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9 如图,两个反比例函数$y=\frac{4}{x}$和$y=\frac{2}{x}$在第一象限的图象分别是$L_1$和$L_2$.设点P在$L_1$上,$PA⊥ x$轴于点A,交$L_2$于点B,则$△ POB$的面积为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. A
解析
【分析】
本题可利用反比例函数中k的几何意义求解。首先观察图形可知，△POB的面积等于△POA的面积减去△BOA的面积，我们只需要分别求出两个直角三角形的面积，再作差即可得到结果。根据反比例函数的性质，过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入两个反比例函数的k值即可分别算出两个三角形的面积。
【解析】
解：
∵点P在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象$L_1$上，且$PA⊥x$轴，
根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ POA}=\frac{1}{2}×|4|=2$；
又
∵点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象$L_2$上，且$BA⊥x$轴，
同理得$S_{△ BOA}=\frac{1}{2}×|2|=1$；
∴$S_{△ POB}=S_{△ POA}-S_{△ BOA}=2-1=1$。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，通过面积差计算所求三角形面积是常用的解题技巧，熟练掌握反比例函数中k的几何意义可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可利用反比例函数中k的几何意义求解。首先观察图形可知，△POB的面积等于△POA的面积减去△BOA的面积，我们只需要分别求出两个直角三角形的面积，再作差即可得到结果。根据反比例函数的性质，过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，代入两个反比例函数的k值即可分别算出两个三角形的面积。
【解析】
解：
∵点P在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象$L_1$上，且$PA⊥x$轴，
根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ POA}=\frac{1}{2}×|4|=2$；
又
∵点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象$L_2$上，且$BA⊥x$轴，
同理得$S_{△ BOA}=\frac{1}{2}×|2|=1$；
∴$S_{△ POB}=S_{△ POA}-S_{△ BOA}=2-1=1$。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，通过面积差计算所求三角形面积是常用的解题技巧，熟练掌握反比例函数中k的几何意义可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
10 如图，$□ OABC$的顶点$O,B$在$y$轴上，顶点$A$在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1＜0)$在第二象限的图象上，顶点$C$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$在第一象限的图象上，则$□ OABC$的面积为（
A.$-2k_1$
B.$2k_2$
C.$k_1 + k_2$
D.$k_2 - k_1$
D
）A.$-2k_1$
B.$2k_2$
C.$k_1 + k_2$
D.$k_2 - k_1$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质：由于顶点O、B都在y轴上，因此两条对角线OB、AC的中点重合且在y轴上，可推出A、C两点的横坐标互为相反数。接下来设出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征表示出点C的坐标，再根据平行四边形对边相等的性质求出OB的长度，最后利用平行四边形面积=底×高（底为OB的长度，高为点A到y轴的水平距离）计算，结合反比例函数系数k的代数意义即可得到结果。
【解析】
设点A的坐标为$(x, \frac{k_1}{x})$，其中$x＜0$。
∵ 四边形$OABC$是平行四边形，对角线$OB$与$AC$互相平分，且$O$、$B$均在$y$轴上，
∴ $AC$的中点在$y$轴上，即$A$、$C$横坐标之和为$0$，因此点$C$的横坐标为$-x$。
∵ 点$C$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴ 点$C$的坐标为$(-x, \frac{k_2}{-x})$。
设点$B$的坐标为$(0, b)$（$b＞0$），由平行四边形对边平行且相等，可知AB与OC的纵坐标差相等，即$y_B - y_A = y_C - y_O$，其中$y_O=0$，
因此$b - \frac{k_1}{x} = -\frac{k_2}{x} - 0$，解得$b = \frac{k_1}{x} - \frac{k_2}{x}$。
平行四边形$OABC$以$OB$为底时，高为点$A$到$y$轴的距离$|x|=-x$（因$x＜0$），
因此面积$S_{□ OABC} = OB × |x| = (\frac{k_1}{x} - \frac{k_2}{x}) × (-x) = -k_1 + k_2 = k_2 - k_1$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合题，解题的突破口是利用平行四边形对角线的性质得到A、C两点横坐标的关系，结合坐标运算求解面积，较好地考查了数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对角线互相平分的性质：由于顶点O、B都在y轴上，因此两条对角线OB、AC的中点重合且在y轴上，可推出A、C两点的横坐标互为相反数。接下来设出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征表示出点C的坐标，再根据平行四边形对边相等的性质求出OB的长度，最后利用平行四边形面积=底×高（底为OB的长度，高为点A到y轴的水平距离）计算，结合反比例函数系数k的代数意义即可得到结果。
