1[2026山东东营期末,中]如图,∠AOB是直角,∠AOC=50°,射线OP从边OA出发,绕点O逆时针旋转直至与边OB重合,在旋转过程中,下列情形不可能出现的是 ()


A.OP平分∠AOC
B.OP平分∠AOB
C.OC平分∠BOP
D.OC平分∠AOP

D 【解析】当射线 OP 旋转到∠AOC 内,满足∠AOP=∠POC 时,OP 平分∠AOC,故 A 选项可能出现,不符合题意. 当射线 OP 旋转到∠AOB 内,满足∠AOP=∠POB 时,OP 平分∠AOB,故 B 选项可能出现,不符合题意. 当射线 OP 旋转到∠AOC 内,满足∠POC=∠BOC 时,OC 平分∠BOP,故 C 选项可能出现,不符合题意. 因为∠AOC=50°,若 OC 平分∠AOP,则∠AOC=∠POC=50°,所以∠AOP=100°. 因为∠AOB 是直角,为 90°,且射线 OP 从边 OA 出发,绕点 O 逆时针旋转直至与边 OB 重合,所以在∠AOB 中不可能有一个大于 90°的∠AOP,故 D 选项不可能出现,符合题意. 故选 D.

2[较难]定义:从$∠ AOB$的顶点出发,在角的内部引一条射线$OC$,把$∠ AOB$分成$1:2$的两部分,射线$OC$叫作$∠ AOB$的三等分线.若在$∠ MON$中,射线$OP$是$∠ MON$的三等分线,射线$OQ$是$∠ MOP$的三等分线,设$∠ MOQ=x$,则$∠ MON$的度数用含$x$的代数式表示为 ()

A.$\frac{9}{4}x$ 或 $3x$ 或 $\frac{9}{2}x$
B.$\frac{9}{4}x$ 或 $3x$ 或 $9x$
C.$\frac{9}{4}x$ 或 $\frac{9}{2}x$ 或 $9x$
D.$3x$ 或 $\frac{9}{2}x$ 或 $9x$

C 【解析】①如图(1),当∠MOP=2∠NOP,∠QOP=2∠MOQ 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=2x,所以∠NOP=1/2∠MOP=1/2×(x+2x)=3/2 x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+3/2 x=9/2 x.
②如图(2),当∠MOP=2∠NOP,∠MOQ=2∠QOP 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=1/2 x,所以∠NOP=1/2∠MOP=1/2×(x+1/2 x)=3/4 x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1/2 x+3/4 x=9/4 x.
③如图(3),当∠NOP=2∠MOP,∠MOQ=2∠QOP 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=1/2 x,所以∠NOP=2∠MOP=2×(x+1/2 x)=3x, 所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1/2 x+3x=9/2 x.
④如图(4),当∠NOP=2∠MOP,∠QOP=2∠MOQ 时,因为∠MOQ=x,所以∠QOP=2x,所以∠NOP=2∠MOP=2×(x+2x)=6x,所以∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x.
综上,∠MON=9/4 x 或 9/2 x 或 9x,故选 C.

3[2026上海闵行区质检,中]如图,OM是∠AOB的平分线,OP是∠MOB内的一条射线,已知∠AOP比∠BOP大30°,则∠MOP的度数是.

（第3题图）
（第4题图）

15° 【解析】设∠MOP=α. 因为 OP 是∠MOB 内的一条射线,所以∠BOP=∠BOM-∠MOP=∠BOM-α,∠AOP=∠AOM+∠MOP=∠AOM+α. 因为∠AOP 比∠BOP 大 30°,所以∠AOP-30°=∠BOP,所以∠AOM+α-30°=∠BOM-α,所以∠BOM-∠AOM=2α-30°. 因为 OM 是∠AOB 的平分线,所以∠BOM=∠AOM,所以 2α-30°=0, 解得 α=15°, 所以∠MOP=α=15°. 故答案为15°.

4 [2026 陕西榆林期末，中]如图，OD平分∠AOB，C为∠BOD内部一点，连接OC，OE平分∠BOC。若∠DOE=38°，则∠AOC的度数为°。

76 【解析】由条件可知∠AOD=∠BOD=1/2∠BOA,∠COE=∠EOB=1/2∠BOC,∠DOE=∠BOD-∠BOE. 因为∠DOE=38°,所以∠AOD=∠BOD=∠BOE+38°,所以∠AOC=∠AOD+∠DOC = ∠DOC + ∠BOE + 38° = ∠DOC+∠COE+38°=∠DOE+38°=76°,故答案为76.

5[中]如图,点A是∠OBC的边BO上一点,以A为顶点,射线AO为一边,在∠OBC外用尺规作∠OAD,使其等于∠ABC(不写作法,保留作图痕迹).

刷素养 走向重高

【解】如图,∠OAD 即为所求.

6 核心素养推理能力 [2026河南洛阳期末,较难]如图,以直线AB上一点O为端点作射线OC,使$∠ BOC=70°$,将一个直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图(1),若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上,则$∠ COE=$°.
(2)如图(2),将直角三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置,若OC恰好平分$∠ BOE$,求$∠ COD$的度数.
(3)如图(3),将直角三角板DOE绕点O逆时针转动,如果OD始终在$∠ BOC$的内部,试猜想$∠ BOD$和$∠ COE$有怎样的数量关系?并说明理由.
(4)将直角三角板DOE绕点O逆时针转动一周,如果OD在$∠ BOC$的外部,且$∠ BOD=80°$,请直接写出$∠ COE$的度数.

【解】(1)∠COE = ∠DOE - ∠BOC = 90° - 70° = 20°. 故答案为 20.
(2)因为 OC 平分∠BOE,∠BOC=70°,所以∠EOB=2∠BOC=140°. 因为∠DOE=90°,所以∠BOD = ∠BOE - ∠DOE = 50°. 因为∠BOC=70°,所以∠COD = ∠BOC - ∠BOD = 20°.
(3)∠COE - ∠BOD = 20°. 理由如下: 因为∠BOD + ∠COD = ∠BOC = 70°, ∠COE + ∠COD = ∠DOE = 90°,所以(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD = ∠COE - ∠BOD = 90° - 70° = 20°, 故∠COE - ∠BOD = 20°.
(4)∠COE 的度数为 100°或 60°. 如图(1),当 OD 在 AB 上方时,∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 80° - 70° = 10°,所以∠COE = ∠COD + ∠DOE = 10° + 90° = 100°.
如图(2),当 OD 在 AB 下方时,因为∠BOD=80°,∠BOC=70°, 所以∠COD = ∠BOD + ∠BOC = 80° + 70° = 150°. 因为∠DOE=90°,所以∠COE = ∠COD - ∠DOE = 150° - 90° = 60°.
综上,∠COE 的度数为 100°或 60°.