1. (2026·惠州月考)二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象与x轴交点的个数为（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B 解析:二次函数$y=x^2-2x-3$的图象与x轴交点的个数,等价于方程$x^2-2x-3=0$的实数根的个数,$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=4+12=16＞0$,所以方程有两个不相等的实数根,即二次函数$y=x^2-2x-3$的图象与x轴有2个交点,故选B.

2. (2026·盘锦期中)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c$为常数)的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程$ax^2+bx+c=0$的负数解$x$的取值范围可能是 ()


A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$3＜x＜4$
D.$4＜x＜5$

B 解析:由表可知,当$x=-3$时,$y=1＞0$;当$x=-2$时,$y=-0.75＜0$,$\therefore$方程$ax^2+bx+c=0$的负数解$x$的取值范围是$-3＜x＜-2$,故选B.

3. (2026·六安期中)已知抛物线$y=ax^2+c(a≠0)$与直线$y=kx+b$交于点$A(-1,3)$和点$B(5,-2)$，则关于$x$的方程$ax^2 -kx +c -b=0$的解是 ()

A.$x=2$或$x=-3$
B.$x=-2$或$x=3$
C.$x=1$或$x=-5$
D.$x=-1$或$x=5$

D 解析:$\because$ 抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=kx+b$交于点$A(-1,3)$和点$B(5,-2)$,$\therefore$ 当$x=-1$或$x=5$时,$ax^2+c=kx+b$成立,即方程$ax^2-kx+c-b=0$的解为$x=-1$或$x=5$.故选D.

4. 改编题 下表是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$的对应关系，则一元二次方程$ax^2+bx+c=1(a≠0)$的两个根是；方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个解中较大的一个解的取值范围是。

$x_1=-2,x_2=0$；$0＜x＜1$

5. 已知关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=5$的一个根是2，且抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=2$，则抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为.

$(2,5)$

6. (1)一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$有两个实数根,则抛物线$y=2x^2 + bx + c$与x轴的交点有个.
(2)若函数$y=x^2 -2x +c$的图象与坐标轴只有两个交点,则c的值是.
(3)(2026·长春期末)若抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 -x +c$（c是常数）与x轴没有公共点,则c的取值范围是.

(1)1或2 (2)1或0 (3)$c＜-\frac{1}{2}$ 解析:$\because$ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 -x +c$与x轴没有公共点,$\therefore$ 方程$-\frac{1}{2}x^2 -x +c=0$无实数根,$\therefore$ 判别式$\Delta=(-1)^2-4×(-\frac{1}{2})× c=1+2c＜0$,解得$c＜-\frac{1}{2}$.

7. (2026·武汉月考)抛物线$y=ax^2+bx+c$如图所示，回答下列问题.

(1)方程$ax^2+bx+c=-3$的解是；
(2)关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜-3$的解集是；
(3)当$-2≤x＜2$时，$y$的取值范围是；
(4)若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=t$的两个实数根异号，则$t$的取值范围是.

(1)$x_1=-2,x_2=0$ 解析:抛物线过点$(0,-3)$,且对称轴为$x=-1$,由对称性知与x轴的另一交点为$x=-2$,故解为$x_1=-2,x_2=0$.
(2)$-2＜x＜0$ 解析:由题图可知抛物线开口向上,$y＜-3$对应$x=-2$与$x=0$之间的区域,故不等式$ax^2+bx+c＜-3$的解集为$-2＜x＜0$.
(3)$-4≤y＜5$ 解析:抛物线顶点为$(-1,-4)$,由对称性得,$x=2$与$x=-4$关于对称轴对称,$y$值大于$-3$;$x=0$与$x=-2$关于对称轴对称,当$x=-2$时$y=-3$,$\therefore$ 当$x=2$时,$y＞-3$,结合开口向上,$x=2$时$y=a(2+1)^2-4=9a-4$.由$x=0$时$y=-3$得$c=-3$,顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}=-1$,纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=-4$,解得$a=1$,故$x=2$时$y=1×4+2×2-3=5$,故当$-2≤x＜2$时,$y$的取值范围为$-4≤y＜5$.
(4)$t＞-3$ 解析:方程$ax^2+bx+(c-t)=0$,根异号则常数项$c-t＜0(a＞0)$,$\therefore t＞c$,故$t＞-3(c=-3)$,结合有实根需$\Delta≥0$,即$t≥-4$,最终范围为$t＞-3$.

8. (2025·福建中考)已知二次函数$y=-2(x-k)(x-k-6)$的图象与其向下平移$m$个单位长度所得的图象都与$x$轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则$m$的值为 ()

A.18
B.16
C.20
D.24

B 解析:$\because$ 原函数$y=-2(x-k)(x-k-6)$的图象与x轴交于点$(k,0)$和$(k+6,0)$,向下平移$m$个单位后新函数为$y=-2(x-k)·(x-k-6)-m$,且四个交点等距,$\therefore$ 平移后新函数的图象与x轴交于点$(k+2,0)$和$(k+4,0)$,将$x=k+2$代入新函数,得$y=-2×2×(-4)-m=16-m=0$,解得$m=16$.

9. (岳阳中考)若一个点的坐标满足$(k,2k)$，我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于$x$的二次函数$y=(t+1)x^2+(t+2)x+s$($s,t$为常数，$t≠1$)总有两个不同的倍值点，则$s$的取值范围是 ()

A.$s＜-1$
B.$s＜0$
C.$0＜s＜1$
D.$-1＜s＜0$

D 解析:将$(k,2k)$代入二次函数解析式,得$2k=(t+1)k^2+(t+2)k+s$,整理得$(t+1)k^2+tk+s=0$.$\because (t+1)k^2+tk+s=0$是关于$k$的一元二次方程,总有两个不同的实根,$\therefore \Delta=t^2-4s(t+1)＞0$.令$y_1=t^2-4s(t+1)=t^2-4st-4s$.$\because y_1＞0$,$\therefore \Delta=16s^2+16s＜0$,即$s(s+1)＜0$,解得$-1＜s＜0$.