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1.下列各式中,属于分式的是 （$\boldsymbol{}$）
A.$\dfrac{1}{π +1}$
B.$\dfrac{a}{5}$
C.$\dfrac{1}{x+1}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A.$\dfrac{1}{π +1}$
B.$\dfrac{a}{5}$
C.$\dfrac{1}{x+1}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是分式，首先要明确分式的判定标准：分式的定义是形如$\frac{A}{B}$的式子，其中A、B都是整式，且B中必须含有字母（注意π是固定的常数，不属于字母）。解题时我们只需要逐个检查每个选项的分母是否含有字母，就能得出正确结果。
【解析】
根据分式的定义，我们逐一分析选项：
选项A：分母为$π+1$，$π$是圆周率，属于常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
选项B：分母为5，是常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
选项C：分母为$x+1$，含有字母$x$，符合分式的定义，属于分式；
选项D：$\frac{2}{3}$是常数，属于整式，不是分式。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题是基础概念题，主要考查分式的判定，易错点是容易误将常数$π$当作字母，只要牢牢抓住“分母中含有字母”这一分式的核心特征，就能准确做出判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是分式，首先要明确分式的判定标准：分式的定义是形如$\frac{A}{B}$的式子，其中A、B都是整式，且B中必须含有字母（注意π是固定的常数，不属于字母）。解题时我们只需要逐个检查每个选项的分母是否含有字母，就能得出正确结果。
【解析】
根据分式的定义，我们逐一分析选项：
选项A：分母为$π+1$，$π$是圆周率，属于常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
选项B：分母为5，是常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
选项C：分母为$x+1$，含有字母$x$，符合分式的定义，属于分式；
选项D：$\frac{2}{3}$是常数，属于整式，不是分式。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题是基础概念题，主要考查分式的判定，易错点是容易误将常数$π$当作字母，只要牢牢抓住“分母中含有字母”这一分式的核心特征，就能准确做出判断。
【难度系数】
0.8
2.可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，$1\ \mathrm{cm}^3$可燃冰的质量仅为$0.000\ 92\ \mathrm{kg}$.数字$0.000\ 92$用科学记数法表示是 （
A.$9×10^{-4}$
B.$92×10^{-3}$
C.$9.2×10^{-3}$
D.$9.2×10^{-4}$
D
）A.$9×10^{-4}$
B.$92×10^{-3}$
C.$9.2×10^{-3}$
D.$9.2×10^{-4}$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆科学记数法表示绝对值小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$的值等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0），也等于将原数小数点向右移动到第一个非零数字后、得到a时移动的位数。解题时先确定a的取值，再确定n的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）：
1. 确定$a$的值：将0.00092的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，可得$a=9.2$；
2. 确定$n$的值：上述过程中小数点一共向右移动了4位，因此$n=4$；
3. 综上，$0.00092=9.2×10^{-4}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的基本方法，解题核心是准确掌握a的取值范围和n的计数规则，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆科学记数法表示绝对值小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$的值等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含小数点前的0），也等于将原数小数点向右移动到第一个非零数字后、得到a时移动的位数。解题时先确定a的取值，再确定n的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的标准形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）：
