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1 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则反比例函数$y=\frac{a}{x}$与一次函数$y=bx+c$在同一坐标系中的大致图象是 （
C
）答案
1. C
解析
【分析】
解题思路为：首先根据二次函数的图像特征确定系数a、b、c的符号，再分别根据反比例函数、一次函数的系数与图像的对应关系，判断两个函数的大致图像，最后匹配选项得到答案。具体思考步骤：①看二次函数开口方向确定a的符号；②根据对称轴位置用“左同右异”规则确定b的符号；③看二次函数与y轴的交点位置确定c的符号；④分别推导反比例函数、一次函数的图像特征，对比选项选出符合的结果。
【解析】
解：由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像可得：
1. 二次函数开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴位于y轴左侧，根据二次函数对称轴“左同右异”的规律（a、b符号相同时对称轴在y轴左侧，符号相反时对称轴在y轴右侧），结合$a＜0$，可得$b＜0$；
3. 二次函数与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。
接下来分析另外两个函数的图像：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$：因$a＜0$，故其图像位于第二、四象限；
一次函数$y=bx+c$：因$b＜0$，函数图像呈下降趋势（y随x的增大而减小），又$c＞0$，函数图像与y轴交于正半轴，因此该一次函数图像经过第一、二、四象限。
综上，符合特征的图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质
【点评】
本题是三类函数图像的综合判断题，核心考查函数系数与图像特征的对应关系，只要熟练掌握各类函数的性质，按步骤推导即可快速得到答案，是函数部分的经典常考题。
【难度系数】
0.7
解题思路为：首先根据二次函数的图像特征确定系数a、b、c的符号，再分别根据反比例函数、一次函数的系数与图像的对应关系，判断两个函数的大致图像，最后匹配选项得到答案。具体思考步骤：①看二次函数开口方向确定a的符号；②根据对称轴位置用“左同右异”规则确定b的符号；③看二次函数与y轴的交点位置确定c的符号；④分别推导反比例函数、一次函数的图像特征，对比选项选出符合的结果。
【解析】
解：由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像可得：
1. 二次函数开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴位于y轴左侧，根据二次函数对称轴“左同右异”的规律（a、b符号相同时对称轴在y轴左侧，符号相反时对称轴在y轴右侧），结合$a＜0$，可得$b＜0$；
3. 二次函数与y轴交于正半轴，因此$c＞0$。
接下来分析另外两个函数的图像：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$：因$a＜0$，故其图像位于第二、四象限；
一次函数$y=bx+c$：因$b＜0$，函数图像呈下降趋势（y随x的增大而减小），又$c＞0$，函数图像与y轴交于正半轴，因此该一次函数图像经过第一、二、四象限。
综上，符合特征的图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质
【点评】
本题是三类函数图像的综合判断题，核心考查函数系数与图像特征的对应关系，只要熟练掌握各类函数的性质，按步骤推导即可快速得到答案，是函数部分的经典常考题。
【难度系数】
0.7
2 函数$y=\frac{k}{x}$与$y=kx - k$（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
D
）答案
2. D
解析
【分析】
解题时需根据参数k的正负性分类讨论，分别推导反比例函数和一次函数的图象特征，再逐一对比选项排除错误答案：
1. 若$k＞0$：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象位于第一、三象限；一次函数$y=kx-k$斜率为正、截距为负，图象过第一、三、四象限。
2. 若$k＜0$：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象位于第二、四象限；一次函数$y=kx-k$斜率为负、截距为正，图象过第一、二、四象限。
【解析】
我们分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分支在第一、三象限；一次函数$y=kx-k$中$k＞0$，直线从左到右上升，常数项$-k＜0$，即直线与y轴交于负半轴，因此一次函数过第一、三、四象限。
对照选项，C中一次函数与y轴交于正半轴，不符合，排除；D选项的图象符合该情况特征。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分支在第二、四象限；一次函数$y=kx-k$中$k＜0$，直线从左到右下降，常数项$-k＞0$，即直线与y轴交于正半轴，因此一次函数过第一、二、四象限。
对照选项，A中一次函数从左到右上升（斜率为正），不符合，排除；B中一次函数与y轴交于负半轴，不符合，排除。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、一次函数性质、分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合基础题，核心解题思路是根据参数的正负分类判断两种函数的图象象限特征，再通过排除法确定正确选项，是函数部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时需根据参数k的正负性分类讨论，分别推导反比例函数和一次函数的图象特征，再逐一对比选项排除错误答案：
1. 若$k＞0$：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象位于第一、三象限；一次函数$y=kx-k$斜率为正、截距为负，图象过第一、三、四象限。
