1 如图，P是函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象上一点，过点P作$PA⊥y$轴于点A，B是点A关于x轴的对称点，连接PB。若$△ PAB$的面积为18，则k的值为（）

A.18
B.36
C.$-18$
D.$-36$

（第1题）（第2题）（第3题）

1. C

【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义相关知识，第一步设出第二象限内点P的坐标$(x,y)$（$x＜0,y＞0$），结合$PA⊥y$轴的条件，得到PA的长度为P点横坐标的绝对值；第二步根据关于x轴对称的点的坐标特征，求出AB的长度；第三步利用直角三角形面积公式列出$△ PAB$的面积表达式，再结合反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$即$k=xy$的关系，同时注意反比例函数所在象限对应的k的符号，最终求出k的值。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，其中$x＜0$，$y＞0$，
∵点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴$k=xy$。
∵$PA⊥y$轴于点A，
∴A点坐标为$(0,y)$，PA的长度为$|x|=-x$（$x＜0$）。
∵B是A关于x轴的对称点，
∴B点坐标为$(0,-y)$，则AB的长度为$y-(-y)=2y$。
观察可知$△ PAB$是直角三角形，直角在点A处，其面积为：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2} × PA × AB = \frac{1}{2} × (-x) × 2y = -xy$
由题知$S_{△ PAB}=18$，即$-xy=18$，
∴$xy=-18$，
又
∵$k=xy$，
∴$k=-18$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，关于x轴对称的点的坐标，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题的关键是用点P的坐标表示出三角形的底和高，结合反比例函数的关系求解，解题时要注意根据函数图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

2 如图，函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象经过$□ ABCO$的顶点A，点C在x轴上，点B的坐标为$(1,3)$，$□ ABCO$的面积为6，则k的值为（）

A.6
B.7
C.8
D.9

2. D

【分析】
解题时首先需要求出反比例函数上点A的坐标，再代入解析式求k：①利用平行四边形对边平行的性质，AB平行于x轴上的OC，因此点A的纵坐标与点B相同，均为3，且平行四边形的高就是3；②根据平行四边形面积=底×高，已知面积为6，可算出底OC的长度为2，由平行四边形对边相等得AB=OC=2；③结合点B的横坐标为1，即可求出点A的横坐标为1+2=3，得到点A坐标后，代入反比例函数解析式就能算出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB//OC，AB=OC，
∵OC在x轴上，点B的坐标为$(1,3)$，
∴点A的纵坐标为3，平行四边形的高为3，
∵$S_{▱ABCO}=6$，
∴$OC × 3 = 6$，解得$OC=2$，
∴$AB=OC=2$，
∵AB为水平线段，点B横坐标为1，
∴点A的横坐标为$1+2=3$，即$A(3,3)$，
将$A(3,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k=9$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形结合的基础题，解题的核心是通过平行四边形的面积和对边性质确定点A的坐标，再代入解析式求参数，是反比例函数章节的常见考法。
【难度系数】
0.7

3 如图，A 是函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 的图象上一点，过点 A 作 y 轴的垂线，交 y 轴于点 B，C 是 x 轴上任意一点，连接 AC，BC。若 $S_{△ ABC}=2$，则 k 的值为 。

3. 4

【分析】
解题思路：首先观察到AB垂直y轴，因此AB平行于x轴，x轴上的点O、C到直线AB的距离相等，可得△ABC与△ABO的面积相等；再结合反比例函数中k的几何意义，第一象限内反比例函数图象上一点向y轴作垂线，形成的直角三角形ABO的面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合已知面积即可求出k的值。也可通过设点A的坐标，利用三角形面积公式推导xy的值，再结合反比例函数解析式得到k。
【解析】
∵AB⊥y轴，
∴AB//x轴，
∴点C和原点O到直线AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=2$。
根据反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$中k的几何意义，过第一象限内图象上任意一点作y轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，
∴$\frac{1}{2}|k|=2$，即$|k|=4$。
∵反比例函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题的核心是利用平行于坐标轴的线段的性质，将所求三角形面积和反比例函数中k的几何意义关联起来，计算时注意结合函数图象所在象限判断k的符号。
【难度系数】
0.8

4 如图,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象上,AC 交 y 轴于点 B,B 是 AC 的中点,$△ AOC$的面积为 5,则k 的值为.

