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一、选择题
1. 某班第一小组共有6名同学，某次数学考试的成绩（单位：分）分别为72，80，77，81，89，81，则这组数据的众数和中位数分别是（
A.81分，80.5分
B.89分，80.5分
C.81分，81分
D.89分，81分
1. 某班第一小组共有6名同学，某次数学考试的成绩（单位：分）分别为72，80，77，81，89，81，则这组数据的众数和中位数分别是（
A
）.A.81分，80.5分
B.89分，80.5分
C.81分，81分
D.89分，81分
答案
1.A
解析
【分析】
本题需要分别计算这组数据的众数和中位数，解题思路如下：1. 回忆众数的定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数，统计各成绩的出现次数即可找到众数；2. 回忆中位数的计算方法：先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，若为奇数则取中间的数，本题共6个数据，属于偶数个，排序后取第3、4位数据求平均即可得到中位数。
【解析】
首先将这组数据按从小到大的顺序排列：72，77，80，81，81，89。
1. 求众数：观察排序后的数据，81出现了2次，其余数均只出现1次，因此这组数据的众数是81分。
2. 求中位数：数据总共有6个，为偶数个，取排序后第3个和第4个数据，分别是80和81，因此中位数为$\frac{80+81}{2}=80.5$分。
综上，这组数据的众数是81分，中位数是80.5分，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查对基础统计概念的掌握，解题的关键是牢记计算中位数前必须先对数据排序，避免直接取原数据中间位置的数导致出错。
【难度系数】
0.8
本题需要分别计算这组数据的众数和中位数，解题思路如下：1. 回忆众数的定义：一组数据中出现次数最多的数即为众数，统计各成绩的出现次数即可找到众数；2. 回忆中位数的计算方法：先将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，若为奇数则取中间的数，本题共6个数据，属于偶数个，排序后取第3、4位数据求平均即可得到中位数。
【解析】
首先将这组数据按从小到大的顺序排列：72，77，80，81，81，89。
1. 求众数：观察排序后的数据，81出现了2次，其余数均只出现1次，因此这组数据的众数是81分。
2. 求中位数：数据总共有6个，为偶数个，取排序后第3个和第4个数据，分别是80和81，因此中位数为$\frac{80+81}{2}=80.5$分。
综上，这组数据的众数是81分，中位数是80.5分，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查对基础统计概念的掌握，解题的关键是牢记计算中位数前必须先对数据排序，避免直接取原数据中间位置的数导致出错。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中，正确的是(
A.$\frac{2ab}{4a^2c}=\frac{b}{2c}$
B.$\frac{a+b}{ab}=\frac{1+b}{b}$
C.$\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{x+3}$
D.$\frac{-x+y}{2}=-\frac{x+y}{2}$
C
).A.$\frac{2ab}{4a^2c}=\frac{b}{2c}$
B.$\frac{a+b}{ab}=\frac{1+b}{b}$
C.$\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{x+3}$
D.$\frac{-x+y}{2}=-\frac{x+y}{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路是逐一验证每个选项是否符合分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。先对每个选项的分式进行变形或约分，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：对$\frac{2ab}{4a^2c}$约分，分子分母同时除以公因式$2a$（$a≠0$），可得$\frac{b}{2ac}$，与选项中的$\frac{b}{2c}$不相等，故A错误；
B选项：$\frac{a+b}{ab}$的分子$a+b$没有公因式$a$，无法直接除以$a$得到$\frac{1+b}{b}$，变形不符合分式的基本性质，故B错误；
C选项：先对分母因式分解，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，原式有意义时$x^2-9≠0$，即$x≠3$且$x≠-3$，因此$x-3≠0$，分子分母同时除以$x-3$，可得$\frac{1}{x+3}$，故C正确；
D选项：对$\frac{-x+y}{2}$的分子提取负号，得$\frac{-(x-y)}{2}=-\frac{x-y}{2}$，与选项中的$-\frac{x+y}{2}$不相等，符号变形错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、因式分解
【点评】
本题属于分式基础题，易错点为约分时漏看公因式、提取负号时符号处理错误，以及忽略分式约分的前提是分子分母除以的整式不为0，熟练掌握分式的基本性质即可准确解题。
【难度系数】
0.7
本题考查分式基本性质的应用，解题思路是逐一验证每个选项是否符合分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。先对每个选项的分式进行变形或约分，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：对$\frac{2ab}{4a^2c}$约分，分子分母同时除以公因式$2a$（$a≠0$），可得$\frac{b}{2ac}$，与选项中的$\frac{b}{2c}$不相等，故A错误；
B选项：$\frac{a+b}{ab}$的分子$a+b$没有公因式$a$，无法直接除以$a$得到$\frac{1+b}{b}$，变形不符合分式的基本性质，故B错误；
C选项：先对分母因式分解，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，原式有意义时$x^2-9≠0$，即$x≠3$且$x≠-3$，因此$x-3≠0$，分子分母同时除以$x-3$，可得$\frac{1}{x+3}$，故C正确；
D选项：对$\frac{-x+y}{2}$的分子提取负号，得$\frac{-(x-y)}{2}=-\frac{x-y}{2}$，与选项中的$-\frac{x+y}{2}$不相等，符号变形错误，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、因式分解