2. 若$k＜0$：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象位于第二、四象限；一次函数$y=kx-k$斜率为负、截距为正，图象过第一、二、四象限。
【解析】
我们分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分支在第一、三象限；一次函数$y=kx-k$中$k＞0$，直线从左到右上升，常数项$-k＜0$，即直线与y轴交于负半轴，因此一次函数过第一、三、四象限。
对照选项，C中一次函数与y轴交于正半轴，不符合，排除；D选项的图象符合该情况特征。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分支在第二、四象限；一次函数$y=kx-k$中$k＜0$，直线从左到右下降，常数项$-k＞0$，即直线与y轴交于正半轴，因此一次函数过第一、二、四象限。
对照选项，A中一次函数从左到右上升（斜率为正），不符合，排除；B中一次函数与y轴交于负半轴，不符合，排除。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、一次函数性质、分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合基础题，核心解题思路是根据参数的正负分类判断两种函数的图象象限特征，再通过排除法确定正确选项，是函数部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
3 [2024大庆]在同一平面直角坐标系中，函数$y=kx-k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的大致图象为（
C
）答案
3. C
解析
【分析】
解题时需分k＞0和k＜0两种情况讨论，分别判断两个函数的图象特征，再和选项比对筛选正确答案。首先分析$y=\frac{k}{|x|}$的图象：由于|x|恒为正，因此函数值的符号与k一致，k＞0时图象两支都在x轴上方（第一、二象限），k＜0时图象两支都在x轴下方（第三、四象限）。再分析一次函数$y=kx-k$：可变形为$y=k(x-1)$，恒过定点(1,0)，k＞0时斜率为正、与y轴交于负半轴，图象过第一、三、四象限；k＜0时斜率为负、与y轴交于正半轴，图象过第一、二、四象限。最后将两种情况的图象特征和选项对照即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
（1）对于$y=\frac{k}{|x|}$：$\because |x|＞0$，$\therefore y＞0$，函数图象的两支分别位于第一、第二象限，整体在x轴上方；
（2）对于$y=kx-k$：斜率$k＞0$，图象从左到右上升，常数项$-k＜0$，图象与y轴交于负半轴，且过定点$(1,0)$，因此该一次函数图象经过第一、三、四象限。
对照选项，选项C符合该情况的图象特征。
2. 当$k＜0$时：
（1）对于$y=\frac{k}{|x|}$：$\because |x|＞0$，$\therefore y＜0$，函数图象的两支分别位于第三、第四象限，整体在x轴下方；
（2）对于$y=kx-k$：斜率$k＜0$，图象从左到右下降，常数项$-k＞0$，图象与y轴交于正半轴，且过定点$(1,0)$，因此该一次函数图象经过第一、二、四象限。
对照四个选项，没有符合该情况的图象。
综上，只有选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合判断题，解题核心是根据参数的正负分类讨论两个函数的图象特征，结合排除法可快速解题，是函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时需分k＞0和k＜0两种情况讨论，分别判断两个函数的图象特征，再和选项比对筛选正确答案。首先分析$y=\frac{k}{|x|}$的图象：由于|x|恒为正，因此函数值的符号与k一致，k＞0时图象两支都在x轴上方（第一、二象限），k＜0时图象两支都在x轴下方（第三、四象限）。再分析一次函数$y=kx-k$：可变形为$y=k(x-1)$，恒过定点(1,0)，k＞0时斜率为正、与y轴交于负半轴，图象过第一、三、四象限；k＜0时斜率为负、与y轴交于正半轴，图象过第一、二、四象限。最后将两种情况的图象特征和选项对照即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
（1）对于$y=\frac{k}{|x|}$：$\because |x|＞0$，$\therefore y＞0$，函数图象的两支分别位于第一、第二象限，整体在x轴上方；
（2）对于$y=kx-k$：斜率$k＞0$，图象从左到右上升，常数项$-k＜0$，图象与y轴交于负半轴，且过定点$(1,0)$，因此该一次函数图象经过第一、三、四象限。
对照选项，选项C符合该情况的图象特征。
2. 当$k＜0$时：
（1）对于$y=\frac{k}{|x|}$：$\because |x|＞0$，$\therefore y＜0$，函数图象的两支分别位于第三、第四象限，整体在x轴下方；
（2）对于$y=kx-k$：斜率$k＜0$，图象从左到右下降，常数项$-k＞0$，图象与y轴交于正半轴，且过定点$(1,0)$，因此该一次函数图象经过第一、二、四象限。
对照四个选项，没有符合该情况的图象。
综上，只有选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与反比例函数图象的综合判断题，解题核心是根据参数的正负分类讨论两个函数的图象特征，结合排除法可快速解题，是函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4 如图，一次函数 $y=x+5$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数，且 $k≠0)$ 的图象相交于 $A(-1,m),B$ 两点. 将一次函数 $y=x+5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位长度 $(b＞0)$，使平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数，且 $k≠0)$ 的图象有且只有一个交点，求 $b$ 的值. 
