1. (株洲中考改编)某学生在研究抛物线$y=ax^2$($a＜0$)的性质时，将一直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A,B两点，请解答以下问题：
(1)若测得$OA=OB=2\sqrt{2}$(如图①)，则a的值为；
(2)对同一条抛物线，该学生将三角板绕点O旋转到如图②所示位置时，过B作$BF⊥ x$轴于点F，测得$OF=1$，此时点B的坐标为，点A的横坐标为；
(3)对该抛物线，该学生将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A,B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由，并求出该点的坐标.

类型二 抛物线中的平行弦

(1) $-\frac{1}{2}$
解析:设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB的中点.$\because OA=OB=2\sqrt{2},∠ AOB=90°$,$\therefore AC=OC=BC=2$,$\therefore B(2,-2)$.将$B(2,-2)$代入抛物线$y=ax^2(a＜0)$,得$a=-\frac{1}{2}$.
(2) $(1,-\frac{1}{2})$ -4
解析:过点A作$AE⊥ x$轴于点E,$\because$ 点B的横坐标为1,$\therefore B(1,-\frac{1}{2})$.设$A(-m,-\frac{1}{2}m^2)(m＞0)$,则$OB^2=1^2+(-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$,$OA^2=m^2+\frac{1}{4}m^4$,$AB^2=(1+m)^2+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}m^2)^2$.$\because ∠ AOB = 90°$,$\therefore AB^2 = OA^2 + OB^2$,$\therefore (1+m)^2+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}m^2)^2 = m^2+\frac{1}{4}m^4+\frac{5}{4}$,解得$m_1=4$或$m_2=0$(舍去),即点A的横坐标为-4.
(3) $\because$ 点A,B是抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$上的点,$\therefore$ 设$A(-m,-\frac{1}{2}m^2)(m＞0)$,$B(n,-\frac{1}{2}n^2)(n＞0)$.设直线AB的解析式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}-mk+b=-\frac{1}{2}m^2,\\nk+b=-\frac{1}{2}n^2,\end{cases}$解得$b=-\frac{1}{2}mn$,故不论k为何值,直线AB恒过点$(0,-\frac{1}{2}mn)$.而$OA^2=m^2+\frac{1}{4}m^4$,$OB^2=n^2+\frac{1}{4}n^4$,$AB^2=(m+n)^2+(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2)^2$,由$OA^2+OB^2=AB^2$,得$(m^2+\frac{1}{4}m^4)+(n^2+\frac{1}{4}n^4)=(m+n)^2+(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2)^2$,解得$mn=4$,即$b=-2$,故直线AB恒过点$(0,-2)$.

归纳总结 抛物线恒垂直模型(Fregier定理):
如图,已知点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2(a＞0)$上,直线AB与抛物线交于A,B两点(点A,B分别在对称轴两侧),若$∠ APB=90°$(或$PA⊥ PB$),则直线AB恒过定点$C(-m,\frac{1}{a}+n)$(等学了相似之后,可通过构造K型相似证明).

2. (2024·河北中考节选)如图,抛物线 $ C_1: y = ax^2 - 2x $ 过点 $ (4,0) $, 顶点为 $ Q $. 抛物线 $ C_2: y = -\frac{1}{2}(x - t)^2 + \frac{1}{2}t^2 - 2 $ (其中 $ t $ 为常数, 且 $ t＞2 $), 顶点为 $ P $.
(1) $ a $ 的值为 , 点 $ Q $ 的坐标为 .
(2)当 $ t=4 $ 时,
①求直线 $ PQ $ 的解析式;
②作直线 $ l // PQ $, 当 $ l $ 与 $ C_2 $ 的交点到 $ x $ 轴的距离恰为6时, 求 $ l $ 与 $ x $ 轴交点的横坐标.

