frac{1}{2}$ 时，原式 = 2×(- $\frac{1}{2}$) + 6 = -1 + 6 = 5.