答案
4. $\because$ 一次函数 $y=x+5$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$($k$ 为常数,且 $k ≠ 0$)的图象都经过点 $A(-1,m),\therefore m=-1+5=4$,即点 $A$ 的坐标为$(-1,4).\therefore k=-1 × 4=-4.\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{4}{x}.\because$ 将一次函数 $y=x+5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位长度$(b＞0),\therefore$ 平移后的图象对应的函数解析式为 $y=x+5-b$. 令 $x+5-b=-\frac{4}{x}$, 则 $x^2+(5-b)x+4=0$.
$\because$ 平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点,$\therefore \Delta=(5-b)^2-16=0$,解得 $b=9$ 或 $b=1. \therefore b$ 的值为9或1
$\because$ 平移后的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点,$\therefore \Delta=(5-b)^2-16=0$,解得 $b=9$ 或 $b=1. \therefore b$ 的值为9或1
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用点A在一次函数图象上的特征，代入横坐标求出点A的纵坐标，得到A点坐标；再将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k值，确定反比例函数的表达式。第二步，根据函数平移“上加下减”的规律，写出向下平移b个单位后一次函数的解析式。第三步，两个函数图象只有一个交点，说明联立两个函数解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，列方程求解即可得到b的值，注意验证b＞0的条件。
【解析】
∵一次函数 $y=x+5$ 的图象经过点 $A(-1,m)$，
∴将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m=-1+5=4$，即点$A$的坐标为$(-1,4)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$A(-1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=-1×4=-4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
将一次函数$y=x+5$的图象沿y轴向下平移$b$个单位长度（$b＞0$），根据平移规律可得平移后函数解析式为$y=x+5-b$。
联立平移后的一次函数与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=x+5-b\\y=-\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2+(5-b)x+4=0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
∴$\Delta=(5-b)^2-4×1×4=0$，即$(5-b)^2=16$，
解得$5-b=4$或$5-b=-4$，即$b=1$或$b=9$，两个解均满足$b＞0$，符合题意。
【答案】
$b$的值为1或9
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数图象平移、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，核心考查函数交点个数与一元二次方程根的判别式的对应关系，同时需要熟练掌握函数平移的规律，解题时体现了函数与方程结合的思想，是这类题型的常考方向。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用点A在一次函数图象上的特征，代入横坐标求出点A的纵坐标，得到A点坐标；再将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k值，确定反比例函数的表达式。第二步，根据函数平移“上加下减”的规律，写出向下平移b个单位后一次函数的解析式。第三步，两个函数图象只有一个交点，说明联立两个函数解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，列方程求解即可得到b的值，注意验证b＞0的条件。
【解析】
∵一次函数 $y=x+5$ 的图象经过点 $A(-1,m)$，
∴将$x=-1$代入$y=x+5$，得$m=-1+5=4$，即点$A$的坐标为$(-1,4)$。
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$A(-1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=-1×4=-4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
将一次函数$y=x+5$的图象沿y轴向下平移$b$个单位长度（$b＞0$），根据平移规律可得平移后函数解析式为$y=x+5-b$。
联立平移后的一次函数与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=x+5-b\\y=-\frac{4}{x}\end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2+(5-b)x+4=0$。
∵平移后的图象与反比例函数图象有且只有一个交点，
∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，
∴$\Delta=(5-b)^2-4×1×4=0$，即$(5-b)^2=16$，
解得$5-b=4$或$5-b=-4$，即$b=1$或$b=9$，两个解均满足$b＞0$，符合题意。
【答案】
$b$的值为1或9
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数图象平移、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，核心考查函数交点个数与一元二次方程根的判别式的对应关系，同时需要熟练掌握函数平移的规律，解题时体现了函数与方程结合的思想，是这类题型的常考方向。
【难度系数】
0.7
5 如图,一次函数 $y=mx+n(m≠0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象交于点 $A(-2,a),B(b,-1)$,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 C,$△ AOC$ 的面积为 4.