【解析】
设点A的坐标为$(x, \frac{k_1}{x})$，其中$x＜0$。
∵ 四边形$OABC$是平行四边形，对角线$OB$与$AC$互相平分，且$O$、$B$均在$y$轴上，
∴ $AC$的中点在$y$轴上，即$A$、$C$横坐标之和为$0$，因此点$C$的横坐标为$-x$。
∵ 点$C$在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，
∴ 点$C$的坐标为$(-x, \frac{k_2}{-x})$。
设点$B$的坐标为$(0, b)$（$b＞0$），由平行四边形对边平行且相等，可知AB与OC的纵坐标差相等，即$y_B - y_A = y_C - y_O$，其中$y_O=0$，
因此$b - \frac{k_1}{x} = -\frac{k_2}{x} - 0$，解得$b = \frac{k_1}{x} - \frac{k_2}{x}$。
平行四边形$OABC$以$OB$为底时，高为点$A$到$y$轴的距离$|x|=-x$（因$x＜0$），
因此面积$S_{□ OABC} = OB × |x| = (\frac{k_1}{x} - \frac{k_2}{x}) × (-x) = -k_1 + k_2 = k_2 - k_1$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的面积计算
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合题，解题的突破口是利用平行四边形对角线的性质得到A、C两点横坐标的关系，结合坐标运算求解面积，较好地考查了数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6
11 如图，点A在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，B，C两点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，BC经过原点，$AB⊥ x$轴.若$△ ABC$的面积为4，则k的值为
-3
.答案
11. $-3$
解析
【分析】
解题时先设出点A的横坐标作为参数，结合反比例函数上点的坐标特征得到点A、B的坐标，再利用反比例函数关于原点中心对称的性质得到点C的坐标，最后以AB为底，点C到AB的水平距离为高，代入三角形面积公式列方程即可求解k的值。
【解析】
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，
∵ 点A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，
∵ $AB ⊥ x$轴，
∴ 点B的横坐标与A相同，也为$a$，
又
∵ 点B在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 点B的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，
∵ BC经过原点，反比例函数图象关于原点中心对称，
∴ 点C与点B关于原点对称，可得点C的坐标为$(-a,-\frac{k}{a})$。
计算AB的长度：$AB=\frac{1}{a}-\frac{k}{a}=\frac{1-k}{a}$，
点C到直线AB（直线$x=a$）的水平距离为：$a-(-a)=2a$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{水平距离}=\frac{1}{2} × \frac{1-k}{a} × 2a=1-k$，
已知$S_{△ ABC}=4$，因此$1-k=4$，解得$k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数的性质与三角形面积计算结合，通过参数法表示各点坐标，利用对称性简化计算，解题时要注意坐标的正负对线段长度计算的影响。
【难度系数】
0.65
解题时先设出点A的横坐标作为参数，结合反比例函数上点的坐标特征得到点A、B的坐标，再利用反比例函数关于原点中心对称的性质得到点C的坐标，最后以AB为底，点C到AB的水平距离为高，代入三角形面积公式列方程即可求解k的值。
【解析】
设点A的横坐标为$a(a＞0)$，
∵ 点A在$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$，
∵ $AB ⊥ x$轴，
∴ 点B的横坐标与A相同，也为$a$，
又
∵ 点B在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 点B的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，
∵ BC经过原点，反比例函数图象关于原点中心对称，
∴ 点C与点B关于原点对称，可得点C的坐标为$(-a,-\frac{k}{a})$。
计算AB的长度：$AB=\frac{1}{a}-\frac{k}{a}=\frac{1-k}{a}$，
点C到直线AB（直线$x=a$）的水平距离为：$a-(-a)=2a$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{水平距离}=\frac{1}{2} × \frac{1-k}{a} × 2a=1-k$，
已知$S_{△ ABC}=4$，因此$1-k=4$，解得$k=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数的性质与三角形面积计算结合，通过参数法表示各点坐标，利用对称性简化计算，解题时要注意坐标的正负对线段长度计算的影响。
【难度系数】
0.65
