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三、解答题(共40分)
11.(10分)已知二次函数$y=x^2-2x-3$.
(1)函数图象的对称轴为
(2)请补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出函数图象.
(3)根据图象填空:
①当$y＞-3$时，$x$的取值范围为
②当$0＜x＜3$时，$y$的取值范围为
③当$x＜k$($k$是常数)时，$y$随$x$的增大而减小，实数$k$的取值必须满足
11.(10分)已知二次函数$y=x^2-2x-3$.
(1)函数图象的对称轴为
直线$x=1$
，顶点坐标为$(1,-4)$
.(2)请补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出函数图象.
(3)根据图象填空:
①当$y＞-3$时，$x$的取值范围为
$x＜0$或$x＞2$
；②当$0＜x＜3$时，$y$的取值范围为
$-4≤y＜0$
；③当$x＜k$($k$是常数)时，$y$随$x$的增大而减小，实数$k$的取值必须满足
$k≤1$
.答案
11.(1)直线$x=1$ $(1,-4)$
(2)解:0 $-3$ 画出函数图象如
.(3)①$x＜0$或$x＞2$ ②$-4≤y＜0$ ③$k≤1$
12.(15分)(2025·海淀区期末)在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(1+a,y_1)$,$B(b,y_2)$是抛物线$y=ax^2-2ax(a≠0)$上不重合的两点.
(1)当$a=1$,$y_1=y_2$时,求$b$的值;
(2)若对于$2＜b＜3$,都有$y_1＜y_2$,求$a$的取值范围.
(1)当$a=1$,$y_1=y_2$时,求$b$的值;
(2)若对于$2＜b＜3$,都有$y_1＜y_2$,求$a$的取值范围.
答案
12.解:(1)$∵$点$A(1+a,y_1),B(b,y_2)$是抛物线$y=ax^2-2ax(a≠0)$上不重合的两点，
$∴$当$y_1=y_2$时,点$A(1+a,y_1),B(b,y_2)$关于对称轴对称.
$∵$抛物线$y=ax^2-2ax(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,$∴\frac{1+a+b}{2}=1$.
$∵a=1$,$∴b=0$.
(2)$∵$对于$2＜b＜3$,都有$y_1＜y_2$,
$∴$当$a＞0$时,抛物线开口向上，
点$A(1+a,y_1)$在对称轴直线$x=1$的右侧，
则$1+a≤2$,解得$a≤1$,$∴0＜a≤1$;
当$a＜0$时,抛物线开口向下，
点$A(1+a,y_1)$在对称轴直线$x=1$的左侧，
点$A$关于对称轴的点的坐标为$(1-a,y_1)$，
则$1-a≥3$,解得$a≤-2$.
综上,$a$的取值范围是$a≤-2$或$0＜a≤1$.
$∴$当$y_1=y_2$时,点$A(1+a,y_1),B(b,y_2)$关于对称轴对称.
$∵$抛物线$y=ax^2-2ax(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,$∴\frac{1+a+b}{2}=1$.
$∵a=1$,$∴b=0$.
(2)$∵$对于$2＜b＜3$,都有$y_1＜y_2$,
$∴$当$a＞0$时,抛物线开口向上，
点$A(1+a,y_1)$在对称轴直线$x=1$的右侧，
则$1+a≤2$,解得$a≤1$,$∴0＜a≤1$;
当$a＜0$时,抛物线开口向下，
点$A(1+a,y_1)$在对称轴直线$x=1$的左侧，
点$A$关于对称轴的点的坐标为$(1-a,y_1)$，
则$1-a≥3$,解得$a≤-2$.
综上,$a$的取值范围是$a≤-2$或$0＜a≤1$.
13.(15分)在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,与$y$轴交于点$C$,作直线$BC$.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图①,$P$是线段$BC$上方的抛物线上一动点,过点$P$作$PQ⊥ BC$,垂足为$Q$,请问线段$PQ$是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,$H$是直线$BC$上一动点,过点$H$作线段$HK// OC$(点$K$在直线$BC$下方),已知$HK=2$,若线段$HK$与抛物线有交点,请直接写出点$H$的横坐标$x_H$的取值范围.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图①,$P$是线段$BC$上方的抛物线上一动点,过点$P$作$PQ⊥ BC$,垂足为$Q$,请问线段$PQ$是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,$H$是直线$BC$上一动点,过点$H$作线段$HK// OC$(点$K$在直线$BC$下方),已知$HK=2$,若线段$HK$与抛物线有交点,请直接写出点$H$的横坐标$x_H$的取值范围.
答案
13.解:(1)$∵$抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,$∴\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3,\end{cases}$
$∴$抛物线的函数解析式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)存在最大值. 如答图,过点$P$作$PN⊥AB$于点$N$,交$BC$于点$M$.
$∵B(3,0),C(0,3)$,
$∴$直线$BC$的函数解析式为$y=-x+3$.
$∵OB=OC$,$∠BOC=90°$,$∴∠CBO=45°$.
$∵∠MNB=90°$,$∴∠PMQ=∠NMB=45°$.
$∵PQ⊥BC$,$∴△PQM$是等腰直角三角形,$∴PQ=QM$,
$∴PM=\sqrt{PQ^2+QM^2}=\sqrt{2}PQ$,$∴PM$的值最大时,$PQ$的值最大.
设$P(m,-m^2+2m+3)$,则$M(m,-m+3)$,
$∴PM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-m^2+3m$.
$∵-1＜0$,$∴$当$m=\frac{3}{2}$时,$PM$的值最大，
$PM$的最大值为$-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}=\frac{9}{4}$,
$∴PQ$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}PM=\frac{9\sqrt{2}}{8}$,此时点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.
(3)设$H(a,-a+3)$,则$K(a,-a+1)$.
当点$K$在抛物线上时,$-a+1=-a^2+2a+3$,
$∴a^2-3a-2=0$,解得$a_1=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$,$a_2=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.
$∵$线段$HK$与抛物线有交点，
$∴$满足条件的点$H$的横坐标$x_H$的取值范围为
$\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤x_H＜0$ 或 $3≤x_H≤\frac{3+\sqrt{17}}{2}$.