(1) 一题多解 分别求出 a 和 b 的值;
(2) 结合图象直接写出当 $mx+n＞\frac{k}{x}$ 时 x 的取值范围;
(3) 在 y 轴上取一点 P,使 $PB-PA$ 取得最大值,求出此时点 P 的坐标.
(1) 一题多解 分别求出 a 和 b 的值;
(2) 结合图象直接写出当 $mx+n＞\frac{k}{x}$ 时 x 的取值范围;
(3) 在 y 轴上取一点 P,使 $PB-PA$ 取得最大值,求出此时点 P 的坐标.
答案
5. (1) 解法一: $\because △ AOC$ 的面积为 $4,AC ⊥ x$ 轴,点 $A$ 的坐标为$(-2,a),\therefore AC=\frac{2 × 4}{|-2|}=4$,即 $a=4. \therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(-2,4). \because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象上, $\therefore k=-8$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{8}{x}. \because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
解法二: 由 $AC ⊥ x$ 轴,可得$△ AOC$ 是直角三角形,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=4$,得$|k|=8$,即$k= \pm 8$. 又$\because$ 点 $A(-2,a)$ 在第二象限, $\therefore k=-8. \therefore y=-\frac{8}{x}$. 将 $A(-2,a)$ 代入,得 $a=\frac{-8}{-2}=4$,即 $a=4$.
$\because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜8$
(3) 设点 $A(-2,4)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A'$,易知点 $A'$ 的坐标为$(2,4)$,则直线 $A'B$ 与 $y$ 轴的交点即为所求的点 $P$. 设直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=cx+d$.
$\because$ 点 $A'(2,4),B(8,-1)$ 在直线 $A'B$ 上, $\therefore \begin{cases}2c+d=4, \\8c+d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\frac{5}{6}, \\d=\frac{17}{3}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$.
$\therefore$ 直线 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,\frac{17}{3})$,即点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{17}{3})$
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{8}{x}. \because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
解法二: 由 $AC ⊥ x$ 轴,可得$△ AOC$ 是直角三角形,$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=4$,得$|k|=8$,即$k= \pm 8$. 又$\because$ 点 $A(-2,a)$ 在第二象限, $\therefore k=-8. \therefore y=-\frac{8}{x}$. 将 $A(-2,a)$ 代入,得 $a=\frac{-8}{-2}=4$,即 $a=4$.
$\because$ 点 $B(b,-1)$ 在反比例函数 $y=-\frac{8}{x}$ 的图象上, $\therefore b=8$
(2) $x＜-2$ 或 $0＜x＜8$
(3) 设点 $A(-2,4)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A'$,易知点 $A'$ 的坐标为$(2,4)$,则直线 $A'B$ 与 $y$ 轴的交点即为所求的点 $P$. 设直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=cx+d$.
$\because$ 点 $A'(2,4),B(8,-1)$ 在直线 $A'B$ 上, $\therefore \begin{cases}2c+d=4, \\8c+d=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-\frac{5}{6}, \\d=\frac{17}{3}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $A'B$ 对应的函数解析式为 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$.
$\therefore$ 直线 $y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,\frac{17}{3})$,即点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{17}{3})$
解析
【分析】
(1) 求a、b的值首先要确定反比例函数解析式：可以直接利用△AOC的面积公式计算A点纵坐标，也可以利用反比例函数k的几何意义$S_{△AOC}=\frac{1}{2}|k|$先求出k值，再分别代入A、B两点坐标即可得到a和b的值；
(2) 求$mx+n＞\frac{k}{x}$的x取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的范围，结合两个交点坐标，分x＜0和x＞0两段观察图象即可得到结果；
(3) 要使PB-PA取得最大值，可利用轴对称性质转化线段：y轴上的点到A和A关于y轴的对称点A'的距离相等，因此PB-PA=PB-PA'，根据三角形三边关系，当P、A'、B三点共线时，PB-PA'的最大值为A'B的长度，此时只需求出直线A'B与y轴的交点即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 解法一：
∵AC⊥x轴，点A坐标为$(-2,a)$，$S_{△AOC}=4$，