12 双曲线$C_1:y=\frac{k_1}{x}$和$C_2:y=\frac{k_2}{x}$位于第二象限的部分如图所示，A是$C_1$上一点，分别过点A作$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，垂足分别为B，C，AB，AC与$C_2$分别交于点D，E。若四边形ADOE的面积为4，则$k_1 - k_2=$
-4
。答案
12. $-4$
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为|k|，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先根据这个性质分别表示出矩形ABOC的面积，以及$△ OBD$和$△ OCE$的面积和，再结合图形的面积关系：四边形ADOE的面积=矩形ABOC的面积减去$△ OBD$和$△ OCE$的面积和，代入已知条件整理即可求出$k_1-k_2$的值，注意两条双曲线都在第二象限，$k_1$、$k_2$均为负数，面积要转化为带符号的k的表达式。
【解析】
∵ 点A在双曲线$C_1:y=\frac{k_1}{x}$上，且$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，
∴ 矩形ABOC的面积$S_{矩形ABOC}=|k_1|$，
∵ $C_1$位于第二象限，$k_1＜0$，
∴ $S_{矩形ABOC}=-k_1$。
∵ 点D、E都在双曲线$C_2:y=\frac{k_2}{x}$上，同理可得：
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}|k_2|$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}|k_2|$，
∵ $C_2$位于第二象限，$k_2＜0$，
∴ $|k_2|=-k_2$，
∴ $S_{△ OBD}+S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×(-k_2)+\frac{1}{2}×(-k_2)=-k_2$。
由图形面积关系可知：$S_{四边形ADOE}=S_{矩形ABOC}-(S_{△ OBD}+S_{△ OCE})$，
已知$S_{四边形ADOE}=4$，代入得：
$4=-k_1 - (-k_2)$，
整理得：$-k_1 +k_2=4$，
∴ $k_1 -k_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积计算
【点评】
本题核心考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数中k对应的图形面积性质，结合面积的和差关系列等式求解，注意结合双曲线所在象限判断k的符号。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为|k|，对应的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先根据这个性质分别表示出矩形ABOC的面积，以及$△ OBD$和$△ OCE$的面积和，再结合图形的面积关系：四边形ADOE的面积=矩形ABOC的面积减去$△ OBD$和$△ OCE$的面积和，代入已知条件整理即可求出$k_1-k_2$的值，注意两条双曲线都在第二象限，$k_1$、$k_2$均为负数，面积要转化为带符号的k的表达式。
【解析】
∵ 点A在双曲线$C_1:y=\frac{k_1}{x}$上，且$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，
∴ 矩形ABOC的面积$S_{矩形ABOC}=|k_1|$，
∵ $C_1$位于第二象限，$k_1＜0$，
∴ $S_{矩形ABOC}=-k_1$。
∵ 点D、E都在双曲线$C_2:y=\frac{k_2}{x}$上，同理可得：
$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}|k_2|$，$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}|k_2|$，
∵ $C_2$位于第二象限，$k_2＜0$，
∴ $|k_2|=-k_2$，
∴ $S_{△ OBD}+S_{△ OCE}=\frac{1}{2}×(-k_2)+\frac{1}{2}×(-k_2)=-k_2$。
由图形面积关系可知：$S_{四边形ADOE}=S_{矩形ABOC}-(S_{△ OBD}+S_{△ OCE})$，
已知$S_{四边形ADOE}=4$，代入得：
$4=-k_1 - (-k_2)$，
整理得：$-k_1 +k_2=4$，
∴ $k_1 -k_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积计算
【点评】
本题核心考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数中k对应的图形面积性质，结合面积的和差关系列等式求解，注意结合双曲线所在象限判断k的符号。
【难度系数】
0.7
13 如图,点$B(m,n)$在函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上,过点$B$分别作$x$轴和$y$轴的平行线,交函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象于点$A,C$,连接$OA,OC,AC$.
(1) 若点$B$的坐标为$(2,3)$,求点$A$的坐标和直线$OC$对应的函数解析式.
(2) 若$B$为函数图象上的动点,则四边形$OABC$的面积是否变化?若不变,请说明理由;若变化,请用含$m$的代数式表示四边形$OABC$的面积.
(3) 当$OC$平分$OA$与$x$轴正半轴的夹角时,求证:$AC$是$∠ OAB$的平分线.
(1) 若点$B$的坐标为$(2,3)$,求点$A$的坐标和直线$OC$对应的函数解析式.
(2) 若$B$为函数图象上的动点,则四边形$OABC$的面积是否变化?若不变,请说明理由;若变化,请用含$m$的代数式表示四边形$OABC$的面积.