1. 确定$a$的值：将0.00092的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，可得$a=9.2$；
2. 确定$n$的值：上述过程中小数点一共向右移动了4位，因此$n=4$；
3. 综上，$0.00092=9.2×10^{-4}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较小数的基本方法，解题核心是准确掌握a的取值范围和n的计数规则，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8
3.当$x=1$时，下列分式无意义的是（
A.$\frac{x-1}{x}$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{x}{x+1}$
C
）A.$\frac{x-1}{x}$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{x}{x+1}$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式无意义的判定规则：当分式的分母等于0时，分式无意义。解题思路是先找到每个选项中分式的分母，再将x=1分别代入各分母计算，若某个分母的计算结果为0，则对应的分式就是x=1时无意义的分式。
【解析】
根据分式无意义的条件：分母为0时，分式无意义。我们将x=1分别代入各选项的分母进行判断：
A选项：分母为x，代入x=1得$1≠0$，分式有意义，不符合题意；
B选项：分母为x，代入x=1得$1≠0$，分式有意义，不符合题意；
C选项：分母为$x-1$，代入x=1得$1-1=0$，分母为0，分式无意义，符合题意；
D选项：分母为$x+1$，代入x=1得$1+1=2≠0$，分式有意义，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式无意义的判定规则，只需牢记分母为0时分式无意义，代入数值计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确分式无意义的判定规则：当分式的分母等于0时，分式无意义。解题思路是先找到每个选项中分式的分母，再将x=1分别代入各分母计算，若某个分母的计算结果为0，则对应的分式就是x=1时无意义的分式。
【解析】
根据分式无意义的条件：分母为0时，分式无意义。我们将x=1分别代入各选项的分母进行判断：
A选项：分母为x，代入x=1得$1≠0$，分式有意义，不符合题意；
B选项：分母为x，代入x=1得$1≠0$，分式有意义，不符合题意；
C选项：分母为$x-1$，代入x=1得$1-1=0$，分母为0，分式无意义，符合题意；
D选项：分母为$x+1$，代入x=1得$1+1=2≠0$，分式有意义，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查分式无意义的判定规则，只需牢记分母为0时分式无意义，代入数值计算即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.计算$\frac{4}{a-2}+\frac{a+2}{2-a}$的结果是 （
A.1
B.$-1$
C.$\frac{2-a}{a-2}$
D.$\frac{a+2}{2-a}$
B
）A.1
B.$-1$
C.$\frac{2-a}{a-2}$
D.$\frac{a+2}{2-a}$
答案
4.B
解析
【分析】
首先观察到两个分式的分母$a-2$和$2-a$互为相反数，我们可以利用分式的基本性质将两个分式的分母统一为$a-2$，再根据同分母分式的加减法则计算，最后约分得到最简结果即可。解题时要注意分母转化时的符号变化，去括号时也要注意符号是否正确。
【解析】
解：首先对第二个分式的分母变形，$2-a=-(a-2)$，因此原式可改写为：
$\frac{4}{a-2}+\frac{a+2}{-(a-2)}=\frac{4}{a-2}-\frac{a+2}{a-2}$
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减：
$=\frac{4-(a+2)}{a-2}$
去括号化简分子：
$=\frac{4-a-2}{a-2}=\frac{2-a}{a-2}$
将分子提取负号，约分（隐含条件$a≠2$）：
$=\frac{-(a-2)}{a-2}=-1$
【答案】
B
【知识点】
1.分式的基本性质 2.同分母分式加减法 3.分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题关键是识别出互为相反数的分母，将异分母分式转化为同分母分式计算，计算过程中要特别注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察到两个分式的分母$a-2$和$2-a$互为相反数，我们可以利用分式的基本性质将两个分式的分母统一为$a-2$，再根据同分母分式的加减法则计算，最后约分得到最简结果即可。解题时要注意分母转化时的符号变化，去括号时也要注意符号是否正确。
【解析】
解：首先对第二个分式的分母变形，$2-a=-(a-2)$，因此原式可改写为：
$\frac{4}{a-2}+\frac{a+2}{-(a-2)}=\frac{4}{a-2}-\frac{a+2}{a-2}$
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减：
$=\frac{4-(a+2)}{a-2}$
去括号化简分子：
