6. 已知$A(2-t,y_1)$，$B(t,y_1)$是抛物线$y=x^2+bx+c$上不同的两点，当$0 ≤ x ≤ t$时，恒有$c-1 ≤ y_1 ≤ c$，则$t$的取值范围是（）

A.$t ≥ 1$
B.$0 ≤ t ≤ 2$
C.$1 ＜ t ≤ 2$
D.$1 ≤ t ≤ 3$

∵A(2-t,y₁),B(t,y₁)是抛物线上不同的两点,
∴抛物线的对称轴为直线x=(2-t+t)/2=1,
∴-b/2=1,解得b=-2,
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+c.则当x=0时,y=c;当x=1时,y=c-1,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),其关于对称轴对称的点的坐标为(2,c),
∴当c-1≤y≤c时,0≤x≤2.
∵当0≤x≤t时,恒有c-1≤y₁≤c,即点A和点B在0≤x≤2的图象上,
∴t最大取到2,最小取到1.又
∵t=1时,A,B两点重合,不符合题意,
∴1＜t≤2.故选C。

7. (2026·北京月考)已知二次函数$y=2x^2+bx+c$，经过点$A(0,-1)$，对称轴为直线$x=1$.
(1)求二次函数的解析式；
(2)当$n≤x≤n+2$时，记二次函数$y=2x^2+bx+c$的最大值与最小值之差为$t$，求$t$的最小值，并写出此时对应的$n$.

(1)
∵二次函数y=2x²+bx+c经过点A(0,-1),对称轴为直线x=1,
∴{c=-1, -b/(2×2)=1, 解得{c=-1, b=-4,
∴二次函数的解析式为y=2x²-4x-1.
(2)
∵y=2x²-4x-1=2(x²-2x+1)-3=2(x-1)²-3,
∴该二次函数的顶点坐标为(1,-3),且二次项系数a=2＞0,函数图象开口向上,分三种情况进行讨论:①当n+2≤1,即n≤-1时,
∵当n≤x≤n+2时,y随x的增大而减小,函数最大值为2(n-1)²-3,函数最小值为2(n+2-1)²-3=2(n+1)²-3,又
∵二次函数y=2x²+bx+c的最大值与最小值之差为t,
∴t=2(n-1)²-3-[2(n+1)²-3]=2(n²-2n+1)-2(n²+2n+1)=-8n,
∴t=-8n,n≤-1.
∵当n≤-1时,t随n的增大而减小,
∴t≥8,即当n=-1时,t有最小值8;②当n≥1时,
∵当n≤x≤n+2时,y随x的增大而增大,函数最大值为2(n+1)²-3,函数最小值为2(n-1)²-3,又
∵二次函数y=2x²+bx+c的最大值与最小值之差为t,
∴t=2(n+1)²-3-[2(n-1)²-3]=2(n²+2n+1)-2(n²-2n+1)=8n,
∴t=8n,n≥1.
∵当n≥1时,t随n的增大而增大,
∴t≥8,即当n=1时,t有最小值8;③当-1＜n＜1时,若-1＜n≤0,则函数最大值为2(n-1)²-3,函数最小值为-3,
∵二次函数y=2x²+bx+c的最大值与最小值之差为t,
∴t=2(n-1)²-3-(-3)=2(n²-2n+1)=2n²-4n+2,
∴t=2n²-4n+2,-1＜n≤0.
∵当-1＜n≤0时,t随n的增大而减小,
∴当n=0时,t有最小值2;若0＜n＜1,则函数最大值为2(n+1)²-3,函数最小值为-3,
∵二次函数y=2x²+bx+c的最大值与最小值之差为t,
∴t=2(n+1)²-3-(-3)=2(n²+2n+1)=2n²+4n+2,
∴t=2n²+4n+2,0＜n＜1.
∵当0＜n＜1时,t随n的增大而增大,
∴此时t没有最小值且t＞2.综上所述,t的最小值为2,此时n=0.

8. (2026·扬州月考)二次函数$y=x^2 - 2mx$（$m$为常数），当$1≤x≤3$时，$y$的最小值为$-4$，则常数$m$的值为（）

A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{13}{6}$
C.$2$
D.$\pm2$

∵y=x²-2mx,
∴抛物线的对称轴为直线x=m.
∵1＞0,
∴抛物线的开口向上,当1≤x≤3时,函数值y的最小值为-4.①当m＜1时,最小值在x=1处,此时y=1-2m=-4.解得m=5/2,舍去;②当m＞3时,最小值在x=3处,此时y=9-6m=-4,解得m=13/6,舍去;③当1≤m≤3时,最小值在x=m处,此时y=m²-2m²=-m²=-4,解得m=2或m=-2(舍去).
∴常数m的值为2.故选C。

9.（岳阳中考）已知二次函数$y=mx^2 -4m^2x -3$（m为常数，m≠0），点$P(x_p,y_p)$是该函数图象上一点，当$0≤x_p≤4$时，$y_p≤-3$，则m的取值范围是（）

A.$m≥1$或$m＜0$
B.$m≥1$
C.$m≤-1$或$m＞0$
D.$m≤-1$

∵二次函数的解析式为y=mx²-4m²x-3,
∴对称轴为直线x=2m,抛物线与y轴的交点为(0,-3).
∵点P(x_P,y_P)是该函数图象上一点,当0≤x_P≤4时,y_P≤-3,
∴①当m＞0时,x=2m＞0,此时,当x=4时,y≤-3,即m·4²-4m²·4-3≤-3,解得m≥1;②当m＜0时,x=2m＜0,当0≤x_P≤4时,y随x增大而减小,则当0≤x_P≤4时,y_P≤-3恒成立.综上,m的取值范围是m≥1或m＜0.故选A。

10. (2026·北京期末)已知二次函数$y=x^2 -2ax+1$,当$a-1≤x≤-a$时,相应的函数值的最大与最小值之差为0.75,则$a=$.