(3) 当$OC$平分$OA$与$x$轴正半轴的夹角时,求证:$AC$是$∠ OAB$的平分线.
答案
13. (1) $\because B(2,3),AB// x$轴,$BC// y$轴,$\therefore$ 点 A 的纵坐标为3,点 C 的横坐标为 2. 又 $\because$ 点 A,C 在函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 易得 $A(1,3),C(2,\frac{3}{2}).$ 设直线 OC 对应的函数解析式为$y=kx, \therefore 2k=\frac{3}{2}. \therefore k=\frac{3}{4}. \therefore$ 直线 OC 对应的函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$ (2) 不变 理由:如图,延长 BA,BC,分别交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N,则由题意可知,$BM// x$ 轴,$BN// y$ 轴,$\therefore S_{四边形BMON}=6,S_{△ AOM}=S_{△ CON}=\frac{1}{2}× 3=\frac{3}{2}. \therefore S_{四边形OABC}=S_{四边形BMON}-S_{△ AOM}-S_{△ CON}=3. \therefore$ 四边形 OABC 的面积不变. (3) 如图,过点 C 作 $CD⊥ OA$ 于点 D. 由题意可知,$CB⊥ AB$,$CN⊥ x$ 轴. $\because OC$ 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角,$\therefore CD=CN.$ $\because$ 点 $B(m,n)$ 在函数 $y=\frac{6}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 C 在函数 $y=\frac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上,$BC// y$ 轴,$\therefore$ 易得 $B(m,\frac{6}{m}),C(m,\frac{3}{m}).$ $\therefore BN=\frac{6}{m},CN=\frac{3}{m}. \therefore BN=2CN. \therefore BC=CN. \therefore CD=CB. \because CD⊥ OA,CB⊥ AB, \therefore AC$ 是 $∠ OAB$ 的平分线
解析
【分析】
(1) 已知点B的坐标，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得A点纵坐标与B相同；平行于y轴的直线上点的横坐标相等，可得C点横坐标与B相同。将A的纵坐标、C的横坐标分别代入$y=\frac{3}{x}$，即可求得A、C的坐标，再用待定系数法将C点坐标代入正比例函数一般式，即可求出直线OC的解析式。
(2) 判断四边形面积是否变化，可利用反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为$|k|$，直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。构造包含四边形的大矩形，用大矩形面积减去两个小直角三角形的面积，若结果为定值则面积不变。
(3) 要证AC是$∠ OAB$的平分线，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。先由OC平分角得C到OA和x轴的距离相等，再结合两个反比例函数的k值推导得BC等于C到x轴的距离，进而得到C到OA和AB的距离相等，即可得证。
【解析】
(1) $\because B(2,3),AB// x$轴,$BC// y$轴,
$\therefore$ 点 A 的纵坐标为3,点 C 的横坐标为 2.
又 $\because$ 点 A,C 在函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上,
将$y=3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=1$，故$A(1,3)$；
将$x=2$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，故$C(2,\frac{3}{2})$.
设直线 OC 对应的函数解析式为$y=kx$,
把$C(2,\frac{3}{2})$代入得：$2k=\frac{3}{2}$，解得 $k=\frac{3}{4}$.
$\therefore$ 直线 OC 对应的函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$.
(2) 四边形OABC的面积不变，理由如下：
如图,延长 BA,BC,分别交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N,则由题意可知,$BM// x$ 轴,$BN// y$ 轴,
$\because$ 点B在$y=\frac{6}{x}$的图象上，$\therefore S_{四边形BMON}=mn=6$,
$\because$ 点A、C在$y=\frac{3}{x}$的图象上，$\therefore S_{△ AOM}=S_{△ CON}=\frac{1}{2}× 3=\frac{3}{2}$.
$\therefore S_{四边形OABC}=S_{四边形BMON}-S_{△ AOM}-S_{△ CON}=6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3$.
$\therefore$ 四边形 OABC 的面积不变。
(3) 证明：如图,过点 C 作 $CD⊥ OA$ 于点 D.
由题意可知,$CB⊥ AB$,$CN⊥ x$ 轴.
$\because OC$ 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角,
$\therefore$ 根据角平分线的性质，得$CD=CN$.
$\because$ 点 $B(m,n)$ 在函数 $y=\frac{6}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 C 在函数 $y=\frac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上,$BC// y$ 轴,
$\therefore B(m,\frac{6}{m}),C(m,\frac{3}{m})$.