$=\frac{4-a-2}{a-2}=\frac{2-a}{a-2}$
将分子提取负号，约分（隐含条件$a≠2$）：
$=\frac{-(a-2)}{a-2}=-1$
【答案】
B
【知识点】
1.分式的基本性质 2.同分母分式加减法 3.分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题关键是识别出互为相反数的分母，将异分母分式转化为同分母分式计算，计算过程中要特别注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
5.若$x,y$的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是（
A.$\frac{2+x}{x-y}$
B.$\frac{2x}{x-y}$
C.$\frac{xy}{x-y}$
D.$\frac{x^2}{x-y}$
B
）A.$\frac{2+x}{x-y}$
B.$\frac{2x}{x-y}$
C.$\frac{xy}{x-y}$
D.$\frac{x^2}{x-y}$
答案
5.B
解析
【分析】
要判断x、y均扩大为原来的2倍后分式的值是否不变，只需将原式中的x替换为2x、y替换为2y，代入各选项的分式中，利用分式的基本性质化简，再与原分式对比，若化简结果与原分式完全一致，则该选项符合要求。
【解析】
设替换后的变量为$x'=2x$，$y'=2y$，分别代入四个选项验证：
A选项：代入后得$\frac{2+2x}{2x-2y}=\frac{2(1+x)}{2(x-y)}=\frac{1+x}{x-y}$，与原分式$\frac{2+x}{x-y}$不相等，值发生变化，不符合要求；
B选项：代入后得$\frac{2×2x}{2x-2y}=\frac{4x}{2(x-y)}=\frac{2x}{x-y}$，与原分式完全相等，值保持不变，符合要求；
C选项：代入后得$\frac{2x·2y}{2x-2y}=\frac{4xy}{2(x-y)}=\frac{2xy}{x-y}$，是原分式值的2倍，发生变化，不符合要求；
D选项：代入后得$\frac{(2x)^2}{2x-2y}=\frac{4x^2}{2(x-y)}=\frac{2x^2}{x-y}$，是原分式值的2倍，发生变化，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题时需注意替换变量时要把原式中所有的x、y都换成扩大后的数值，再利用分式基本性质约分对比，避免漏换分子或分母中的项导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断x、y均扩大为原来的2倍后分式的值是否不变，只需将原式中的x替换为2x、y替换为2y，代入各选项的分式中，利用分式的基本性质化简，再与原分式对比，若化简结果与原分式完全一致，则该选项符合要求。
【解析】
设替换后的变量为$x'=2x$，$y'=2y$，分别代入四个选项验证：
A选项：代入后得$\frac{2+2x}{2x-2y}=\frac{2(1+x)}{2(x-y)}=\frac{1+x}{x-y}$，与原分式$\frac{2+x}{x-y}$不相等，值发生变化，不符合要求；
B选项：代入后得$\frac{2×2x}{2x-2y}=\frac{4x}{2(x-y)}=\frac{2x}{x-y}$，与原分式完全相等，值保持不变，符合要求；
C选项：代入后得$\frac{2x·2y}{2x-2y}=\frac{4xy}{2(x-y)}=\frac{2xy}{x-y}$，是原分式值的2倍，发生变化，不符合要求；
D选项：代入后得$\frac{(2x)^2}{2x-2y}=\frac{4x^2}{2(x-y)}=\frac{2x^2}{x-y}$，是原分式值的2倍，发生变化，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题时需注意替换变量时要把原式中所有的x、y都换成扩大后的数值，再利用分式基本性质约分对比，避免漏换分子或分母中的项导致判断错误。
【难度系数】
0.8
6.某施工队要铺设一段全长为2 000米的管道，因在中考期间需停工两天，所以实际每天铺设管道的长度要比原计划多50米才能按时完成任务，求原计划每天铺设管道多少米.设原计划每天铺设管道x米，则根据题意所列方程正确的是（
A.$\frac{2\ 000}{x} - \frac{2\ 000}{x + 50} = 2$
B.$\frac{2\ 000}{x + 50} - \frac{2\ 000}{x} = 2$
C.$\frac{2\ 000}{x} - \frac{2\ 000}{x - 50} = 2$
D.$\frac{2\ 000}{x - 50} - \frac{2\ 000}{x} = 2$
A
）A.$\frac{2\ 000}{x} - \frac{2\ 000}{x + 50} = 2$
B.$\frac{2\ 000}{x + 50} - \frac{2\ 000}{x} = 2$
C.$\frac{2\ 000}{x} - \frac{2\ 000}{x - 50} = 2$
D.$\frac{2\ 000}{x - 50} - \frac{2\ 000}{x} = 2$
答案
6.A
解析
【分析】
这是工程类的分式方程应用题，首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题时先分别表示出原计划的施工时间和实际的施工时间，再抓住“停工2天，要按时完成则实际用时比原计划少2天”的核心等量关系列方程即可，注意实际工作效率更高，用时更短，不要把两个时间的大小关系搞反。
