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1[中]如图，$∠ AOB = α$，$OA_1, OB_1$分别是$∠ AOM$和$∠ MOB$的平分线，$OA_2, OB_2$分别是$∠ A_1OM$和$∠ MOB_1$的平分线，$OA_3, OB_3$分别是$∠ A_2OM$和$∠ MOB_2$的平分线，…，$OA_n, OB_n$分别是$∠ A_{n-1}OM$和$∠ MOB_{n-1}$的平分线，则$∠ A_nOB_n$的度数是（
A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^n}$
D.$\frac{α}{n^2}$
C
）A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^n}$
D.$\frac{α}{n^2}$
答案
因为∠AOB=α，OA₁,OB₁分别是∠AOM和∠MOB的平分线，所以∠A₁OM = 1/2∠AOM，∠B₁OM = 1/2∠BOM，所以∠A₁OB₁=1/2(∠AOM+∠BOM)=1/2∠AOB=1/2α；因为OA₂,OB₂分别是∠A₁OM和∠MOB₁的平分线，所以∠A₂OM = 1/2∠A₁OM，∠B₂OM = 1/2∠B₁OM，所以∠A₂OB₂ = 1/2(∠A₁OM+∠B₁OM) = 1/2∠A₁OB₁ = 1/2 × 1/2∠AOB=α/2²；因为OA₃,OB₃分别是∠A₂OM和∠MOB₂的平分线，所以∠A₃OM = 1/2∠A₂OM，∠B₃OM = 1/2∠B₂OM，所以∠A₃OB₃ = 1/2 (∠A₂OM + ∠B₂OM ) = 1/2∠A₂OB₂ = 1/2 × 1/2 ∠A₁OB₁ = 1/2 × 1/2 × 1/2∠AOB=α/2³；…，由此规律得∠AₙOBₙ=α/2ⁿ，故选C。
2[2026贵州铜仁期末,中]数学活动课上,老师以直线AB上一点O为端点作射线OC,OD,OM,ON,使OM平分∠AOC,ON平分∠BOD.
(1)如图(1),兴趣小组将一个三角尺的直角顶点放在点O处,使∠COD=90°,则∠MOC+∠DON的度数为
(2)受兴趣小组的启发,如图(2),智慧小组将三角尺60°角的顶点放在点O处,使∠COD=60°,求∠MOC+∠DON的度数;
(3)如图(3),已知∠COD=α,求∠MOC+∠DON的度数(用含α的式子表示).
(1)如图(1),兴趣小组将一个三角尺的直角顶点放在点O处,使∠COD=90°,则∠MOC+∠DON的度数为
45°
;(2)受兴趣小组的启发,如图(2),智慧小组将三角尺60°角的顶点放在点O处,使∠COD=60°,求∠MOC+∠DON的度数;
(3)如图(3),已知∠COD=α,求∠MOC+∠DON的度数(用含α的式子表示).
答案
(1) 45°
(2) 根据题意，得∠DOC=60°，所以∠COA+∠DOB=180°−∠DOC=120°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC = 1/2∠AOC，∠DON = 1/2∠DOB，所以∠MOC + ∠DON = 1/2∠AOC + 1/2∠DOB = 1/2(∠AOC + ∠DOB)=60°.
(3) 根据题意，得∠COA + ∠DOB = 180°−∠DOC=180°−α. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC = 1/2∠AOC，∠DON = 1/2∠DOB，所以∠MOC + ∠DON = 1/2∠AOC + 1/2∠DOB = 1/2(∠AOC+∠DOB)=(180°−α)/2.
(2) 根据题意，得∠DOC=60°，所以∠COA+∠DOB=180°−∠DOC=120°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC = 1/2∠AOC，∠DON = 1/2∠DOB，所以∠MOC + ∠DON = 1/2∠AOC + 1/2∠DOB = 1/2(∠AOC + ∠DOB)=60°.
(3) 根据题意，得∠COA + ∠DOB = 180°−∠DOC=180°−α. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC = 1/2∠AOC，∠DON = 1/2∠DOB，所以∠MOC + ∠DON = 1/2∠AOC + 1/2∠DOB = 1/2(∠AOC+∠DOB)=(180°−α)/2.
