1. (2026·周口月考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(0,3),(1,0),(2,-1)$，则$a$的值为（）

A.1
B.-1
C.2
D.-2

1. A 解析:二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(0,3),(1,0),(2,-1)$,则$\begin{cases} c=3, \\ a+b+c=0, \\ 4a+2b+c=-1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-4, \\ c=3, \end{cases}$因此$a$的值为1,故选A.

2. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）


A.$y=x^2-2x+3$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=x^2+2x-3$
D.$y=x^2+2x+3$

2. B 解析:由题意得,该二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$,则$-\frac{b}{2×1}=1$,解得$b=-2$,把点$(0,-3)$代入解析式,得$c=-3$,故这个二次函数的解析式为$y=x^2-2x-3$,故选B.

3. 原创题 已知一条抛物线经过$A(0,10)$，$B(m+2,n)$，$C(4-m,n)$，$D(3,1)$四点，则抛物线的解析式为（）

A.$y=x^2+6x+10$
B.$y=x^2+3x+10$
C.$y=x^2-6x+10$
D.$y=x^2-3x+10$

3. C 解析:
∵ $B(m+2,n),C(4-m,n)$的纵坐标相等,
∴ 点B和点C为抛物线上关于对称轴对称的点,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=3$,
∴ $D(3,1)$为抛物线的顶点.设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1$,把$A(0,10)$代入得$9a+1=10$,解得$a=1$,
∴ 抛物线的解析式为$y=(x-3)^2+1$,即$y=x^2-6x+10$.

4. (2026·天津月考)二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)$的自变量x与函数值y的部分对应值如表：

该二次函数解析式为.

4. $y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6$ 解析:由表可知,当$x=-2$和$x=6$时,$y=0$,
∴ 二次函数的图象与x轴交于点$(-2,0)$和$(6,0)$,设二次函数解析式为$y=a(x+2)(x-6)$,把点$(0,6)$代入,得$6=a×2×(-6)$,解得$a=-\frac{1}{2}$,$y=-\frac{1}{2}(x+2)(x-6)$,即$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+6$.

5. (2025·上海模拟)如果抛物线$C_1$的顶点在抛物线$C_2$上时,抛物线$C_2$的顶点也在抛物线$C_1$上,此时我们称抛物线$C_1$与$C_2$是“互为关联”的抛物线,那么与抛物线$y=2x^2-1$是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是(只需写出一个).

5. $y=-2x^2+4x-1$(答案不唯一) 解析:设给定抛物线$y=2x^2-1$为$C_1$,顶点为$(0,-1)$,另一抛物线$C_2$方程为$y=a(x-m)^2+n$,则顶点坐标为$(m,n)$,根据题意,将点$(m,n)$代入$C_1$,得$n=2m^2-1$,将点$(0,-1)$代入$C_2$得$-1=a(0-m)^2+n$,即$-1=am^2+n$.将$n=2m^2-1$代入$-1=am^2+n$得$-1=am^2+2m^2-1$,整理得$0=m^2(a+2)$,由于顶点不同,则$m≠0$,故$a+2=0$,即$a=-2$,取$m=1$,则$n=2×1^2-1=1$,故另一抛物线的解析式可以为$y=-2(x-1)^2+1$,即$y=-2x^2+4x-1$.

6. 改编题 写出下列抛物线对应的解析式.
(1)抛物线的顶点为$(3,-1)$，与$y$轴的交点是$(0,-4)$；
(2)抛物线与$x$轴交于点$M(-1,0),N(2,0)$，且经过点$(1,2)$；
(3)与抛物线$y=-\sqrt{3}x^2$形状相同，开口方向相反，顶点坐标是$(-5,0)$的抛物线；
(4)将抛物线$y=x^2+2x-1$先绕原点旋转$180°$，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；
(5)将抛物线$y=x^2$先向下平移2个单位长度，再沿直线$y=-2$翻折后的抛物线.

6. (1)设$y=a(x-3)^2-1$,将$(0,-4)$代入得$a=-\frac{1}{3}$,
∴ $y=-\frac{1}{3}(x-3)^2-1 (或 y=-\frac{1}{3}x^2+2x-4)$.
(2)设$y=a(x+1)(x-2)$,将$(1,2)$代入得$a=-1$,
∴ $y=-(x+1)(x-2)$(或$y=-x^2+x+2$).
(3)$y=\sqrt{3}(x+5)^2$.
(4)绕原点旋转$180°$得$-y=(-x)^2+2(-x)-1$,再向下平移5个单位长度得$y=-x^2+2x-4$.
(5)向下平移2个单位长度得$y=x^2-2$,再沿直线$y=-2$翻折得$y=-x^2-2$.

7. (常德中考)如图,已知抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,且它的对称轴为$x=2$,点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当$△ OAB$的面积为15时,求$B$的坐标;
(3)在(2)的条件下,$P$是抛物线上的动点,当$PA-PB$的值最大时,求$P$的坐标以及$PA-PB$的最大值.

7. (1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$,$A(5,5)$,且它的对称轴为直线$x=2$,
∴ 抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(4,0)$.设抛物线解析式为$y=ax(x-4)$,把$A(5,5)$代入,得$5a=5$,解得$a=1$,
∴ $y=x(x-4)=x^2-4x$,故此抛物线的解析式为$y=x^2-4x$.
(2)
∵ 点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,
∴ 设$B(2,m)(m＞0)$,设直线OA的解析式为$y=kx$,则$5k=5$,解得$k=1$,
∴ 直线OA的解析式为$y=x$.如图①,设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则$H(2,2)$,
∴ $BH=|m-2|$.
∵ $S_{△OAB}=15$,
∴ $\frac{1}{2}×|m-2|×5=15$,解得$m=8$(负值舍去),
∴ 点B的坐标为$(2,8)$.
(3)设直线AB的解析式为$y=cx+d$,把$A(5,5)$,$B(2,8)$代入得$\begin{cases} 5c+d=5, \\ 2c+d=8, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=-1, \\ d=10, \end{cases}$
∴ 直线AB的解析式为$y=-x+10$,当$PA-PB$的值最大时,A,B,P在同一条直线上,如图②,又
∵ P是抛物线上的动点,
∴ $\begin{cases} y=-x+10, \\ y=x^2-4x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=-2, \\ y_1=12 \end{cases}$或$\begin{cases} x_2=5, \\ y_2=5 \end{cases}$(舍去),
∴ $P(-2,12)$,此时$PA-PB=AB=\sqrt{(5-2)^2+(5-8)^2}=3\sqrt{2}$.