【解析】
解：设原计划每天铺设管道x米。
1. 计算原计划施工时间：管道总长2000米，原计划效率为x米/天，因此原计划用时为$\frac{2000}{x}$天；
2. 计算实际施工时间：实际每天比原计划多铺50米，因此实际效率为$(x+50)$米/天，实际用时为$\frac{2000}{x+50}$天；
3. 根据题意，停工2天仍要按时完成，说明原计划用时比实际用时多2天，可得等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 2天，代入得方程：$\frac{2000}{x} - \frac{2000}{x+50} = 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确对应原计划和实际的工作效率、工作时间，抓住题干中的时间差等量关系列方程，易错点是混淆两个时间的大小关系，列反减数和被减数。
【难度系数】
0.7
这是工程类的分式方程应用题，首先要明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题时先分别表示出原计划的施工时间和实际的施工时间，再抓住“停工2天，要按时完成则实际用时比原计划少2天”的核心等量关系列方程即可，注意实际工作效率更高，用时更短，不要把两个时间的大小关系搞反。
【解析】
解：设原计划每天铺设管道x米。
1. 计算原计划施工时间：管道总长2000米，原计划效率为x米/天，因此原计划用时为$\frac{2000}{x}$天；
2. 计算实际施工时间：实际每天比原计划多铺50米，因此实际效率为$(x+50)$米/天，实际用时为$\frac{2000}{x+50}$天；
3. 根据题意，停工2天仍要按时完成，说明原计划用时比实际用时多2天，可得等量关系：原计划用时 - 实际用时 = 2天，代入得方程：$\frac{2000}{x} - \frac{2000}{x+50} = 2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确对应原计划和实际的工作效率、工作时间，抓住题干中的时间差等量关系列方程，易错点是混淆两个时间的大小关系，列反减数和被减数。
【难度系数】
0.7
7.定义一种“⊗”运算：$a\otimes b=\dfrac{b}{a-b}(a≠b)$.例如，$1\otimes 3=\dfrac{3}{1-3}=-\dfrac{3}{2}$，则方程$2\otimes x=\dfrac{1}{x-2}+1$的解是（
A.$x=-1$
B.$x=\dfrac{1}{2}$
C.$x=\dfrac{3}{2}$
D.$x=2$
B
）A.$x=-1$
B.$x=\dfrac{1}{2}$
C.$x=\dfrac{3}{2}$
D.$x=2$
答案
7.B
解析
【分析】
首先要准确理解新定义的“⊗”运算规则，将方程左边的2⊗x转化为常规的分式形式，把原方程转化为分式方程，再按照分式方程的求解步骤：去分母转化为整式方程、解整式方程、检验根的有效性，最终得到方程的解。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=\dfrac{b}{a-b}(a≠b)$，可得$2\otimes x=\dfrac{x}{2-x}$，则原方程可化为：
$\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{1}{x-2}+1$
观察到分母$2-x=-(x-2)$，方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（注意$x≠2$，避免分母为0），去分母得：
$-x=1+(x-2)$
解这个整式方程：
$-x=1+x-2$
移项合并同类项得：$-2x=-1$
系数化为1得：$x=\dfrac{1}{2}$
检验：把$x=\dfrac{1}{2}$代入$x-2$，得$\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}≠0$，且满足新定义中$2≠x$的要求，所以$x=\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程的解法、分式方程验根
【点评】
本题将新定义运算与分式方程求解结合考查，解题的核心是正确理解新运算规则将特殊方程转化为常规分式方程，求解后务必检验，既要满足分式方程分母不为0的要求，也要符合新定义的限制条件。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解新定义的“⊗”运算规则，将方程左边的2⊗x转化为常规的分式形式，把原方程转化为分式方程，再按照分式方程的求解步骤：去分母转化为整式方程、解整式方程、检验根的有效性，最终得到方程的解。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=\dfrac{b}{a-b}(a≠b)$，可得$2\otimes x=\dfrac{x}{2-x}$，则原方程可化为：
$\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{1}{x-2}+1$
观察到分母$2-x=-(x-2)$，方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（注意$x≠2$，避免分母为0），去分母得：
$-x=1+(x-2)$