4. $-10$

【分析】
解题时首先观察已知条件：B是AC中点且在y轴上，可推出点A和点C的横坐标互为相反数；再结合反比例函数上的点满足$xy=k$的特征，利用三角形面积公式建立等式即可求出$k$的值，最后结合函数图象所在象限确定$k$的符号。
【解析】
设点C的坐标为$ (m, \frac{k}{m}) $（$ m＜0 $），
∵ 点B是AC的中点，且B在y轴上（横坐标为0），
根据中点坐标公式：中点横坐标为两端点横坐标之和的一半，
∴ $\frac{x_A + m}{2} = 0$，解得$ x_A = -m $，即OA的长度为$ |x_A| = -m $（$ m＜0 $，故$ -m＞0 $）。
∵ 点C在第二象限，
∴ 点C的纵坐标$ \frac{k}{m}＞0 $，
△AOC的面积以OA为底，点C的纵坐标为高，可得：
$ S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OA × y_C = 5 $，
代入OA和$ y_C $的表达式：
$ \frac{1}{2} × (-m) × \frac{k}{m} = 5 $，
约去$m$后化简得：$ \frac{1}{2} × (-k) = 5 $，
解得$ k = -10 $。
【答案】
$-10$
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题关键是利用中点的性质得到A、C两点横坐标的关系，结合反比例函数上点的坐标特征求解，计算时要注意根据图象所在象限判断$k$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6

5 如图，A 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象上一点，过点 A 作 $AB⊥ y$ 轴于点 B，C，D 为 x 轴上的动点。若 $CD=3AB$，四边形 ABCD 的面积为 4，则这个反比例函数的解析式为 。

5. $y=\frac{2}{x}$

【分析】
首先观察图形特征，AB垂直于y轴，CD在x轴上，因此AB平行于CD，可判断四边形ABCD是梯形，梯形的高即为点A到x轴的距离，也就是点A的纵坐标。我们可以设点A的坐标为(x,y)，则AB的长为x，结合CD=3AB的条件可表示出CD的长度，再代入梯形面积公式得到关于xy的等式，最后利用反比例函数图象上点的坐标满足xy=k的性质，即可求出k的值，得到反比例函数解析式。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），
∵$AB⊥y$轴，
∴$AB=x$，$OB=y$，且$AB// x$轴，
又
∵CD在x轴上，
∴$AB// CD$，四边形ABCD为梯形，梯形的高为$OB=y$，
∵$CD=3AB$，
∴$CD=3x$，
根据梯形面积公式：$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)×高$，
代入已知$S_{ABCD}=4$得：
$\frac{1}{2}(x+3x)× y=4$，
化简得$2xy=4$，即$xy=2$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=xy=2$，
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
$y=\frac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数k的意义，梯形面积计算，坐标与线段长度
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题的关键是准确判断四边形的形状，结合反比例函数中$k=xy$的性质求解，能很好地考查学生对反比例函数基本性质的掌握和图形分析能力。
【难度系数】
0.7

6 如图，原点O是矩形ABCD对角线的交点，顶点A，C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，AB//x轴。若矩形ABCD的面积为4，则反比例函数的解析式为。（第6题）

6. $y=\frac{1}{x}$

【分析】
解题时先利用矩形的中心对称性质：矩形对角线交点是对称中心，可得A、C两点关于原点对称，坐标互为相反数。再结合AB平行x轴的条件，用点A的坐标表示出矩形的长和宽，根据矩形面积列等式求出xy的值，最后结合反比例函数解析式中k=xy的性质即可求出k值，得到解析式。
【解析】
解：
∵原点O是矩形ABCD对角线的交点，
∴点A与点C关于原点O中心对称，
设第一象限内点A的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），则点C的坐标为$(-x,-y)$。
∵$AB// x$轴，
∴矩形ABCD的长$AB = x - (-x) = 2x$，宽$BC = y - (-y) = 2y$，
由矩形面积为4可得：
$AB× BC = 2x· 2y = 4xy = 4$，
解得$xy=1$。
又
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$k = xy = 1$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{1}{x}$。
【答案】
$y=\frac{1}{x}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形的性质；中心对称的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，解题关键是结合矩形的中心对称性建立矩形边长与反比例函数上点的坐标的联系，再利用反比例函数k的几何意义求出k值，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

7 如图，函数$y=\frac{k}{x}(x＞0,k＞0)$的图象经过矩形OABC的边AB，BC上的点F，E，其中$CE=\frac{1}{3}CB$，$AF=\frac{1}{3}AB$，且四边形OEBF的面积为2.求k的值.

