4.（鄂州中考）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究$y=ax^2(a＞0)$型抛物线图象.发现:如图①所示,该类型图象上任意一点$P$到定点$F(0,\dfrac{1}{4a})$的距离$PF$,始终等于它到定直线$l:y=-\dfrac{1}{4a}$的距离$PN$(该结论不需要证明).他们称:定点$F$为图象的焦点,定直线$l$为图象的准线,$y=-\dfrac{1}{4a}$叫作抛物线的准线方程.准线$l$与$y$轴的交点为$H$.其中原点$O$为$FH$的中点,$FH=2OF=\dfrac{1}{2a}$.
【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线$y=\dfrac{1}{4}x^2$的焦点坐标和准线$l$的方程:________,________.
【技能训练】(2)如图②,已知抛物线$y=\dfrac{1}{4}x^2$上一点$P(x_0,y_0)(x_0＞0)$到焦点$F$的距离是它到$x$轴距离的3倍,求点$P$的坐标.
【能力提升】(3)如图③,已知抛物线$y=\dfrac{1}{4}x^2$的焦点为$F$,准线方程为$l$.直线$m:y=\dfrac{1}{2}x-3$交$y$轴于点$C$,抛物线上动点$P$到$x$轴的距离为$d_1$,到直线$m$的距离为$d_2$,请直接写出$d_1+d_2$的最小值.
【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现:若将抛物线$y=ax^2(a＞0)$平移至$y=a(x-h)^2+k(a＞0)$.抛物线$y=a(x-h)^2+k(a＞0)$内有一定点$F(h,k+\dfrac{1}{4a})$,直线$l$过点$M(h,k-\dfrac{1}{4a})$且与$x$轴平行.当动点$P$在该抛物线上运动时,点$P$到直线$l$的距离$PP_1$始终等于点$P$到点$F$的距离(该结论不需要证明).
请阅读上面的材料,探究下题:
(4)如图④,点$D(-1,\dfrac{3}{2})$是第二象限内一定点,点$P$是抛物线$y=\dfrac{1}{4}x^2-1$上一动点,当$PO+PD$取最小值时,请求出$△ POD$的面积.

(1)$(0,1)$ $y=-1$
(2)由(1)知抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$的焦点$F$的坐标为$(0,1)$.$\because$ 点$P(x_0,y_0)(x_0＞0)$到焦点$F$的距离是它到$x$轴距离的3倍,$\therefore \sqrt{x_0^2+(y_0-1)^2}=3y_0$,整理得$x_0^2=8y_0^2+2y_0-1$.又$\because y_0=\frac{1}{4}x_0^2$,$\therefore 4y_0=8y_0^2+2y_0-1$,解得$y_0=\frac{1}{2}$或$y_0=-\frac{1}{4}$(舍去),$\therefore x_0=\sqrt{2}$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\sqrt{2},\frac{1}{2})$.
(3)$d_1+d_2$的最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}-1$.
解析:过点$P$作$PE⊥$直线$m$于点$E$,过点$P$作$PG⊥$准线$l$于点$G$,结合题意和(1)中结论可知$PG=PF=d_1+1$,$PE=d_2$,过点$F$作$FE'⊥$直线$m$,垂足为$E'$,如图①.若使得$d_1+d_2$取最小值,即$PF+PE-1$的值最小,需$F,P,E$三点共线,此时$PF+PE-1=E'F-1$,即此时$d_1+d_2$的值最小.$\because$ 直线$E'F$与直线$m$垂直,故设直线$E'F$的解析式为$y=-2x+b$,将$F(0,1)$代入,解得$b=1$,$\therefore$ 直线$E'F$的解析式为$y=-2x+1$.$\because$ 点$E'$是直线$E'F$和直线$m$的交点,令$-2x+1=\frac{1}{2}x-3$,解得$x=\frac{8}{5}$,故点$E'$的坐标为$(\frac{8}{5},-\frac{11}{5})$,$\therefore E'F=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(-\frac{11}{5}-1)^2}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,$d_1+d_2=\frac{8\sqrt{5}}{5}-1$.即$d_1+d_2$的最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}-1$.

(4)$\because$ 抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-1$中$a=\frac{1}{4}$,$\therefore \frac{1}{4a}=1$,$-\frac{1}{4a}=-1$,$\therefore$ 抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-1$的焦点坐标为$F(0,0)$,准线$l$的方程为$y=-2$.过点$P$作$PG⊥$准线$l$于点$G$,结合题意和[拓展延伸]中结论可知$PG=PO$,则$PO+PD=PG+PD$,如图②.若使得$PO+PD$取最小值,即$PG+PD$的值最小,故当$D,P,G$三点共线时,$PO+PD=PG+PD=DG$,即此刻$PO+PD$的值最小,如图③.$\because$ 点$D$的坐标为$(-1,\frac{3}{2})$,$DG⊥$准线$l$,$\therefore$ 点$P$的横坐标为$-1$,代入$y=\frac{1}{4}x^2-1$,解得$y=-\frac{3}{4}$,即$P(-1,-\frac{3}{4})$,$DP=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$,则$△ POD$的面积为$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×1=\frac{9}{8}$.

知识拓展 二次函数的图象是抛物线,在高中,我们把平面内到一个定点$F$(焦点)和一条定直线$l$(准线)距离相等的点的轨迹叫作抛物线,即抛物线第一定义.例如:若一个动点$M(x,y)$到定点$F(0,m)(m＞0)$的距离与它到定直线$l$:$y=-m$的距离相等,那么动点$M$形成的图形就是抛物线$y=ax^2(a＞0)$.抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离.抛物线的焦点和准线虽然属于高中内容,但有时会以探究题或新定义题的形式在初中考试中出现,且易与求线段或周长的最值问题相结合.
抛物线$y=ax^2$的焦点坐标为$(0,\frac{1}{4a})$,准线为$y=-\frac{1}{4a}$;抛物线$y=ax^2+k$的焦点坐标为$(0,\frac{1}{4a}+k)$,准线为$y=-\frac{1}{4a}+k$;抛物线$y=a(x-h)^2$的焦点坐标为$(h,\frac{1}{4a})$,准线为$y=-\frac{1}{4a}$;抛物线$y=a(x-h)^2+k$的焦点坐标为$(h,\frac{1}{4a}+k)$,准线为$y=-\frac{1}{4a}+k$;抛物线$y=ax^2+bx+c$的焦点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{1}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4a})$,准线为$y=-\frac{1}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4a}$.