解这个整式方程：
$-x=1+x-2$
移项合并同类项得：$-2x=-1$
系数化为1得：$x=\dfrac{1}{2}$
检验：把$x=\dfrac{1}{2}$代入$x-2$，得$\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}≠0$，且满足新定义中$2≠x$的要求，所以$x=\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程的解法、分式方程验根
【点评】
本题将新定义运算与分式方程求解结合考查，解题的核心是正确理解新运算规则将特殊方程转化为常规分式方程，求解后务必检验，既要满足分式方程分母不为0的要求，也要符合新定义的限制条件。
【难度系数】
0.7
8.已知关于$x$的分式方程$\frac{k}{x+1}+\frac{x+k}{x-1}=1$的解为负数，则$k$的取值范围是（
A.$k＞-\frac{1}{2}$
B.$k＜-\frac{1}{2}$且$k≠-1$
C.$k＞-\frac{1}{2}$且$k≠0$
D.$k＜-\frac{1}{2}$
C
）A.$k＞-\frac{1}{2}$
B.$k＜-\frac{1}{2}$且$k≠-1$
C.$k＞-\frac{1}{2}$且$k≠0$
D.$k＜-\frac{1}{2}$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含k的代数式表示的方程解；第二步，根据“解为负数”的条件列不等式，初步求出k的取值范围；第三步，结合分式方程分母不能为0的隐含要求，排除会产生增根的k值，最终得到完整的取值范围。
【解析】
1. 去分母转化为整式方程
给方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$k(x-1)+(x+k)(x+1)=(x+1)(x-1)$
2. 化简求解x
展开左右两边并整理：
左边：$kx-k+x^2+x+kx+k=x^2+x+2kx$
右边：$x^2-1$
两边消去$x^2$，得：$x+2kx=-1$
提取公因式：$x(2k+1)=-1$
解得：$x=-\frac{1}{2k+1}$
3. 根据解的限制条件求k的范围
（1）因为方程的解为负数，所以$x＜0$，即：
$-\frac{1}{2k+1}＜0$
分子为-1（负数），要使分数值为负，则分母为正，因此：
$2k+1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{2}$
（2）分式方程分母不能为0，即$x≠-1$且$x≠1$：
① 若$x=-1$，则$-\frac{1}{2k+1}=-1$，解得$k=0$，因此$k≠0$；
② 若$x=1$，则$-\frac{1}{2k+1}=1$，解得$k=-1$，而$k=-1$不满足$k＞-\frac{1}{2}$，无需额外排除。
综上，k的取值范围是$k＞-\frac{1}{2}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法、分式有意义的条件、一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$k≠0$的限制，解题时要注意先保证分式有意义，再结合解的要求求参数范围。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含k的代数式表示的方程解；第二步，根据“解为负数”的条件列不等式，初步求出k的取值范围；第三步，结合分式方程分母不能为0的隐含要求，排除会产生增根的k值，最终得到完整的取值范围。
【解析】
1. 去分母转化为整式方程
给方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$k(x-1)+(x+k)(x+1)=(x+1)(x-1)$
2. 化简求解x
展开左右两边并整理：
左边：$kx-k+x^2+x+kx+k=x^2+x+2kx$
右边：$x^2-1$
两边消去$x^2$，得：$x+2kx=-1$
提取公因式：$x(2k+1)=-1$
解得：$x=-\frac{1}{2k+1}$
3. 根据解的限制条件求k的范围
（1）因为方程的解为负数，所以$x＜0$，即：
$-\frac{1}{2k+1}＜0$
分子为-1（负数），要使分数值为负，则分母为正，因此：
$2k+1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{2}$
（2）分式方程分母不能为0，即$x≠-1$且$x≠1$：
① 若$x=-1$，则$-\frac{1}{2k+1}=-1$，解得$k=0$，因此$k≠0$；
② 若$x=1$，则$-\frac{1}{2k+1}=1$，解得$k=-1$，而$k=-1$不满足$k＞-\frac{1}{2}$，无需额外排除。
综上，k的取值范围是$k＞-\frac{1}{2}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法、分式有意义的条件、一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏掉$k≠0$的限制，解题时要注意先保证分式有意义，再结合解的要求求参数范围。
【难度系数】
0.6
9.计算$(-\frac{2a}{b})^{3}$的结果是
$-\dfrac{8a^3}{b^3}$
。答案
9.$-\dfrac{8a^3}{b^3}$
解析
【分析】