3[中](1)如图,若$∠ AOB=120°$,$∠ AOC=40°$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数;
(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB=m°$,$∠ AOC=n°(0＜n＜m＜180)$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m,n$的代数式表示)
(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB=m°$,$∠ AOC=n°(0＜n＜m＜180)$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m,n$的代数式表示)
答案
(1) 因为∠AOB=120°,OD平分∠AOB，所以∠AOD=∠BOD=1/2∠AOB=60°. 因为OE平分∠AOC,∠AOC=40°,所以∠AOE = 1/2∠AOC=20°,所以∠DOE=∠AOD−∠AOE=60°−20°=40°.
(2) 若射线OC在∠AOB的内部，
，因为∠AOB=m°,∠AOC=n°,OD,OE分别平分∠AOB,∠AOC，所以∠DOE = ∠AOD − ∠AOE=1/2∠AOB−1/2∠AOC=1/2(m−n)°,所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE=1/2(m−n)°.若射线OC在∠AOB外部，
，因为∠AOB=m°,∠AOC=n°,OD,OE分别平分∠AOB,∠AOC，所以∠DOE = ∠AOD + ∠AOE=1/2∠AOB+1/2∠AOC=1/2(n+m)°,所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE=1/2(n+m)°.综上，∠DOE的度数为1/2(m−n)°或1/2(m+n)°.
4[中]如图,已知在同一平面内,$∠AOB=90°$,$∠AOC=60°$.
(1)填空:$∠BOC=$
(2)如果OD平分$∠BOC$,OE平分$∠AOC$,求$∠DOE$的度数;
(3)如果在(2)的条件下将$∠AOC=60°$改为$∠AOC=2α(0°＜α＜45°)$,其他条件不变,求$∠DOE$的度数.
(1)填空:$∠BOC=$
150°
;(2)如果OD平分$∠BOC$,OE平分$∠AOC$,求$∠DOE$的度数;
(3)如果在(2)的条件下将$∠AOC=60°$改为$∠AOC=2α(0°＜α＜45°)$,其他条件不变,求$∠DOE$的度数.
答案
(1) 150°
(2) 由(1)知∠BOC = 150°. 因为OD平分∠BOC，所以∠DOC=1/2∠BOC=75°. 因为OE平分∠AOC，∠AOC = 60°，所以∠COE = 1/2∠AOC = 30°，所以∠DOE = ∠DOC − ∠COE=45°.
(3) 因为∠AOB=90°,∠AOC=2α，所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α. 因为OD平分∠BOC，所以∠DOC=1/2∠BOC=45°+α. 因为OE平分∠AOC，所以∠COE=1/2∠AOC=α，所以∠DOE=∠DOC−∠COE=45°.
(2) 由(1)知∠BOC = 150°. 因为OD平分∠BOC，所以∠DOC=1/2∠BOC=75°. 因为OE平分∠AOC，∠AOC = 60°，所以∠COE = 1/2∠AOC = 30°，所以∠DOE = ∠DOC − ∠COE=45°.
(3) 因为∠AOB=90°,∠AOC=2α，所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α. 因为OD平分∠BOC，所以∠DOC=1/2∠BOC=45°+α. 因为OE平分∠AOC，所以∠COE=1/2∠AOC=α，所以∠DOE=∠DOC−∠COE=45°.
5[中]如图，$∠ AOB=126°$，射线OC在$∠ AOB$外，且$∠ BOC=2∠ AOC$，若OM平分$∠ BOC$，ON平分$∠ AOC$，则$∠ MON=$
117°
。答案
117°
解析：因为∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,所以∠BOC + ∠AOC = 360° − ∠AOB = 360°−126°=234°. 因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC，所以∠MOC=1/2∠BOC,∠CON=1/2∠AOC，所以∠MON = ∠MOC + ∠CON = 1/2∠BOC+1/2∠AOC=1/2(∠BOC+∠AOC)=1/2×234°=117°.
解析：因为∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,所以∠BOC + ∠AOC = 360° − ∠AOB = 360°−126°=234°. 因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC，所以∠MOC=1/2∠BOC,∠CON=1/2∠AOC，所以∠MON = ∠MOC + ∠CON = 1/2∠BOC+1/2∠AOC=1/2(∠BOC+∠AOC)=1/2×234°=117°.