【点评】
本题属于分式基础题，易错点为约分时漏看公因式、提取负号时符号处理错误，以及忽略分式约分的前提是分子分母除以的整式不为0，熟练掌握分式的基本性质即可准确解题。
【难度系数】
0.7
3. 化简$(a+\dfrac{3a-4}{a-3})(1-\dfrac{1}{a-2})$的结果是(
A.$a-2$
B.$a+2$
C.$\dfrac{a-2}{a-3}$
D.$\dfrac{a-3}{a-2}$
B
).A.$a-2$
B.$a+2$
C.$\dfrac{a-2}{a-3}$
D.$\dfrac{a-3}{a-2}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题是分式的混合运算题，解题思路分三步：第一步分别计算两个括号内的异分母分式加减，先通分化为同分母分式，再对分子进行计算合并；第二步对得到的分子进行因式分解；第三步将两个括号的运算结果相乘，约去公因式后即可得到最简结果。
【解析】
先分别计算两个括号内的运算：
1. 计算第一个括号：
将$a$通分，分母为$a-3$，可得：
$a+\dfrac{3a-4}{a-3} = \dfrac{a(a-3)}{a-3} + \dfrac{3a-4}{a-3} = \dfrac{a^2 - 3a + 3a - 4}{a-3} = \dfrac{a^2 - 4}{a-3}$
利用平方差公式因式分解分子，得$\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3}$。
2. 计算第二个括号：
将$1$通分，分母为$a-2$，可得：
$1-\dfrac{1}{a-2} = \dfrac{a-2}{a-2} - \dfrac{1}{a-2} = \dfrac{a-2 - 1}{a-2} = \dfrac{a-3}{a-2}$
3. 将两个运算结果相乘，约去公因式：
$\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3} × \dfrac{a-3}{a-2} = a+2$
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题核心是熟练掌握异分母分式加减的通分方法，以及因式分解在分式约分中的应用，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式的混合运算题，解题思路分三步：第一步分别计算两个括号内的异分母分式加减，先通分化为同分母分式，再对分子进行计算合并；第二步对得到的分子进行因式分解；第三步将两个括号的运算结果相乘，约去公因式后即可得到最简结果。
【解析】
先分别计算两个括号内的运算：
1. 计算第一个括号：
将$a$通分，分母为$a-3$，可得：
$a+\dfrac{3a-4}{a-3} = \dfrac{a(a-3)}{a-3} + \dfrac{3a-4}{a-3} = \dfrac{a^2 - 3a + 3a - 4}{a-3} = \dfrac{a^2 - 4}{a-3}$
利用平方差公式因式分解分子，得$\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3}$。
2. 计算第二个括号：
将$1$通分，分母为$a-2$，可得：
$1-\dfrac{1}{a-2} = \dfrac{a-2}{a-2} - \dfrac{1}{a-2} = \dfrac{a-2 - 1}{a-2} = \dfrac{a-3}{a-2}$
3. 将两个运算结果相乘，约去公因式：
$\dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3} × \dfrac{a-3}{a-2} = a+2$
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题核心是熟练掌握异分母分式加减的通分方法，以及因式分解在分式约分中的应用，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4$,$BC=3$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转,使点$C$落在线段$AB$上的点$E$处,点$B$落在点$D$处,则$B,D$两点间的距离为(
A.$3$
B.$\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\sqrt{10}$
D
).A.$3$
B.$\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\sqrt{10}$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先利用勾股定理计算出AB的长度，再结合旋转的性质，得到旋转后对应边AE、DE的长度以及∠AED的度数，进而求出线段BE的长度，最后在直角△BED中再次运用勾股定理即可求出B、D两点的距离。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$
∴根据旋转的性质，$AE=AC=4$，$DE=BC=3$，$∠ AED=∠ C=90°$
∴$BE=AB-AE=5-4=1$，且$∠ DEB=180°-∠ AED=90°$，即$△ DEB$为直角三角形
在$Rt△ DEB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角不变的特性，结合勾股定理逐步推导求解，需要熟练掌握旋转性质和勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用勾股定理计算出AB的长度，再结合旋转的性质，得到旋转后对应边AE、DE的长度以及∠AED的度数，进而求出线段BE的长度，最后在直角△BED中再次运用勾股定理即可求出B、D两点的距离。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$
∴根据旋转的性质，$AE=AC=4$，$DE=BC=3$，$∠ AED=∠ C=90°$
∴$BE=AB-AE=5-4=1$，且$∠ DEB=180°-∠ AED=90°$，即$△ DEB$为直角三角形
在$Rt△ DEB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{DE^2+BE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，直角三角形性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是抓住旋转前后图形的对应边、对应角不变的特性，结合勾股定理逐步推导求解，需要熟练掌握旋转性质和勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