本题是分式的乘方运算题，思考步骤如下：首先判断结果符号，原式底数带有负号，指数3是奇数，根据负数的奇次幂为负，可确定结果符号为负；其次运用分式乘方法则，将分子、分母分别进行乘方运算，其中分子是(2a)，分母是b；最后用积的乘方法则计算分子部分的乘方，整理后即可得到结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\frac{m}{n})^k=\frac{m^k}{n^k}$（$n≠0$，$k$为正整数），结合负数的奇次幂为负，可得：
$(-\frac{2a}{b})^3=-\frac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n· y^n$，计算分子部分：
$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
将分子计算结果代入，得：
$(-\frac{2a}{b})^3=-\frac{8a^3}{b^3}$
【答案】
$-\dfrac{8a^3}{b^3}$
【知识点】
1.分式乘方运算 2.积的乘方法则 3.乘方符号规律
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘方相关的运算法则，解题时需注意两点：一是要根据指数的奇偶性准确判断最终结果的符号；二是计算积的乘方时，要对每个因式分别乘方，不要遗漏系数的乘方。
【难度系数】
0.9
本题是分式的乘方运算题，思考步骤如下：首先判断结果符号，原式底数带有负号，指数3是奇数，根据负数的奇次幂为负，可确定结果符号为负；其次运用分式乘方法则，将分子、分母分别进行乘方运算，其中分子是(2a)，分母是b；最后用积的乘方法则计算分子部分的乘方，整理后即可得到结果。
【解析】
根据分式乘方的运算法则$(\frac{m}{n})^k=\frac{m^k}{n^k}$（$n≠0$，$k$为正整数），结合负数的奇次幂为负，可得：
$(-\frac{2a}{b})^3=-\frac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n· y^n$，计算分子部分：
$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
将分子计算结果代入，得：
$(-\frac{2a}{b})^3=-\frac{8a^3}{b^3}$
【答案】
$-\dfrac{8a^3}{b^3}$
【知识点】
1.分式乘方运算 2.积的乘方法则 3.乘方符号规律
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘方相关的运算法则，解题时需注意两点：一是要根据指数的奇偶性准确判断最终结果的符号；二是计算积的乘方时，要对每个因式分别乘方，不要遗漏系数的乘方。
【难度系数】
0.9
10.若分式$\frac{|x|-5}{5-x}$的值为零，则$x=$
$-5$
。答案
10.$-5$
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0的两个必备条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除让分母为0的x值，剩下的就是最终结果。
【解析】
∵分式$\frac{|x|-5}{5-x}$的值为零
∴需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$|x|-5=0$
解得$|x|=5$，即$x=5$或$x=-5$
2. 分母不为0：$5-x≠0$
解得$x≠5$
综合两个条件，排除$x=5$，因此$x=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题关键是牢记分式值为零的两个限制条件，切勿忽略分母不能为0的要求，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0的两个必备条件：①分子的值为0；②分母的值不为0，两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除让分母为0的x值，剩下的就是最终结果。
【解析】
∵分式$\frac{|x|-5}{5-x}$的值为零
∴需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$|x|-5=0$
解得$|x|=5$，即$x=5$或$x=-5$
2. 分母不为0：$5-x≠0$
解得$x≠5$
综合两个条件，排除$x=5$，因此$x=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
1. 分式值为零的条件
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础易错题，解题关键是牢记分式值为零的两个限制条件，切勿忽略分母不能为0的要求，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
11.已知$a,b$都是正实数，且$a^2 - b^2 = -2ab$，则$\frac{7ab}{2a^2 + 3ab - 2b^2}$的值为
$-7$
。答案
11.$-7$
解析
【分析】
本题已知关于a、b的二次等式，要求对应分式的值，无需计算a、b的具体数值。首先观察所求分式的分母结构，可将分母拆分为含已知式$a^2 - b^2$的形式，再利用整体代入法代入已知条件，最后约分即可得到结果，这种方法比求a、b的比值更简便。
【解析】
