1. (2026·南京月考)下图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象,顶点坐标为$(1,-4)$,当$-1＜x＜2$时,$y$的取值范围是 ()


A.$-3＜y＜0$
B.$-3≤y＜0$
C.$-4＜y＜0$
D.$-4≤y＜0$

由二次函数图象可知,顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1,
∵抛物线开口向上,
∴当x=1时,函数有最小值为-4,当x=-1时,y=0,当x=0和x=2时,y=-3,
∴当-1＜x＜2时,-4≤y＜0,故选D。

2. (2026·衢州期中)已知$2a+b=3$，$s=a^2+b$，当$-1≤a≤2$时，$s$的最大值与最小值的差为（）

A.3
B.4
C.5
D.-1

∵2a+b=3,
∴b=3-2a,
∴s=a²+b=a²+3-2a=(a-1)²+2,
∴函数s=(a-1)²+2的图象开口向上,对称轴为直线a=1,当a=1时,s有最小值2,
∵|-1-1|=2,|2-1|=1,2＞1,
∴当a=-1时,s有最大值,最大值为(-1-1)²+2=6,
∴s的最大值与最小值的差为6-2=4.故选B。

3. (2026·杭州月考)已知二次函数$y=ax^2 -2ax -3a$，当$-3≤x≤1$时函数值$y$有最小值$-3$，则$a$的值为（）

A.$-\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{4}$或$-\dfrac{1}{4}$
D.2

∵y=ax²-2ax-3a=a(x-1)²-4a,
∴顶点坐标为(1,-4a).当x=-3时,y=a×(-3)²-2a×(-3)-3a=9a+6a-3a=12a;当x=1时,y=a-2a-3a=-4a.当a＞0时,函数图象开口向上,当x≤1时,y随x的增大而减小,
∴当x=1时,函数值y有最小值.
∴-4a=-3,解得a=3/4.当a＜0时,函数图象开口向下,当x≤1时,y随x的增大而增大,
∴当x=-3时,函数值y有最小值.
∴12a=-3,解得a=-1/4.综上所述,a的值为3/4或-1/4.故选C。

4. (2026·温州月考)已知y关于x的二次函数$y=ax^2-2ax+3$.
(1)当$a=1$时,
①二次函数的顶点坐标为________;
②当$x≤ m$时,该函数的最小值是3,求$m$的值.
(2)当$0≤ x≤ 3$时,该二次函数最大值与最小值的和为8,求$a$的值.

(1)①(1,2) 解析:当a=1时,y=x²-2x+3=(x-1)²+2,
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,2).
②
∵a＞0,
∴当x＜1时,y随x的增大而减小,
∴m＜1,且当x=m时,y=3,
∴m²-2m+3=3,解得m₁=0,m₂=2(舍去),
∴m=0.
(2)
∵对称轴为直线x=-2a/(2a)=1,且1-0＜3-1,
∴当x=1和3时,y有最值,分a＞0和a＜0两种情况讨论:当a＞0时,抛物线开口向上,最小值为y_min=a-2a+3=3-a,最大值为y_max=9a-6a+3=3a+3,由题意得(3-a)+(3a+3)=8,解得a=1,符合a＞0;当a＜0时,抛物线开口向下,最大值为y_max=a-2a+3=3-a,最小值为y_min=9a-6a+3=3a+3,由题意得(3-a)+(3a+3)=8,解得a=1,不符合a＜0,故舍去.综上所述,a的值为1.

5. (2024·乐山中考)已知二次函数$y=x^2-2x$（$-1≤x≤t-1$），当$x=-1$时，函数取得最大值；当$x=1$时，函数取得最小值，则$t$的取值范围是（）

A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$

∵y=x²-2x=(x-1)²-1,
∴图象开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1),当x=-1时,y=3,
∴(-1,3)关于对称轴对称的点的坐标为(3,3).
∵当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,
∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.故选C。