(1) $\frac{1}{2}$ $(2,-2)$
解析:$\because$ 抛物线$C_1:y=ax^2-2x$过点$(4,0)$,顶点为$Q$,$\therefore 16a-8=0$,解得$a=\frac{1}{2}$,$\therefore$ 抛物线为$y=\frac{1}{2}x^2-2x=\frac{1}{2}(x-2)^2-2$,$\therefore Q(2,-2)$.
(2)①当$t=4$时,$C_2:y=-\frac{1}{2}(x-t)^2+\frac{1}{2}t^2-2=-\frac{1}{2}(x-4)^2+6$,$\therefore$ 顶点$P(4,6)$.而$Q(2,-2)$,设直线$PQ$的解析式为$y=ex+f$,$\therefore \begin{cases}4e+f=6,\\2e+f=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}e=4,\\f=-10,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$PQ$的解析式为$y=4x-10$.
②如图,当$C_2:y=-\frac{1}{2}(x-4)^2+6=-6$时(等于6时,两直线重合,不符合题意),解得$x=4\pm2\sqrt{6}$,$\therefore$ 交点$J$的坐标为$(4-2\sqrt{6},-6)$,交点$K$的坐标为$(4+2\sqrt{6},-6)$,当直线$l$与$C_2$的交点为$J$时,由直线$l// PQ$,设直线$l$的解析式为$y=4x+b$,$\therefore 4×(4-2\sqrt{6})+b=-6$,解得$b=8\sqrt{6}-22$,$\therefore$ 直线$l$的解析式为$y=4x+8\sqrt{6}-22$,当$y=4x+8\sqrt{6}-22=0$时,$x=\frac{11}{2}-2\sqrt{6}$,此时直线$l$与$x$轴交点的横坐标为$\frac{11}{2}-2\sqrt{6}$;同理当直线$l$与$C_2$的交点为$K$时,直线$l$为$y=4x-8\sqrt{6}-22$,当$y=4x-8\sqrt{6}-22=0$时,$x=\frac{11}{2}+2\sqrt{6}$,此时直线$l$与$x$轴交点的横坐标为$\frac{11}{2}+2\sqrt{6}$.

3.（仙桃中考节选）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线$y = ax^2 + bx - 6(a≠0)$与x轴交于点$A(-2,0),B(6,0)$，与y轴交于点C，连接BC.
(1)抛物线的解析式为；(直接写出结果)
(2)如图②，若动直线l与抛物线交于M,N两点(直线l与BC不重合)，连接CN,BM，直线CN与BM交于点P.当$MN// BC$时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由.

(1)$y=\frac{1}{2}x^2-2x-6$
解析:$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx-6(a≠0)$与x轴交于点$A(-2,0),B(6,0)$,$\therefore \begin{cases}4a-2b-6=0,\\36a+6b-6=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-2,\end{cases}$$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x-6$.
(2)当$MN// BC$时,点P的横坐标是定值.理由如下:
设点M的坐标为$(m,\frac{1}{2}m^2-2m-6)$,点N的坐标为$(n,\frac{1}{2}n^2-2n-6)$.$\because$ 直线MN与BC不重合,$\therefore m≠0$且$m≠6$,$n≠0$且$n≠6$.如图,由点$B(6,0)$,点$C(0,-6)$,可得到直线BC的解析式为$y_{BC}=x-6$.$\because MN// BC$,$\therefore$ 可设直线MN的解析式为$y_{MN}=x+t$.将$y_{MN}=x+t$代入$y=\frac{1}{2}x^2-2x-6$,得$\frac{1}{2}x^2-3x-6-t=0$,$\therefore m+n=6$,$\therefore$ 点N的坐标可以表示为$N(6-m,\frac{1}{2}m^2-4m)$.设直线CN的解析式为$y=k_2x+b_2$,由点$C(0,-6)$,点$N(6-m,\frac{1}{2}m^2-4m)$,得$\begin{cases}0+b_2=-6,\\(6-m)k_2+b_2=\frac{1}{2}m^2-4m,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=-\frac{1}{2}m+1,\\b_2=-6,\end{cases}$$\therefore$ 直线CN的解析式为$y_{CN}=(-\frac{1}{2}m+1)x-6$.同上,由点$B(6,0)$,点$M(m,\frac{1}{2}m^2-2m-6)$,可得到直线BM的解析式为$y_{BM}=(\frac{1}{2}m+1)x-3m-6$,$\therefore (-\frac{1}{2}m+1)x-6=(\frac{1}{2}m+1)x-3m-6$,$\therefore mx=3m$,$\therefore x=3$,$\therefore$ 点P的横坐标为定值3.

归纳总结