已知$a^2 - b^2 = -2ab$，先对所求分式的分母进行变形：
$2a^2 + 3ab - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) + 3ab$
将$a^2 - b^2 = -2ab$代入上式，得：
$2×(-2ab) + 3ab = -4ab + 3ab = -ab$
因为a、b都是正实数，所以$ab ≠ 0$，可对分式约分：
$\frac{7ab}{2a^2 + 3ab - 2b^2} = \frac{7ab}{-ab} = -7$
【答案】
$-7$
【知识点】
整体代入求值，分式约分，整式恒等变形
【点评】
本题解题的关键是观察已知等式和所求分式的结构特征，通过对分母拆分变形，用整体代入的方法简化计算，避免了求解a、b具体值的复杂运算，体现了代数运算中整体思想的便利性。
【难度系数】
0.7
本题已知关于a、b的二次等式，要求对应分式的值，无需计算a、b的具体数值。首先观察所求分式的分母结构，可将分母拆分为含已知式$a^2 - b^2$的形式，再利用整体代入法代入已知条件，最后约分即可得到结果，这种方法比求a、b的比值更简便。
【解析】
已知$a^2 - b^2 = -2ab$，先对所求分式的分母进行变形：
$2a^2 + 3ab - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) + 3ab$
将$a^2 - b^2 = -2ab$代入上式，得：
$2×(-2ab) + 3ab = -4ab + 3ab = -ab$
因为a、b都是正实数，所以$ab ≠ 0$，可对分式约分：
$\frac{7ab}{2a^2 + 3ab - 2b^2} = \frac{7ab}{-ab} = -7$
【答案】
$-7$
【知识点】
整体代入求值，分式约分，整式恒等变形
【点评】
本题解题的关键是观察已知等式和所求分式的结构特征，通过对分母拆分变形，用整体代入的方法简化计算，避免了求解a、b具体值的复杂运算，体现了代数运算中整体思想的便利性。
【难度系数】
0.7
12.若关于$x$的分式方程$\frac{3x}{x-2} -1 = \frac{ax}{x-2}$无解，则$a$的值为
2或3
。答案
12.2或3
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出a的值。
【解析】
给原分式方程两边同时乘最简公分母$x-2$（注意$x≠2$，否则分母为0无意义），去分母得：
$3x - (x - 2) = ax$
整理整式方程：
$3x - x + 2 = ax$
$2x + 2 = ax$
移项合并同类项得：
$(a - 2)x = 2$
分两种情况讨论原方程无解的情况：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0时，方程左边为0，右边为2，等式不成立，方程无解。
即$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式方程的增根为$x = 2$，将$x = 2$代入整式方程$(a - 2)x = 2$得：
$2(a - 2) = 2$
解得$a = 3$。
综上，a的值为2或3。
【答案】
2或3
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解判定
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题，解题关键是牢记分式方程无解包含整式方程本身无解、解为增根两种情况，避免只考虑增根漏解的情况。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种常见情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况讨论即可求出a的值。
【解析】
给原分式方程两边同时乘最简公分母$x-2$（注意$x≠2$，否则分母为0无意义），去分母得：
$3x - (x - 2) = ax$
整理整式方程：
$3x - x + 2 = ax$
$2x + 2 = ax$
移项合并同类项得：
$(a - 2)x = 2$
分两种情况讨论原方程无解的情况：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0时，方程左边为0，右边为2，等式不成立，方程无解。
即$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式方程的增根为$x = 2$，将$x = 2$代入整式方程$(a - 2)x = 2$得：
$2(a - 2) = 2$
解得$a = 3$。
综上，a的值为2或3。
【答案】
2或3
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解判定
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题，解题关键是牢记分式方程无解包含整式方程本身无解、解为增根两种情况，避免只考虑增根漏解的情况。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共48分)
13.(12分)计算:
(1)$(-1)^{2024} + |\sqrt{2} - 2| - (\frac{1}{2})^{-1}$;
(2)$(-\frac{mn}{p^2})^2 · (\frac{p}{mn})^4 ÷ (\frac{p^3}{mn^2})^3$.
