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10. (1)已知 $ x^{n}=2 $，求 $ (3 x^{n})^{2}-4(x^{2})^{n} $ 的值；
(2)已知 $ x=2^{n}-1 $，$ y=3+8^{n} $，用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.
(2)已知 $ x=2^{n}-1 $，$ y=3+8^{n} $，用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.
答案
10. 解：(1) 当 $ x^{n} = 2 $ 时，$ (3x^{n})^{2} - 4(x^{2})^{n} = 9(x^{n})^{2} - 4(x^{n})^{2} = 9 × 2^{2} - 4 × 2^{2} = 9 × 4 - 4 × 4 = 36 - 16 = 20 $。
(2) 因为 $ x = 2^{n} - 1 $，$ y = 3 + 8^{n} $，
所以 $ x + 1 = 2^{n} $，
所以 $ y = 3 + 8^{n} = 3 + (2^{n})^{3} = 3 + (x + 1)^{3} $，
即 $ y = 3 + (x + 1)^{3} $。
(2) 因为 $ x = 2^{n} - 1 $，$ y = 3 + 8^{n} $，
所以 $ x + 1 = 2^{n} $，
所以 $ y = 3 + 8^{n} = 3 + (2^{n})^{3} = 3 + (x + 1)^{3} $，
即 $ y = 3 + (x + 1)^{3} $。
11. 已知 $ a^{m}=6 $，$ a^{n}=2 $，求下列各式的值：
(1) $ a^{2 m}+a^{3 n} $；
(2) $ a^{m+2 n} $；
(3) $ a^{2 m-n} $.
(1) $ a^{2 m}+a^{3 n} $；
(2) $ a^{m+2 n} $；
(3) $ a^{2 m-n} $.
答案
11. 解：(1) $ \because a^{m} = 6 $，$ a^{n} = 2 $，
$ \therefore $ 原式 $ = (a^{m})^{2} + (a^{n})^{3} = 6^{2} + 2^{3} = 44 $。
(2) $ \because a^{m} = 6 $，$ a^{n} = 2 $，$ \therefore $ 原式 $ = a^{m} · a^{2n} = 6 × 2^{2} = 24 $。
(3) $ \because a^{m} = 6 $，$ a^{n} = 2 $，
$ \therefore $ 原式 $ = a^{2m} ÷ a^{n} = 6^{2} ÷ 2 = 18 $。
$ \therefore $ 原式 $ = (a^{m})^{2} + (a^{n})^{3} = 6^{2} + 2^{3} = 44 $。
(2) $ \because a^{m} = 6 $，$ a^{n} = 2 $，$ \therefore $ 原式 $ = a^{m} · a^{2n} = 6 × 2^{2} = 24 $。
(3) $ \because a^{m} = 6 $，$ a^{n} = 2 $，
$ \therefore $ 原式 $ = a^{2m} ÷ a^{n} = 6^{2} ÷ 2 = 18 $。
12. (1)你发现了吗？
$ (\frac{2}{3})^{2}=\frac{2}{3} × \frac{2}{3} $，$ (\frac{3}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}} × \frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3} × \frac{2}{3} $，由上述计算，我们发现：$ (\frac{2}{3})^{2} \_\_\_\_\_\_ (\frac{3}{2})^{-2} $；
(2)仿照(1)，请你通过计算，判断 $ (\frac{5}{4})^{3} $ 与 $ (\frac{4}{5})^{-3} $ 之间的关系；
(3)我们可以发现：$ (\frac{b}{a})^{-m} \_\_\_\_\_\_ (\frac{a}{b})^{m}(a b ≠ 0) $；
(4)计算：$ (\frac{3}{8})^{-4} ×(\frac{3}{4})^{4} $.
$ (\frac{2}{3})^{2}=\frac{2}{3} × \frac{2}{3} $，$ (\frac{3}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}} × \frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3} × \frac{2}{3} $，由上述计算，我们发现：$ (\frac{2}{3})^{2} \_\_\_\_\_\_ (\frac{3}{2})^{-2} $；
(2)仿照(1)，请你通过计算，判断 $ (\frac{5}{4})^{3} $ 与 $ (\frac{4}{5})^{-3} $ 之间的关系；
(3)我们可以发现：$ (\frac{b}{a})^{-m} \_\_\_\_\_\_ (\frac{a}{b})^{m}(a b ≠ 0) $；
(4)计算：$ (\frac{3}{8})^{-4} ×(\frac{3}{4})^{4} $.
答案
12. (1) $ = $
(2) 解：$ \because (\frac{5}{4})^{3} = \frac{5}{4} × \frac{5}{4} × \frac{5}{4} $，
$ (\frac{4}{5})^{-3} = \frac{1}{\frac{4}{5} × \frac{4}{5} × \frac{4}{5}} = \frac{5}{4} × \frac{5}{4} × \frac{5}{4} $，
$ \therefore (\frac{5}{4})^{3} = (\frac{4}{5})^{-3} $。
(3) $ = $
(4) 解：原式 $ = (\frac{1}{2} × \frac{3}{4})^{-4} × (\frac{3}{4})^{4} = (\frac{1}{2})^{-4} × (\frac{3}{4})^{-4} × (\frac{3}{4})^{4} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^{4}} × (\frac{3}{4})^{-4 + 4} = 16 × 1 = 16 $。
(2) 解：$ \because (\frac{5}{4})^{3} = \frac{5}{4} × \frac{5}{4} × \frac{5}{4} $，
$ (\frac{4}{5})^{-3} = \frac{1}{\frac{4}{5} × \frac{4}{5} × \frac{4}{5}} = \frac{5}{4} × \frac{5}{4} × \frac{5}{4} $，
$ \therefore (\frac{5}{4})^{3} = (\frac{4}{5})^{-3} $。
(3) $ = $
(4) 解：原式 $ = (\frac{1}{2} × \frac{3}{4})^{-4} × (\frac{3}{4})^{4} = (\frac{1}{2})^{-4} × (\frac{3}{4})^{-4} × (\frac{3}{4})^{4} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^{4}} × (\frac{3}{4})^{-4 + 4} = 16 × 1 = 16 $。