7. 设矩形 OABC 的长$CB=a$,宽$AB=b. \because CE=\frac{1}{3}CB,AF=\frac{1}{3}AB, \therefore CE=\frac{1}{3}a,AF=\frac{1}{3}b. \therefore △ COE$ 的面积为 $\frac{1}{6}ab$,$△ AOF$ 的面积为 $\frac{1}{6}ab$,矩形 OABC 的面积为 $ab. \therefore$ 四边形OEBF 的面积为 $ab-\frac{1}{6}ab-\frac{1}{6}ab=\frac{2}{3}ab. \therefore △ AOF$ 的面积 $:$ 四边形 OEBF 的面积 $=\frac{1}{6}:\frac{2}{3}=1:4. \because$ 四边形 OEBF 的面积为 $2, \therefore △ AOF$ 的面积 $=$ 四边形 OEBF 的面积 $× \frac{1}{4}=2× \frac{1}{4}=\frac{1}{2}. \therefore \frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}. \therefore k=\pm 1.$ 又 $\because k＞0, \therefore k=1$

【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中E、F都在反比例函数图象上，因此△COE和△AOF的面积都和k直接相关；接下来先设矩形OABC的长和宽，根据给出的边长比例分别表示出两个小三角形的面积、矩形的面积，再结合“矩形面积减去两个小三角形面积等于四边形OEBF的面积”这一关系，找到△AOF的面积和已知四边形面积的比例，求出△AOF的面积，最后利用k的几何意义即可求出k的值。
【解析】
设矩形OABC的长$CB=a$，宽$AB=b$。
$\because CE=\frac{1}{3}CB$，$AF=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore CE=\frac{1}{3}a$，$AF=\frac{1}{3}b$。
$\therefore △ COE$的面积为$\frac{1}{2} × CE × OC = \frac{1}{2} × \frac{1}{3}a × b = \frac{1}{6}ab$，
$△ AOF$的面积为$\frac{1}{2} × OA × AF = \frac{1}{2} × a × \frac{1}{3}b = \frac{1}{6}ab$，
矩形OABC的面积为$OA × AB = ab$。
$\therefore$四边形OEBF的面积为$ab - \frac{1}{6}ab - \frac{1}{6}ab = \frac{2}{3}ab$。
$\therefore △ AOF$的面积$:$四边形OEBF的面积$=\frac{1}{6}ab:\frac{2}{3}ab = 1:4$。
$\because$四边形OEBF的面积为2，
$\therefore △ AOF$的面积$= 2 × \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。
根据反比例函数$k$的几何意义，$△ AOF$的面积$=\frac{1}{2}|k|$，
$\therefore \frac{1}{2}|k| = \frac{1}{2}$，解得$k=\pm 1$。
又$\because k＞0$，$\therefore k=1$。
【答案】
$k=1$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 矩形面积计算
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型应用题型，解题核心是熟练掌握反比例函数中k的几何意义，通过分析图形各部分的面积关系建立等式，能很好地考察数形结合的能力。
【难度系数】
0.7

8 如图，$A(a,b)$是函数 $y=\frac{8}{x}(x＞0)$ 图象上的一点，$P$ 是 $x$ 轴负半轴上的一动点，$AC ⊥ y$ 轴于点 $C$，$AD ⊥ x$ 轴于点 $D$，连接 $AP$ 交 $y$ 轴于点 $B$。
(1) $△ PAC$ 的面积是 ______；
(2) 当 $a＝2$，点 $P$ 的坐标为 $(-2,0)$ 时，求 $△ ACB$ 的面积。

8. (1) 4 (2) $\because a=2, \therefore$ 易得 $b=4. \therefore AC=2,AD=4,A(2,4).$ 设直线 AP 对应的函数解析式为 $y=kx+b. \because$ 点 $A(2,4)$,$P(-2,0)$在直线 AP 上, $\therefore \begin{cases}2k+b=4, \\ -2k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1, \\ b=2.\end{cases} \therefore$ 直线AP 对应的函数解析式为 $y=x+2.$ 当 $x=0$ 时, $y=2, \therefore B(0,2). \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2} × 2 × (4-2)=2$

【分析】
(1) 先根据点A在反比例函数图象上得到横纵坐标的乘积为定值8，再分析△PAC的底和高：AC垂直y轴，底AC的长度等于点A的横坐标a，AC边上的高等于点A的纵坐标b，结合三角形面积公式代入定值即可求解。
(2) 先将a=2代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再用待定系数法求出直线AP的解析式，得到直线AP与y轴的交点B的坐标，最后求出BC的长度，结合AC的长度用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$ab=8$。
∵$AC⊥ y$轴，
∴$AC=a$，$△ PAC$中AC边上的高为$b$，
∴$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}× AC× b=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8=4$。
(2) 当$a=2$时，代入$y=\frac{8}{x}$得$b=\frac{8}{2}=4$，
∴$A(2,4)$，$AC=2$。
设直线$AP$对应的函数解析式为$y=kx+b$，
将$A(2,4)$、$P(-2,0)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=4 \\ -2k+b=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1 \\ b=2\end{cases}$
∴直线$AP$的解析式为$y=x+2$。
令$x=0$，得$y=2$，
∴点$B$坐标为$(0,2)$，
∴$BC=4-2=2$，
∴$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数与一次函数的性质考查图形面积计算，第一问可直接利用反比例函数k的几何意义快速求解，第二问需要通过坐标、解析式的逐步推导得到所需线段长度，侧重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7