13.(12分)计算:
(1)$(-1)^{2024} + |\sqrt{2} - 2| - (\frac{1}{2})^{-1}$;
(2)$(-\frac{mn}{p^2})^2 · (\frac{p}{mn})^4 ÷ (\frac{p^3}{mn^2})^3$.
答案
13.(1)$1-\sqrt{2}$ (2)$\dfrac{mn^4}{p^9}$
解析
【分析】
(1) 本题是实数混合运算，需分三步计算：①负数的偶次幂：(-1)的偶次幂为1；②绝对值化简：先判断√2与2的大小，因√2＜2，因此|√2-2|去绝对值后为2-√2；③负整数指数幂：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，最后将三部分结果合并即可。
(2) 本题是分式的乘方、乘除混合运算，运算顺序为先算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后根据同底数幂的乘除运算性质约分计算即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(-1)^{2024}=1$，
$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$，
$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=1+(2-\sqrt{2})-2\\&=1+2-\sqrt{2}-2\\&=1-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先计算各分式的乘方：
$(-\frac{mn}{p^2})^2=\frac{m^2n^2}{p^4}$，
$(\frac{p}{mn})^4=\frac{p^4}{m^4n^4}$，
$(\frac{p^3}{mn^2})^3=\frac{p^9}{m^3n^6}$，
将除法转化为乘法，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m^2n^2}{p^4} · \frac{p^4}{m^4n^4} · \frac{m^3n^6}{p^9}\\&=\frac{m^{2+3}n^{2+6}p^4}{p^{4+9}m^4n^4}\\&=\frac{m^5n^8}{m^4n^4p^9}\\&=\frac{mn^4}{p^9}\end{aligned}$
【答案】
(1)$1-\sqrt{2}$；(2)$\dfrac{mn^4}{p^9}$
【知识点】
实数的混合运算，分式的乘除运算，幂的运算性质
【点评】
本题属于基础运算类考题，侧重考察基础运算规则的掌握程度，计算时需注意绝对值化简的符号判断、幂运算的指数加减规则，完成后可复查约分步骤避免粗心失误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是实数混合运算，需分三步计算：①负数的偶次幂：(-1)的偶次幂为1；②绝对值化简：先判断√2与2的大小，因√2＜2，因此|√2-2|去绝对值后为2-√2；③负整数指数幂：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，最后将三部分结果合并即可。
(2) 本题是分式的乘方、乘除混合运算，运算顺序为先算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后根据同底数幂的乘除运算性质约分计算即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(-1)^{2024}=1$，
$|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}$，
$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=1+(2-\sqrt{2})-2\\&=1+2-\sqrt{2}-2\\&=1-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先计算各分式的乘方：
$(-\frac{mn}{p^2})^2=\frac{m^2n^2}{p^4}$，
$(\frac{p}{mn})^4=\frac{p^4}{m^4n^4}$，
$(\frac{p^3}{mn^2})^3=\frac{p^9}{m^3n^6}$，
将除法转化为乘法，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m^2n^2}{p^4} · \frac{p^4}{m^4n^4} · \frac{m^3n^6}{p^9}\\&=\frac{m^{2+3}n^{2+6}p^4}{p^{4+9}m^4n^4}\\&=\frac{m^5n^8}{m^4n^4p^9}\\&=\frac{mn^4}{p^9}\end{aligned}$
【答案】
(1)$1-\sqrt{2}$；(2)$\dfrac{mn^4}{p^9}$
【知识点】
实数的混合运算，分式的乘除运算，幂的运算性质
【点评】
本题属于基础运算类考题，侧重考察基础运算规则的掌握程度，计算时需注意绝对值化简的符号判断、幂运算的指数加减规则，完成后可复查约分步骤避免粗心失误。
【难度系数】
0.7
