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14.(10分)解分式方程：
(1)$\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x-3}$；
(2)$1-\frac{x}{x-1}=\frac{2x}{1-x^2}$。
(1)$\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x-3}$；
(2)$1-\frac{x}{x-1}=\frac{2x}{1-x^2}$。
答案
14.(1)$x=5$ (2)原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的核心是利用转化思想，先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根（去分母会扩大未知数取值范围，可能产生增根，若解使分母为0则是增根，原方程无解）。
(1)题两个分母无公因式，最简公分母为两个分母的乘积，两边同乘公分母转化为一元一次方程求解后验根即可；
(2)题先利用平方差公式对右侧分母因式分解，统一分母符号后确定最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后验根判断是否为增根。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)(x-3)$（此时$x≠2$且$x≠3$），得：
$3(x-3)=2(x-2)$
去括号：$3x-9=2x-4$
移项、合并同类项：$x=5$
检验：当$x=5$时，$(x-2)(x-3)=(5-2)×(5-3)=6≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
(2) 先对右侧分母因式分解：$1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$，原方程可整理为：
$1-\frac{x}{x-1}=-\frac{2x}{(x-1)(x+1)}$
方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$（此时$x≠1$且$x≠-1$），得：
$(x-1)(x+1) - x(x+1) = -2x$
去括号：$x^2-1 -x^2 -x = -2x$
合并同类项：$-1 -x = -2x$
移项、合并同类项：$x=1$
检验：当$x=1$时，公分母$(x-1)(x+1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=5$ (2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，平方差公式
【点评】
本题是分式方程的基础计算题，解题关键是准确找到最简公分母实现分式到整式的转化，尤其要注意验根是解分式方程必不可少的步骤，忽略验根极易出错。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心是利用转化思想，先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根（去分母会扩大未知数取值范围，可能产生增根，若解使分母为0则是增根，原方程无解）。
(1)题两个分母无公因式，最简公分母为两个分母的乘积，两边同乘公分母转化为一元一次方程求解后验根即可；
(2)题先利用平方差公式对右侧分母因式分解，统一分母符号后确定最简公分母，去分母转化为整式方程，求解后验根判断是否为增根。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-2)(x-3)$（此时$x≠2$且$x≠3$），得：
$3(x-3)=2(x-2)$
去括号：$3x-9=2x-4$
移项、合并同类项：$x=5$
检验：当$x=5$时，$(x-2)(x-3)=(5-2)×(5-3)=6≠0$，因此$x=5$是原分式方程的解。
(2) 先对右侧分母因式分解：$1-x^2=-(x^2-1)=-(x-1)(x+1)$，原方程可整理为：
$1-\frac{x}{x-1}=-\frac{2x}{(x-1)(x+1)}$
方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x+1)$（此时$x≠1$且$x≠-1$），得：
$(x-1)(x+1) - x(x+1) = -2x$
去括号：$x^2-1 -x^2 -x = -2x$
合并同类项：$-1 -x = -2x$
移项、合并同类项：$x=1$
检验：当$x=1$时，公分母$(x-1)(x+1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=5$ (2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，平方差公式
【点评】
本题是分式方程的基础计算题，解题关键是准确找到最简公分母实现分式到整式的转化，尤其要注意验根是解分式方程必不可少的步骤，忽略验根极易出错。
【难度系数】
0.7
15.(12分)先化简，再求值：
(1)$\frac{a^2 + ab}{a^2 + 2ab + b^2} - \frac{3a^2 - 3ab}{a^2 - b^2}$，其中 $a=2,b=-1$；
(2)$(x - 1 + \frac{2 - 2x}{x + 1}) ÷ \frac{x - x^2}{1 + x}$，其中 $x^2 - 2x - 3 = 0$。
(1)$\frac{a^2 + ab}{a^2 + 2ab + b^2} - \frac{3a^2 - 3ab}{a^2 - b^2}$，其中 $a=2,b=-1$；
(2)$(x - 1 + \frac{2 - 2x}{x + 1}) ÷ \frac{x - x^2}{1 + x}$，其中 $x^2 - 2x - 3 = 0$。
