10.（潍坊中考）抛物线$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$.若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+3-t=0$（$t$为实数）在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是（）

A.$2≤t＜11$
B.$t≥2$
C.$6＜t＜11$
D.$2≤t＜6$

A 解析:$\because$ 抛物线$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$,$\therefore b=-2$,$\therefore y=x^2-2x+3$,$\therefore$ 一元二次方程$x^2+bx+3-t=0$的实数根可以看作函数$y=x^2-2x+3$与函数$y=t$图象的交点.$\because$ 方程在$-1＜x＜4$的范围内有实数根,当$x=-1$时,$y=6$;当$x=4$时,$y=11$;函数$y=x^2-2x+3$在$x=1$时有最小值2,$\therefore t$的取值范围是$2≤t＜11$.

11.(荆州中考)规定:两个函数$y_1,y_2$的图象关于$y$轴对称,则称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数$y_1=2x+2$与$y_2=-2x+2$的图象关于$y$轴对称,则这两个函数互为“Y函数”.若函数$y=kx^2+2(k-1)x+k-3$($k$为常数)的“Y函数”图象与$x$轴只有一个交点,则其“Y函数”的解析式为.

$y=2x-3$或$y=-x^2+4x-4$ 解析:$\because$ 函数$y=kx^2+2(k-1)x+k-3(k$为常数)的“Y函数”图象与x轴只有一个交点,$\therefore$ 函数$y=kx^2+2(k-1)x+k-3(k$为常数)的图象与x轴也只有一个交点.当$k=0$时,函数解析式为$y=-2x-3$,它的“Y函数”的解析式为$y=2x-3$,它们的图象与x轴只有一个交点,符合题意;当$k≠0$时,此函数是二次函数,$\because$ 它们的图象与x轴都只有一个交点,$\therefore$ 它们的顶点都在x轴上,$\therefore \frac{4k(k-3)-[2(k-1)]^2}{4k}=0$,解得$k=-1$,$\therefore$ 原函数的解析式为$y=-x^2-4x-4=-(x+2)^2$,$\therefore$ 它的“Y函数”的解析式为$y=-(x-2)^2=-x^2+4x-4$.综上,原函数的“Y函数”的解析式为$y=2x-3$或$y=-x^2+4x-4$.
易错提醒 题干中只说“函数”,没有明确是一次函数还是二次函数时,需分类讨论.但若题干中指明了抛物线,则说明是二次函数.

12.（遵义中考）如图，抛物线$y=a(x-2)^2+3$（a为常数且$a≠0$）与y轴交于点$A(0,\dfrac{5}{3})$。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线$y=kx+\dfrac{2}{3}$（$k≠0$）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为$x_1,x_2$，当$x_1^2+x_2^2=10$时，求k的值；
（3）当$-4＜x≤ m$时，y有最大值$\dfrac{4m}{3}$，则m的值为。

(1)$\because$ 抛物线$y=a(x-2)^2+3$与y轴交于点$A(0,\frac{5}{3})$,$\therefore 4a+3=\frac{5}{3}$,$\therefore a=-\frac{1}{3}$,$\therefore y=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$.
(2)$\because$ 直线$y=kx+\frac{2}{3}(k≠0)$与抛物线有两个交点,$\therefore kx+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}(x-2)^2+3$,整理得$x^2+(3k-4)x-3=0$,$\therefore \Delta=(3k-4)^2+12＞0$,$\therefore x_1+x_2=4-3k$,$x_1·x_2=-3$,$\therefore x_1^2+x_2^2=(4-3k)^2+6=10$,$\therefore k=\frac{2}{3}$或$k=2$,$\therefore k$的值为2或$\frac{2}{3}$.
(3)$-\sqrt{5}$或$\frac{9}{4}$ 解析:$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,当$m＜2$,$x=m$时,$y$有最大值,$\frac{4m}{3}=-\frac{1}{3}×(m-2)^2+3$,解得$m=±\sqrt{5}$,$\therefore m=-\sqrt{5}$.当$m≥2$,$x=2$时,$y$有最大值,$\therefore \frac{4m}{3}=3$,$\therefore m=\frac{9}{4}$.综上所述,$m$的值为$-\sqrt{5}$或$\frac{9}{4}$.

13. (河南中考)某数学小组对函数$y=x^2 - 2|x|$的图象和性质进行了探究.
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数,$x$与$y$的几组对应值列表如下,其中,$m=$.

(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.

(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.


(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与$x$轴有个交点,所以对应的方程$x^2 - 2|x|=0$有个实数根;
②方程$x^2 - 2|x|=2$有个实数根;
③关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时,$a$的取值范围是.

(1)0
(2)如图所示.

(3)①函数$y=x^2-2|x|$的图象关于y轴对称. ②当$x＞1$时,y随x的增大而增大.(答案不唯一)
(4)①3 3 ②2 ③$-1＜a＜0$
解析:①由函数图象知,函数图象与x轴有3个交点,$\therefore$ 对应的方程$x^2-2|x|=0$有3个实数根;②由函数图象知,$\because y=x^2-2|x|$的图象与直线$y=2$有两个交点,$\therefore$ 方程$x^2-2|x|=2$有2个实数根;③由函数图象知,若关于x的方程$x^2-2|x|=a$有4个实数根,则a的取值范围是$-1＜a＜0$.

14. (永州中考改编)若函数$y=ax^2 -2x +3$的图象在直线$x=1$的右侧与$x$轴有且只有一个交点,求$a$的取值范围.

下面对$a$的值及图象与x轴交点个数进行分类讨论:当$a＜0$,抛物线与x轴有两个交点时,如图①,
,即$\begin{cases}a＜0,\\\Delta=(-2)^2-12a＞0,\\a-2+3＞0,\end{cases}$即$\begin{cases}a＜0,\\a＜\frac{1}{3},\\a＞-1,\end{cases}\therefore -1＜a＜0$;当$a＞0$,抛物线与x轴有两个交点时,如图②,
,即$\begin{cases}a＞0,\\\Delta=(-2)^2-12a＞0,\\a-2+3＜0,\end{cases}$即$\begin{cases}a＞0,\\a＜\frac{1}{3},\\a＜-1,\end{cases}\therefore a$的值不存在;当$a＞0$,抛物线与x轴只有一个交点时,如图③,
,即$\begin{cases}\Delta=(-2)^2-12a=0,\\a＞0,\\\frac{-2}{2a}＞1,\end{cases}$即$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\a＞0,\\a＜1,\end{cases}\therefore a$的值为$\frac{1}{3}$;如图④,当$a=0$时,函数解析式为$y=-2x+3$,函数与x轴的交点为$(\frac{3}{2},0)$,$\therefore a=0$成立.

综上所述,$a$的取值范围为$-1＜a≤0$或$a=\frac{1}{3}$.