13. 已知 $x - y = 5$，$xy = -3$。求下列各式的值：
(1) $(xy - x^{2})· 2y$；
(2) $(x + y)^{2}$。

13. 解：(1) 原式 = -2xy(x - y) = -2×(-3)×5 = 30.
(2) 原式 = (x - y)² + 4xy = 5² + 4×(-3) = 25 - 12 = 13.

14. 如图，将一个边长为 $a$ 的正方形图形分成四部分(两个正方形和两个长方形)，请认真观察图形，解答下列问题：
(1) 请用两种方法表示阴影部分的面积(用含 $a$，$b$ 的代数式表示)：
方法一：，方法二：；
(2) 若图中 $a$，$b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 31$，$ab = 3$，求阴影部分正方形的边长；
(3) 若 $(2021 - y)(2023 - y) = 1010$，求 $(2021 - y)^{2} + (2023 - y)^{2}$ 的值。

14. (1) (a - b)² a² - 2ab + b²
(2) 解：因为 (a - b)² = a² - 2ab + b² = 31 - 6 = 25，
所以 a - b = 5（负值舍去）.
答：阴影部分正方形的边长是 5.
(3) 解：设 2021 - y = m，2023 - y = n，则 mn = 1010，m - n = -2，所以 m² + n² = (m - n)² + 2mn = (-2)² + 2×1010 = 4 + 2020 = 2024，
所以 (2021 - y)² + (2023 - y)² = 2024.

15. 将 $7$ 张相同的小长方形纸片(如图①所示)按图②所示的方式不重叠地放在长方形 $ABCD$ 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$。已知小长方形纸片的长为 $a$，宽为 $b$，且 $a ＞ b$。
(1) 当 $a = 9$，$b = 3$，$AD = 30$ 时，长方形 $ABCD$ 的面积是，$S_{1} - S_{2}$ 的值为；
(2) 当 $AD = 40$ 时，请用含 $a$，$b$ 的式子表示 $S_{1} - S_{2}$ 的值；
(3) 若 $AB$ 的长度保持不变，$AD$ 变长，将这 $7$ 张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形 $ABCD$ 内，当 $a$，$b$ 满足什么关系时，$S_{1} - S_{2}$ 的值与 $AD$ 的长度无关？

15. (1) 630 63
(2) 解：S₁ - S₂ = 4b(40 - a) - a(40 - 3b) = 160b - 4ab - 40a + 3ab = 160b - ab - 40a.
(3) 解：由题意，可知 S₁ - S₂ = 4b(AD - a) - a(AD - 3b) = (4b - a)AD - ab.
∵ S₁ - S₂ 的值与 AD 的值无关，
∴ 4b - a = 0，解得 a = 4b.
即 a，b 满足的关系是 a = 4b.