答案
15.(1)化简的结果为$-\dfrac{2a}{a+b}$，值为$-4$
(2)化简的结果为$\dfrac{1-x}{x}$，值为$-\dfrac{2}{3}$
(2)化简的结果为$\dfrac{1-x}{x}$，值为$-\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
本题考查分式的化简求值，解题思路如下：
(1) 先对两个分式的分子、分母分别因式分解，约分后化为同分母分式，再进行减法运算得到最简结果，最后代入a、b的值计算即可；
(2) 先计算括号内的分式运算（将整式通分转化为同分母分式计算），再将除法转化为乘法，约分后得到最简结果，先求解关于x的一元二次方程，结合分式有意义的条件筛选出合法的x值，最后代入计算即可。
【解析】
(1) 对原式各分式因式分解并约分：
$\dfrac{a^2 + ab}{a^2 + 2ab + b^2} = \dfrac{a(a+b)}{(a+b)^2} = \dfrac{a}{a+b}$（$a+b≠0$）
$\dfrac{3a^2 - 3ab}{a^2 - b^2} = \dfrac{3a(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \dfrac{3a}{a+b}$（$a+b≠0$且$a-b≠0$）
则原式$= \dfrac{a}{a+b} - \dfrac{3a}{a+b} = \dfrac{a-3a}{a+b} = -\dfrac{2a}{a+b}$
代入$a=2,b=-1$，得：
原式$= -\dfrac{2×2}{2+(-1)} = -4$
(2) 先计算括号内的运算：
$x - 1 + \dfrac{2 - 2x}{x + 1} = \dfrac{(x-1)(x+1) + 2 - 2x}{x+1} = \dfrac{x^2 -1 +2 -2x}{x+1} = \dfrac{x^2 -2x +1}{x+1} = \dfrac{(x-1)^2}{x+1}$
再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{(x-1)^2}{x+1} ÷ \dfrac{x - x^2}{1+x} = \dfrac{(x-1)^2}{x+1} × \dfrac{x+1}{x(1-x)}$
约分得：原式$= \dfrac{1-x}{x}$（$x≠0$且$x≠-1$且$x≠1$）
解方程$x^2 -2x -3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$
结合分式有意义的条件，排除$x=-1$，取$x=3$代入得：
原式$= \dfrac{1-3}{3} = -\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1)化简的结果为$-\dfrac{2a}{a+b}$，值为$-4$
(2)化简的结果为$\dfrac{1-x}{x}$，值为$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式的化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，运算时需遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的顺序，化简过程中要熟练运用因式分解约分，求值时务必先验证代入的数值是否使所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的化简求值，解题思路如下：
(1) 先对两个分式的分子、分母分别因式分解，约分后化为同分母分式，再进行减法运算得到最简结果，最后代入a、b的值计算即可；
(2) 先计算括号内的分式运算（将整式通分转化为同分母分式计算），再将除法转化为乘法，约分后得到最简结果，先求解关于x的一元二次方程，结合分式有意义的条件筛选出合法的x值，最后代入计算即可。
【解析】
(1) 对原式各分式因式分解并约分：
$\dfrac{a^2 + ab}{a^2 + 2ab + b^2} = \dfrac{a(a+b)}{(a+b)^2} = \dfrac{a}{a+b}$（$a+b≠0$）
$\dfrac{3a^2 - 3ab}{a^2 - b^2} = \dfrac{3a(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \dfrac{3a}{a+b}$（$a+b≠0$且$a-b≠0$）
则原式$= \dfrac{a}{a+b} - \dfrac{3a}{a+b} = \dfrac{a-3a}{a+b} = -\dfrac{2a}{a+b}$
代入$a=2,b=-1$，得：
原式$= -\dfrac{2×2}{2+(-1)} = -4$
(2) 先计算括号内的运算：
$x - 1 + \dfrac{2 - 2x}{x + 1} = \dfrac{(x-1)(x+1) + 2 - 2x}{x+1} = \dfrac{x^2 -1 +2 -2x}{x+1} = \dfrac{x^2 -2x +1}{x+1} = \dfrac{(x-1)^2}{x+1}$
再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{(x-1)^2}{x+1} ÷ \dfrac{x - x^2}{1+x} = \dfrac{(x-1)^2}{x+1} × \dfrac{x+1}{x(1-x)}$
约分得：原式$= \dfrac{1-x}{x}$（$x≠0$且$x≠-1$且$x≠1$）
解方程$x^2 -2x -3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$
结合分式有意义的条件，排除$x=-1$，取$x=3$代入得：
原式$= \dfrac{1-3}{3} = -\dfrac{2}{3}$