5.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为(
A.1 cm
B.2 cm
C.$(2-\frac{\sqrt{2}}{2})$ cm
D.$(2\sqrt{2}-1)$ cm
C
).A.1 cm
B.2 cm
C.$(2-\frac{\sqrt{2}}{2})$ cm
D.$(2\sqrt{2}-1)$ cm
答案
5.C
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆正方形对角线与边长的关系、平移的性质：①边长为a的正方形，对角线长为$a\sqrt{2}$；②图形平移时，对应点的连线长度等于平移距离。解题步骤如下：第一步先计算原正方形的对角线BD的长度；第二步根据平移距离得到重叠部分小正方形的对角线长度；第三步利用正方形对角线和边长的关系，求出重叠小正方形的边长即可。
【解析】
解：
∵原正方形ABCD的边长为2 cm，
∴由勾股定理可得对角线BD的长度为：$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ cm。
∵正方形沿BD方向平移了1 cm，
∴平移距离$BB'=1$ cm，
∴重叠部分小正方形的对角线长为$BD - BB' = 2\sqrt{2} - 1$ cm。
设重叠部分小正方形的边长为$x$ cm，根据正方形对角线与边长的关系：正方形对角线长 = 边长×$\sqrt{2}$，可得：
$x·\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$
解得：$x = \frac{2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$（cm）
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，平移的性质，勾股定理
【点评】
本题结合中国传统“方胜”图案出题，将几何知识与传统文化结合，解题的核心是准确找到重叠小正方形的对角线长度，再利用正方形边长和对角线的数量关系求解，整体思路清晰，考查基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先回忆正方形对角线与边长的关系、平移的性质：①边长为a的正方形，对角线长为$a\sqrt{2}$；②图形平移时，对应点的连线长度等于平移距离。解题步骤如下：第一步先计算原正方形的对角线BD的长度；第二步根据平移距离得到重叠部分小正方形的对角线长度；第三步利用正方形对角线和边长的关系，求出重叠小正方形的边长即可。
【解析】
解：
∵原正方形ABCD的边长为2 cm，
∴由勾股定理可得对角线BD的长度为：$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ cm。
∵正方形沿BD方向平移了1 cm，
∴平移距离$BB'=1$ cm，
∴重叠部分小正方形的对角线长为$BD - BB' = 2\sqrt{2} - 1$ cm。
设重叠部分小正方形的边长为$x$ cm，根据正方形对角线与边长的关系：正方形对角线长 = 边长×$\sqrt{2}$，可得：
$x·\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 1$
解得：$x = \frac{2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$（cm）
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，平移的性质，勾股定理
【点评】
本题结合中国传统“方胜”图案出题，将几何知识与传统文化结合，解题的核心是准确找到重叠小正方形的对角线长度，再利用正方形边长和对角线的数量关系求解，整体思路清晰，考查基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
6. 关于$x$的方程$\dfrac{2ax + 3}{a - x} = \dfrac{3}{4}$的解为$x=1$，则$a$的值为（
A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$
A
）.A.$-3$
B.$3$
C.$-1$
D.$1$
答案
6.A
解析
【分析】
已知x=1是方程的解，根据方程解的定义，将x=1代入原方程，就能得到仅含参数a的分式方程，再按解分式方程的步骤计算a的值，最后要检验所得的a是否能让原方程的分母不为0，排除增根情况。
【解析】
∵x=1是方程$\dfrac{2ax + 3}{a - x} = \dfrac{3}{4}$的解，
∴把x=1代入原方程，可得：
$\dfrac{2a + 3}{a - 1} = \dfrac{3}{4}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$4(2a + 3) = 3(a - 1)$
去括号：
$8a + 12 = 3a - 3$
移项、合并同类项：
$8a - 3a = -3 - 12$
$5a = -15$
系数化为1得：
$a = -3$
检验：当$a=-3$时，原方程分母$a-x=-3-1=-4≠0$，因此$a=-3$是有效解。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解分式方程
【点评】
本题考查利用方程的解求参数的方法，解题关键是牢记方程的解满足原方程，同时注意分式方程求解后必须检验分母不为0，避免增根。
【难度系数】
0.8
已知x=1是方程的解，根据方程解的定义，将x=1代入原方程，就能得到仅含参数a的分式方程，再按解分式方程的步骤计算a的值，最后要检验所得的a是否能让原方程的分母不为0，排除增根情况。
【解析】
∵x=1是方程$\dfrac{2ax + 3}{a - x} = \dfrac{3}{4}$的解，
∴把x=1代入原方程，可得：
$\dfrac{2a + 3}{a - 1} = \dfrac{3}{4}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$4(2a + 3) = 3(a - 1)$
去括号：
$8a + 12 = 3a - 3$
移项、合并同类项：
$8a - 3a = -3 - 12$
$5a = -15$
系数化为1得：
$a = -3$
检验：当$a=-3$时，原方程分母$a-x=-3-1=-4≠0$，因此$a=-3$是有效解。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解分式方程
【点评】
本题考查利用方程的解求参数的方法，解题关键是牢记方程的解满足原方程，同时注意分式方程求解后必须检验分母不为0，避免增根。
【难度系数】
0.8