∵y=x²-2ax+1,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2a/(2×1)=a,
∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大,
∵a-1≤x≤-a,
∴a-1≤-a,解得a≤1/2.①当-a≤a,即a≥0时,则当x=a-1时,函数值最大为(a-1)²-2a(a-1)+1=-a²+2;当x=-a时,函数值最小为(-a)²-2a·(-a)+1=3a²+1,
∴-a²+2-3a²-1=0.75,解得a=1/4或a=-1/4(舍去);②当-a＞a时,即a＜0时,
∵a-1＜a,
∴当x=a时,函数值最小为a²-2a²+1=-a²+1,当x=a-1时,函数值为-a²+2,当x=-a时,函数值为3a²+1.当在x=a-1处取最大值时,-a²+2-(-a²+1)=1＞0.75,此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75;当在x=-a处取最大值时,经计算后也不存这种情况.综上,a=1/4。

11. 已知二次函数$y=(x-a)^2 +5 -a^2$，当$2a ≤ x ≤ 2a+2$时，有最大值$y_1$及最小值$y_2$，当$y_1 - y_2 = a^2 -1$时，实数$a$的值为。

当x=2a时,y=a²+5-a²=5;当x=2a+2时,y=a²+4a+4+5-a²=4a+9,当x=a时,y=5-a².已知抛物线开口向上,分类讨论:①当a≤2a,即a≥0时,对称轴在范围左侧,此时最小值y₂=5,最大值y₁=4a+9,y₁-y₂=4a+9-5=a²-1,解得a₁=5,a₂=-1(舍去);②当a≥2a+2,即a≤-2时,对称轴在范围右侧,此时最小值y₂=4a+9,最大值y₁=5,y₁-y₂=5-(4a+9)=a²-1,解得a₁=-1(舍去),a₂=-3;③当2a＜a≤2a+1,即-1≤a＜0时,对称轴在范围内靠近左端点,此时最大值y₁=4a+9,最小值y₂=5-a²,y₁-y₂=4a+9-(5-a²)=a²-1,解得a=-5/4(舍去);④当2a+1＜a＜2a+2,即-2＜a＜-1时,对称轴在范围内靠近右端点,此时最大值y₁=5,最小值y₂=5-a²,y₁-y₂=5-(5-a²)=a²-1,无实数解.综上,实数a的值为-3或5。

12. (舟山中考)已知抛物线 $ L_1: y = a(x+1)^2 - 4(a ≠ 0) $ 经过点 $ A(1,0) $。
(1) 求抛物 $ L_1 $ 的函数解析式；
(2) 将抛物线 $ L_1 $ 向上平移 $ m(m＞0) $ 个单位长度得到抛物线 $ L_2 $。若抛物线 $ L_2 $ 的顶点关于坐标原点 $ O $ 的对称点在抛物线 $ L_1 $ 上，求 $ m $ 的值；
(3) 把抛物线 $ L_1 $ 向右平移 $ n(n＞0) $ 个单位长度得到抛物线 $ L_3 $。已知点 $ P(8-t,s), Q(t-4, r) $ 都在抛物线 $ L_3 $ 上，若当 $ t＞6 $ 时，都有 $ s＞r $，求 $ n $ 的取值范围。

(1)将A(1,0)代入得0=(1+1)²a-4,解得a=1,
∴抛物线L₁的函数解析式为y=(x+1)²-4.
(2)
∵将抛物线L₁向上平移m个单位长度得到抛物线L₂,
∴抛物线L₂的函数解析式为y=(x+1)²-4+m,
∴顶点坐标为(-1,-4+m),
∴它关于O的对称点为(1,4-m),将(1,4-m)代入抛物线L₁得4-m=(1+1)²-4,
∴m=4.
(3)把L₁向右平移n个单位长度,得抛物线L₃的函数解析式为y=(x+1-n)²-4,对称轴为直线x=n-1,开口向上.
∵点P(8-t,s),Q(t-4,r),由t＞6得8-t＜2＜t-4,
∴点P在点Q的左侧.
①当P,Q同在对称轴左侧时,都有s＞r,n-1＞t-4,即n＞t-3,
∵t＞6.
∴n＞3.
②当P,Q在对称轴异侧时,
∵s＞r,
∴n-1-(8-t)＞t-4-(n-1),解得n＞3.
③当P,Q同在对称轴右侧时,都有s＜r(舍去).
综上所述,n＞3.