1[2025河北石家庄期中,中]把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上.
(1)点A和点B在直线MN的上方(如图(1)),此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=;
(2)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时(如图(2)),∠ACM与∠BCN的数量关系是;
(3)当将这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时(如图(3)),∠ACM与∠BCN的数量关系是.

解：
(1) 由平角的定义得：$∠ ACM + ∠ ACB + ∠ BCN = 180°$。
因为$∠ ACB = 90°$，所以$∠ ACM + ∠ BCN = 180° - 90° = 90°$。
答案：$\boldsymbol{90°}$。
(2) 由平角的定义得：$∠ BCN + ∠ BCM = 180°$，即$∠ BCM = 180° - ∠ BCN$。
又因为$∠ ACM + ∠ BCM = ∠ ACB = 90°$，将$∠ BCM$代入得：
$∠ ACM + 180° - ∠ BCN = 90°$，整理得$∠ BCN - ∠ ACM = 90°$。
答案：$\boldsymbol{∠ BCN - ∠ ACM = 90°}$。
(3) 由平角的定义得：$∠ BCM + ∠ ACB + ∠ ACN = 180°$。
因为$∠ ACB = 90°$，所以$∠ BCM + ∠ ACN = 90°$。
又因为$∠ ACM = 180° - ∠ ACN$，$∠ BCN = 180° - ∠ BCM$，
所以$∠ ACM + ∠ BCN = 360° - (∠ ACN + ∠ BCM) = 360° - 90° = 270°$。
答案：$\boldsymbol{∠ ACM + ∠ BCN = 270°}$。

2[2025广东潮州期末,中]如图(1),O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠AOC=30°,将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OA上,另一边OM与射线OC都在直线AB的上方.(注:本题中最大旋转角度为180°)
(1)将图(1)中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转.如图(2),经过t秒后,∠AON=度(用含t的式子表示),若OM恰好平分∠BOC,则t=.
(2)在(1)的基础上,若三角板在转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转,如图(3),经过t秒后,∠AOC=度(用含t的式子表示),若OC平分
∠MON,求t的值.

解：
(1) 三角板绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，t秒后射线ON转过的角度为3t，因此$∠ AON=3t$度。
由$∠ AOC=30°$，得$∠ BOC=180°-30°=150°$。
当OM恰好平分$∠ BOC$时，$∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOC=75°$。
因为$∠ MON=90°$，所以$∠ AON + ∠ MON + ∠ BOM=180°$，代入得：
$∠ AON=180°-90°-75°=15°$，即$3t=15$，解得$t=5$。
(2) 射线OC初始时$∠ AOC=30°$，以每秒6°的速度顺时针旋转，t秒后$∠ AOC=(30+6t)$度。
因为OC平分$∠ MON$，且$∠ MON=90°$，所以$∠ CON=\frac{1}{2}∠ MON=45°$。
又$∠ CON=∠ AOC - ∠ AON=(30+6t)-3t=30+3t$，列方程得：
$30+3t=45$
解得$t=5$，符合$0≤ t≤60$的旋转范围要求。
综上，答案为：
(1) $\boldsymbol{3t}$，$\boldsymbol{5}$；
(2) $\boldsymbol{30+6t}$，$t$的值为$\boldsymbol{5}$。

3[2026陕西榆林质检,中]【问题情境】已知∠AOB=120°,∠COD=40°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.
【特例分析】(1)如图(1),当OB,OC重合时,求∠AOE−∠BOF的值.
【深入探究】(2)如图(2),当OB,OC不重合,OC在OB的下方时,设∠BOC=x,∠AOE−∠BOF的值是否会因为x的变化而变化?若不发生变化,请求出该定值;若发生变化,请说明理由.
【问题解决】(3)在(2)的条件下,当∠COF=12°时,求∠BOE的度数.

(3) ∠BOE=∠EOC−∠BOC=68°−16°=52°.