【答案】
(1)化简的结果为$-\dfrac{2a}{a+b}$，值为$-4$
(2)化简的结果为$\dfrac{1-x}{x}$，值为$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式的化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，运算时需遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的顺序，化简过程中要熟练运用因式分解约分，求值时务必先验证代入的数值是否使所有分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
16.(14分)金师傅准备换车，看中了价格相同的两款国产车.这两款国产车的信息如下表：
(1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:当每年的行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低?(年费用=年行驶费用+年其他费用)
(1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:当每年的行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低?(年费用=年行驶费用+年其他费用)
答案
16.(1)$\dfrac{36}{a}$
(2)①燃油车的每千米行驶费用为 0.6 元，新能源车的每千米行驶费用为 0.06 元
②当每年的行驶里程大于 5 000 千米时，买新能源车的年费用更低
(2)①燃油车的每千米行驶费用为 0.6 元，新能源车的每千米行驶费用为 0.06 元
②当每年的行驶里程大于 5 000 千米时，买新能源车的年费用更低
解析
【分析】
(1) 要求新能源车每千米行驶费用，先计算新能源车充满电的总费用，再除以续航里程a千米即可得到结果。
(2) ① 根据“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元”这一等量关系列分式方程，求解得到a的值，再代入两款车每千米费用的代数式计算即可；② 设每年行驶里程为x千米，分别表示出两款车的年费用，根据“新能源车年费用更低”列不等式求解即可。
【解析】
(1) 新能源车充满电的总费用为：$60×0.6=36$（元）
因为续航里程为a千米，所以每千米行驶费用为$\dfrac{36}{a}$元。
(2) ① 根据题意列方程：
$\dfrac{360}{a}-\dfrac{36}{a}=0.54$
合并同类项得：$\dfrac{324}{a}=0.54$
解得：$a=324÷0.54=600$
检验：当$a=600$时，$a≠0$，是原分式方程的解，符合题意。
燃油车每千米行驶费用：$\dfrac{360}{600}=0.6$（元）
新能源车每千米行驶费用：$\dfrac{36}{600}=0.06$（元）
② 设每年行驶里程为$x$千米，根据题意得：
$0.06x + 7500 ＜ 0.6x + 4800$
移项得：$7500 - 4800 ＜ 0.6x - 0.06x$
合并同类项得：$2700 ＜ 0.54x$
解得：$x ＞ 5000$
【答案】
(1) $\dfrac{36}{a}$
(2) ① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；② 当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合购车选车的生活场景命题，考查用代数知识解决实际问题的能力，解题的核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程与不等式求解，难度适中，实用性强。
【难度系数】
0.7
(1) 要求新能源车每千米行驶费用，先计算新能源车充满电的总费用，再除以续航里程a千米即可得到结果。
(2) ① 根据“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元”这一等量关系列分式方程，求解得到a的值，再代入两款车每千米费用的代数式计算即可；② 设每年行驶里程为x千米，分别表示出两款车的年费用，根据“新能源车年费用更低”列不等式求解即可。
【解析】
(1) 新能源车充满电的总费用为：$60×0.6=36$（元）
因为续航里程为a千米，所以每千米行驶费用为$\dfrac{36}{a}$元。
(2) ① 根据题意列方程：
$\dfrac{360}{a}-\dfrac{36}{a}=0.54$
合并同类项得：$\dfrac{324}{a}=0.54$
解得：$a=324÷0.54=600$
检验：当$a=600$时，$a≠0$，是原分式方程的解，符合题意。
燃油车每千米行驶费用：$\dfrac{360}{600}=0.6$（元）
新能源车每千米行驶费用：$\dfrac{36}{600}=0.06$（元）
② 设每年行驶里程为$x$千米，根据题意得：
$0.06x + 7500 ＜ 0.6x + 4800$
移项得：$7500 - 4800 ＜ 0.6x - 0.06x$
合并同类项得：$2700 ＜ 0.54x$
解得：$x ＞ 5000$
【答案】
(1) $\dfrac{36}{a}$
(2) ① 燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；② 当每年行驶里程大于5000千米时，买新能源车的年费用更低
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合购车选车的生活场景命题，考查用代数知识解决实际问题的能力，解题的核心是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出方程与不等式求解，难度适中，实用性强。
【难度系数】
0.7