$\therefore BN=\frac{6}{m},CN=\frac{3}{m}$.
$\therefore BN=2CN$，即$BC=BN-CN=\frac{3}{m}=CN$.
$\therefore CD=CB$.
又$\because CD⊥ OA,CB⊥ AB$,
$\therefore$ 根据角平分线的判定定理，$AC$ 是 $∠ OAB$ 的平分线。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(1,3)$，直线OC对应的函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$；
(2) 四边形OABC的面积不变，面积为3；
(3) 证明见上述解析。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，待定系数法求解析式，角平分线的性质与判定
【点评】
本题是反比例函数综合题型，将函数性质与几何计算、证明相结合，既考查了反比例函数核心性质的应用，也考查了角平分线相关定理的运用，解题时需灵活运用数形结合思想，实现代数条件与几何结论的相互转化。
【难度系数】
0.6
(1) 已知点B的坐标，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得A点纵坐标与B相同；平行于y轴的直线上点的横坐标相等，可得C点横坐标与B相同。将A的纵坐标、C的横坐标分别代入$y=\frac{3}{x}$，即可求得A、C的坐标，再用待定系数法将C点坐标代入正比例函数一般式，即可求出直线OC的解析式。
(2) 判断四边形面积是否变化，可利用反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为$|k|$，直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。构造包含四边形的大矩形，用大矩形面积减去两个小直角三角形的面积，若结果为定值则面积不变。
(3) 要证AC是$∠ OAB$的平分线，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上。先由OC平分角得C到OA和x轴的距离相等，再结合两个反比例函数的k值推导得BC等于C到x轴的距离，进而得到C到OA和AB的距离相等，即可得证。
【解析】
(1) $\because B(2,3),AB// x$轴,$BC// y$轴,
$\therefore$ 点 A 的纵坐标为3,点 C 的横坐标为 2.
又 $\because$ 点 A,C 在函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上,
将$y=3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=1$，故$A(1,3)$；
将$x=2$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y=\frac{3}{2}$，故$C(2,\frac{3}{2})$.
设直线 OC 对应的函数解析式为$y=kx$,
把$C(2,\frac{3}{2})$代入得：$2k=\frac{3}{2}$，解得 $k=\frac{3}{4}$.
$\therefore$ 直线 OC 对应的函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$.
(2) 四边形OABC的面积不变，理由如下：
如图,延长 BA,BC,分别交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N,则由题意可知,$BM// x$ 轴,$BN// y$ 轴,
$\because$ 点B在$y=\frac{6}{x}$的图象上，$\therefore S_{四边形BMON}=mn=6$,
$\because$ 点A、C在$y=\frac{3}{x}$的图象上，$\therefore S_{△ AOM}=S_{△ CON}=\frac{1}{2}× 3=\frac{3}{2}$.
$\therefore S_{四边形OABC}=S_{四边形BMON}-S_{△ AOM}-S_{△ CON}=6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3$.
$\therefore$ 四边形 OABC 的面积不变。
(3) 证明：如图,过点 C 作 $CD⊥ OA$ 于点 D.
由题意可知,$CB⊥ AB$,$CN⊥ x$ 轴.
$\because OC$ 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角,
$\therefore$ 根据角平分线的性质，得$CD=CN$.
$\because$ 点 $B(m,n)$ 在函数 $y=\frac{6}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 C 在函数 $y=\frac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上,$BC// y$ 轴,
$\therefore B(m,\frac{6}{m}),C(m,\frac{3}{m})$.
$\therefore BN=\frac{6}{m},CN=\frac{3}{m}$.
$\therefore BN=2CN$，即$BC=BN-CN=\frac{3}{m}=CN$.
$\therefore CD=CB$.
又$\because CD⊥ OA,CB⊥ AB$,
$\therefore$ 根据角平分线的判定定理，$AC$ 是 $∠ OAB$ 的平分线。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(1,3)$，直线OC对应的函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$；
(2) 四边形OABC的面积不变，面积为3；
(3) 证明见上述解析。
【知识点】
反比例函数k的几何意义，待定系数法求解析式，角平分线的性质与判定
【点评】
本题是反比例函数综合题型，将函数性质与几何计算、证明相结合，既考查了反比例函数核心性质的应用，也考查了角平分线相关定理的运用，解题时需灵活运用数形结合思想，实现代数条件与几何结论的相互转化。
【难度系数】
0.6