∴$\frac{1}{2}×|-2|×a=4$，解得$a=4$，即$A(-2,4)$。
将$A(-2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$得$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$，
∴反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$B(b,-1)$代入$y=-\frac{8}{x}$得$-1=\frac{-8}{b}$，解得$b=8$。
解法二：
由反比例函数k的几何意义得$S_{△AOC}=\frac{1}{2}|k|=4$，
∴$|k|=8$，
∵反比例函数图象经过第二、四象限，
∴$k=-8$，即$y=-\frac{8}{x}$。
将$A(-2,a)$代入$y=-\frac{8}{x}$得$a=\frac{-8}{-2}=4$；
将$B(b,-1)$代入$y=-\frac{8}{x}$得$-1=\frac{-8}{b}$，解得$b=8$。
(2) 观察图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的x取值为$x＜-2$或$0＜x＜8$。
(3) 作点A关于y轴的对称点$A'$，由对称性质得$PA=PA'$，因此$PB-PA=PB-PA'$。
根据三角形三边关系，$PB-PA'≤A'B$，当P、$A'$、B三点共线时，$PB-PA'$取得最大值。
由$A(-2,4)$得$A'(2,4)$，设直线$A'B$的解析式为$y=cx+d$，代入$A'(2,4)$、$B(8,-1)$得：
$\begin{cases}2c+d=4 \\8c+d=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}c=-\frac{5}{6} \\d=\frac{17}{3}\end{cases}$，即直线$A'B$的解析式为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$。
令$x=0$，得$y=\frac{17}{3}$，即点P坐标为$(0,\frac{17}{3})$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=8$；
(2) $x＜-2$或$0＜x＜8$；
(3) $P(0,\frac{17}{3})$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，函数图象解不等式，轴对称求线段最值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合典型题，既考查了函数解析式求解、图象性质等基础内容，也考查了数形结合思想和线段最值问题的转化方法，解题时要重视结合图象分析问题，熟练掌握线段最值问题的对称转化思路。
【难度系数】
0.6
(1) 求a、b的值首先要确定反比例函数解析式：可以直接利用△AOC的面积公式计算A点纵坐标，也可以利用反比例函数k的几何意义$S_{△AOC}=\frac{1}{2}|k|$先求出k值，再分别代入A、B两点坐标即可得到a和b的值；
(2) 求$mx+n＞\frac{k}{x}$的x取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的范围，结合两个交点坐标，分x＜0和x＞0两段观察图象即可得到结果；
(3) 要使PB-PA取得最大值，可利用轴对称性质转化线段：y轴上的点到A和A关于y轴的对称点A'的距离相等，因此PB-PA=PB-PA'，根据三角形三边关系，当P、A'、B三点共线时，PB-PA'的最大值为A'B的长度，此时只需求出直线A'B与y轴的交点即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 解法一：
∵AC⊥x轴，点A坐标为$(-2,a)$，$S_{△AOC}=4$，
∴$\frac{1}{2}×|-2|×a=4$，解得$a=4$，即$A(-2,4)$。
将$A(-2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$得$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$，
∴反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$B(b,-1)$代入$y=-\frac{8}{x}$得$-1=\frac{-8}{b}$，解得$b=8$。
解法二：
由反比例函数k的几何意义得$S_{△AOC}=\frac{1}{2}|k|=4$，
∴$|k|=8$，
∵反比例函数图象经过第二、四象限，
∴$k=-8$，即$y=-\frac{8}{x}$。
将$A(-2,a)$代入$y=-\frac{8}{x}$得$a=\frac{-8}{-2}=4$；
将$B(b,-1)$代入$y=-\frac{8}{x}$得$-1=\frac{-8}{b}$，解得$b=8$。
(2) 观察图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的x取值为$x＜-2$或$0＜x＜8$。
(3) 作点A关于y轴的对称点$A'$，由对称性质得$PA=PA'$，因此$PB-PA=PB-PA'$。
根据三角形三边关系，$PB-PA'≤A'B$，当P、$A'$、B三点共线时，$PB-PA'$取得最大值。
由$A(-2,4)$得$A'(2,4)$，设直线$A'B$的解析式为$y=cx+d$，代入$A'(2,4)$、$B(8,-1)$得：
$\begin{cases}2c+d=4 \\8c+d=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}c=-\frac{5}{6} \\d=\frac{17}{3}\end{cases}$，即直线$A'B$的解析式为$y=-\frac{5}{6}x+\frac{17}{3}$。
令$x=0$，得$y=\frac{17}{3}$，即点P坐标为$(0,\frac{17}{3})$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=8$；
(2) $x＜-2$或$0＜x＜8$；
(3) $P(0,\frac{17}{3})$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，函数图象解不等式，轴对称求线段最值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合典型题，既考查了函数解析式求解、图象性质等基础内容，也考查了数形结合思想和线段最值问题的转化方法，解题时要重视结合图象分析问题，熟练掌握线段最值问题的对称转化思路。
【难度系数】
0.6
