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8.(2025·丰台区期末)在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点为$P(-1,k)$,且经过点$A(-3,0),N(t,n)$,其部分图象如图所示.则下列说法正确的是 (
A.$n＞k$
B.$k=4a$
C.当$t=3$时,$n=0$
D.$-t-2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=n(a≠0)$的一个根
D
)A.$n＞k$
B.$k=4a$
C.当$t=3$时,$n=0$
D.$-t-2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=n(a≠0)$的一个根
答案
8.D
9.已知$m＞n＞0$，若关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解为$x_3,x_4(x_3＜x_4)$，则下列结论正确的是（
A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
B
）A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
答案
9.B
10.若二次函数$y=x^2+2x-b$的图象与坐标轴有两个公共点，则$b$满足的条件是
$b=-1或b=0$
答案
10.$b=-1或b=0$
11.(2025·门头沟区期末)函数$y=x^2 - 2|x| -1$的自变量$x$的取值范围为全体实数，其中$x≥0$部分的图象如图所示，对于此函数有以下的结论：①该函数的图象关于$y$轴对称；②函数既有最大值，同时也有最小值；③当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；④当$-2＜a＜-1$时，关于$x$的方程$x^2 -2|x| -1=a$有4个实数根.其中正确的结论有
①④
.(填序号)答案
11.①④
12.(2025·连云港)已知二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$，$a$为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，求$a$的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与$x$轴有交点，求$a$的值；
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，求$a$的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与$x$轴有交点，求$a$的值；
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点.
答案
12.(1)解:
∵二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$中,1＞0，
∴二次函数的图象开口向上.
∵二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，
∴函数的最小值小于$2a^2$，
则$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，
即$2a^2-4a+2＜2a^2$,解得$a＞\frac{1}{2}$.
(2)解:
∵二次函数的图象与$x$轴有交点，
∴Δ=4(a+1)²−4×1×(3a²−2a+3)=−8a²+16a−8=−8(a−1)²≥0,
∴8(a−1)²≤0，
又
∵8(a−1)²≥0,
∴8(a−1)²=0,解得a=1.
(3)证明:
∵当x=0时,$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$,
∴二次函数的图象不经过原点.
∵二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$中,1＞0，
∴二次函数的图象开口向上.
∵二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，
∴函数的最小值小于$2a^2$，
则$\frac{4(3a^2-2a+3)-4(a+1)^2}{4}=2a^2-4a+2$，
即$2a^2-4a+2＜2a^2$,解得$a＞\frac{1}{2}$.
(2)解:
∵二次函数的图象与$x$轴有交点，
∴Δ=4(a+1)²−4×1×(3a²−2a+3)=−8a²+16a−8=−8(a−1)²≥0,
∴8(a−1)²≤0，
又
∵8(a−1)²≥0,
∴8(a−1)²=0,解得a=1.
(3)证明:
∵当x=0时,$y=3a^2-2a+3=3(a-\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}＞0$,
∴二次函数的图象不经过原点.
13.已知二次函数$y=2x^2+bx-1$（$b$为常数）.
(1)若二次函数的图象经过点$(1,2b)$，求$b$的值；
(2)求证:无论$b$取何值,二次函数$y=2x^2+bx-1$的图象与$x$轴必有两个交点；
(3)若平行于$x$轴的直线与该二次函数的图象交于点$A,B$,且点$A,B$的横坐标之和大于1,求$b$的取值范围.
(1)若二次函数的图象经过点$(1,2b)$，求$b$的值；
(2)求证:无论$b$取何值,二次函数$y=2x^2+bx-1$的图象与$x$轴必有两个交点；
(3)若平行于$x$轴的直线与该二次函数的图象交于点$A,B$,且点$A,B$的横坐标之和大于1,求$b$的取值范围.
答案
13.(1)解:把$(1,2b)$代入$y=2x^2+bx-1$,得
$2+b-1=2b$,解得$b=1$.
(2)证明:
∵Δ=$b^2-4×2×(-1)=b^2+8$,
且无论$b$取何值,$b^2≥0$恒成立,
∴Δ=$b^2+8＞0$,
∴二次函数$y=2x^2+bx-1$的图象与$x$轴必有两个交点.
(3)解:设平行于$x$轴的直线为$y=m$,
由$\begin{cases} y=2x^2+bx-1,\\ y=m, \end{cases}$整理,得$2x^2+bx-1-m=0$.
设$x_1,x_2$是方程$2x^2+bx-1-m=0$的两根,则$x_1,x_2$是直线与抛物线的交点A,B的横坐标，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{2}$,由题意,得$-\frac{b}{2}＞1$,解得$b＜-2$,
∴$b$的取值范围是$b＜-2$.
$2+b-1=2b$,解得$b=1$.
(2)证明:
∵Δ=$b^2-4×2×(-1)=b^2+8$,
且无论$b$取何值,$b^2≥0$恒成立,
∴Δ=$b^2+8＞0$,
∴二次函数$y=2x^2+bx-1$的图象与$x$轴必有两个交点.
(3)解:设平行于$x$轴的直线为$y=m$,
由$\begin{cases} y=2x^2+bx-1,\\ y=m, \end{cases}$整理,得$2x^2+bx-1-m=0$.
设$x_1,x_2$是方程$2x^2+bx-1-m=0$的两根,则$x_1,x_2$是直线与抛物线的交点A,B的横坐标，
∴$x_1+x_2=-\frac{b}{2}$,由题意,得$-\frac{b}{2}＞1$,解得$b＜-2$,
∴$b$的取值范围是$b＜-2$.
