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1.(2025·密云区期末)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示,则方程$ax^2+bx+c=0$的实数根的情况是 (
A.没有实数根
B.实数根的情况不确定
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
D
)A.没有实数根
B.实数根的情况不确定
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
1.D
2.若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$上的所有点都在$x$轴下方，则必有（
A.$a＜0,b^2-4ac＞0$
B.$a＞0,b^2-4ac＞0$
C.$a＜0,b^2-4ac＜0$
D.$a＞0,b^2-4ac＜0$
C
）A.$a＜0,b^2-4ac＞0$
B.$a＞0,b^2-4ac＞0$
C.$a＜0,b^2-4ac＜0$
D.$a＞0,b^2-4ac＜0$
答案
2.C
3. (2025·溧阳期末)若抛物线 $ y=x^2 -10x +k $ 的图象与x轴有且只有一个交点，则k=
25
.答案
3.25
4.(2025·沭阳期末)抛物线$y=-x^2+bx+3$的部分图象如图所示，则一元二次方程$-x^2+bx+3=0$的根为
$x_1=-3,x_2=1$
.答案
4.$x_1=-3,x_2=1$
5.(2025·通州区模拟)将抛物线$y=x^2 -4x +8$向下平移$m$个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与$x$轴有公共点，则$m$的取值范围是
$m≥4$
。答案
5.$m≥4$
6.(2025·淮安期末)已知抛物线$y=x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m$.
(1)求证:无论m取任何实数,该抛物线与x轴都有两个公共点;
(2)若$m=1$,抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B左边),与y轴的交点为C,求$△ ABC$的面积.
(1)求证:无论m取任何实数,该抛物线与x轴都有两个公共点;
(2)若$m=1$,抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B左边),与y轴的交点为C,求$△ ABC$的面积.
答案
6.(1)证明:
∵Δ=4(m+1)²−4(m²+2m)=4m²+8m+4−4m²−8m=4＞0，
∴无论m取任何实数,该抛物线与x轴都有两个公共点.
(2)解:当m=1时,抛物线的函数解析式为$y=x^2-4x+3$,
当y=0时,$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,
∴A(1,0),B(3,0).
当x=0时,$y=x^2-4x+3=3$,
∴C(0,3),
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×(3-1)×3=3$.
∵Δ=4(m+1)²−4(m²+2m)=4m²+8m+4−4m²−8m=4＞0，
∴无论m取任何实数,该抛物线与x轴都有两个公共点.
(2)解:当m=1时,抛物线的函数解析式为$y=x^2-4x+3$,
当y=0时,$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,
∴A(1,0),B(3,0).
当x=0时,$y=x^2-4x+3=3$,
∴C(0,3),
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×(3-1)×3=3$.
7.若二次函数$y=ax^2+1$的图象经过点$(-2,0)$，则关于$x$的方程$a(x-2)^2+1=0$的实数根为（
A.$x_1=0,x_2=4$
B.$x_1=-2,x_2=6$
C.$x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{5}{2}$
D.$x_1=-4,x_2=0$
A
）A.$x_1=0,x_2=4$
B.$x_1=-2,x_2=6$
C.$x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{5}{2}$
D.$x_1=-4,x_2=0$
答案
7.A
