（1）如图①，1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了$2+1=3$(个)区域，所以3条直线至多将平面分成$4+3=7$(个)区域……依此类推，20条直线可以将平面至多分成个区域；

(1) 211 解析:由题意,得1条直线,将平面分成1+1=2(个)区域;2条直线,将平面至多分成1+1+2=4(个)区域;3条直线,将平面至多分成1+1+2+3=7(个)区域……20条直线时,要使分成的区域尽量多,就必须将第20条直线与前面19条直线尽可能两两相交,这样就会得到19个交点,这19个交点将第20条直线分为了20部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了20个区域,所以20条直线至多将平面分成 $1+1+2+3+\dots+20=\frac{20×21}{2}+1=211$(个)区域。

(2) 如图②,1个圆可以将平面分成2个区域;2个圆时,要使分成的区域尽量多,2个圆相交将平面分成4个区域;3个圆时,要使分成的区域尽量多,第3个圆与前2个圆都相交被分成了$2×(3-1)=4$(条)圆弧,将平面至多分成了$4+4=8$(个)区域……依此类推,n个圆可以将平面分成个区域.

(3) 如图③,仿照前面的过程,n个三角形至多可以将平面分成个区域.(提示:两个三角形至多有6个交点)

(4) n组平行线至多可以将平面分成个区域.

(2) $[n(n-1)+2]$ 解析:由题意,得1个圆,分成2个区域;2个圆,至多分成$2+(2-1)×2=4$(个)区域;3个圆,至多分成$2+(2-1)×2+(3-1)×2=8$(个)区域……n个圆时,要使分成的区域尽量多,第n个圆与前$(n-1)$个圆都相交,这样就会得到$2(n-1)$个交点,这$2(n-1)$个交点将第n个圆分成了$2(n-1)$部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了$2(n-1)$个区域,所以n个圆至多将平面分成$2+(2-1)×2+(3-1)×2+\dots+2(n-1)=2+2[1+2+3+\dots+(n-1)]=2×\frac{n(n-1)}{2}+2=[n(n-1)+2]$(个)区域。
(3) $[3n(n-1)+2]$ 解析:1个三角形至多将平面分为2个区域;第2个三角形与第1个三角形至多有6个交点,6个交点将2个三角形的边分出了6段,这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成$2+6=8$(个)区域;第3个三角形与前面两个三角形至多有$2×6=12$(个)交点,从而增加了12个区域,共分成$2+6+12=20$(个)区域……第n个三角形与前面$(n-1)$个三角形至多有$6(n-1)$个交点,从而增加了$6(n-1)$个区域,所以n个三角形至多将平面分为$2+6+2×6+\dots+6(n-1)=2+[1+2+\dots+(n-1)]×6=[3n(n-1)+2]$(个)区域。
(4) $(2n^2+1)$ 解析:1组平行线至多将平面分为3个区域;第2组平行线与第1组平行线至多有4个交点,4个交点将第2组平行线分成了6部分,每一部分都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成$3+6=9$(个)区域;第3组平行线与前面两组平行线至多有$2×4=8$(个)交点,从而增加了10个区域,共分成$3+6+10=19$(个)区域……第n组平行线与前面$(n-1)$组平行线至多有$4(n-1)$个交点,从而增加了$4(n-1)+2=(4n-2)$个区域,所以n组平行线至多将平面分为$3+6+10+\dots+(4n-2)=1+2×[1+3+\dots+(2n-1)]=(2n^2+1)$(个)区域。