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10.（科学思维）甲、乙两种金属密度之比为$2:5$，可以将它们按照不同比例均匀混合成不同型号的合金。Ⅰ型合金的混合比例未知，Ⅱ型合金是按照甲、乙的质量之比为$2:1$均匀混合而成的，Ⅲ型合金是按照甲、乙的体积之比为$5:7$均匀混合而成的。用Ⅰ型合金来制造某零件，能在零件质量不变的情况下比仅用金属甲时体积减少$40\%$。则Ⅰ型合金的密度与甲金属的密度之比$\rho_{Ⅰ}:\rho_{甲}=$
5:3
，Ⅰ型合金是按照甲、乙的质量之比$m_{甲}:m_{乙}=$1:2
均匀混合而成的，三种混合合金的密度之比$\rho_{Ⅰ}:\rho_{Ⅱ}:\rho_{Ⅲ}=$8:6:9
。答案
10. 5 : 3 ; 1 : 2 ; 8 : 6 : 9
【点拨】由题意可知,甲、乙两种金属密度之比为 2 : 5,可设 $\rho_{\mathrm{甲}}=\rho$,$\rho_{\mathrm{乙}}=2.5\rho$,用Ⅰ型合金来制造某零件,能在零件质量 $m$ 不变的情况下比仅用金属甲时体积减少 40%,由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得,Ⅰ型合金的体积 $V_Ⅰ=\frac{m}{\rho_1}$,金属甲的体积 $V_{\mathrm{甲}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{甲}}}=\frac{m}{\rho}$,由 $V_{\mathrm{甲}}-V_Ⅰ=V_{\mathrm{甲}} × 40\%$ 可得:$\frac{m}{\rho}-\frac{m}{\rho_1}=\frac{m}{\rho} × 40\%$,解得:$\frac{\rho_1}{\rho}=\frac{5}{3}$,即 $\frac{\rho_1}{\rho_{\mathrm{甲}}}=\frac{5}{3}$;设Ⅰ型合金是按照甲、乙的质量之比为 $k:1$ 均匀混合而成的,则Ⅰ型合金的质量 $m_1=m_{\mathrm{甲}}+m_{\mathrm{乙}}=km_{\mathrm{乙}}+m_{\mathrm{乙}}=(1+k)m_{\mathrm{乙}}$,Ⅰ型合金的体积 $V_Ⅰ=V_{\mathrm{甲}}+V_{\mathrm{乙}}=\frac{m_{\mathrm{甲}}}{\rho_{\mathrm{甲}}}+\frac{m_{\mathrm{乙}}}{\rho_{\mathrm{乙}}}=\frac{km_{\mathrm{乙}}}{\rho}+\frac{m_{\mathrm{乙}}}{2.5\rho}=\frac{(2.5k+1)m_{\mathrm{乙}}}{2.5\rho}$,Ⅰ型合金的密度 $\rho_1=\frac{m_1}{V_Ⅰ}=\frac{(1+k)m_{\mathrm{乙}}}{\frac{(2.5k+1)m_{\mathrm{乙}}}{2.5\rho}}=\frac{2.5(1+k)\rho}{2.5k+1}=\frac{5}{3}\rho$,解得:$k=\frac{1}{2}$,即Ⅰ型合金是按照甲、乙的质量之比为 $1:2$ 均匀混合而成的;Ⅱ型合金是按照甲、乙的质量之比为 $2:1$ 均匀混合而成的,则Ⅱ型合金的质量 $m_Ⅱ=m_{\mathrm{甲}}'+m_{\mathrm{乙}}'=2m_{\mathrm{乙}}'+m_{\mathrm{乙}}'=3m_{\mathrm{乙}}'$,Ⅱ.型合金的体积 $V_Ⅱ=V_{\mathrm{甲}}'+V_{\mathrm{乙}}'=\frac{m_{\mathrm{甲}}'}{\rho_{\mathrm{甲}}}+\frac{m_{\mathrm{乙}}'}{\rho_{\mathrm{乙}}}=\frac{2m_{\mathrm{乙}}'}{\rho}+\frac{m_{\mathrm{乙}}'}{2.5\rho}=\frac{6m_{\mathrm{乙}}'}{2.5\rho}$,Ⅱ 型合金的密度 $\rho_Ⅱ=\frac{m_Ⅱ}{V_Ⅱ}=\frac{3m_{\mathrm{乙}}'}{\frac{6m_{\mathrm{乙}}'}{2.5\rho}}=\frac{5}{4}\rho$;Ⅲ型合金是按照甲、乙的体积之比为 5 : 7 均匀混合而成的,则Ⅲ型合金的质量 $m_Ⅲ=\rho_{\mathrm{甲}}V_{\mathrm{甲}}''+\rho_{\mathrm{乙}}V_{\mathrm{乙}}''=\rho V_{\mathrm{甲}}''+2.5\rho × 1.4V_{\mathrm{甲}}''=4.5\rho V_{\mathrm{甲}}''$,Ⅲ型合金的体积 $V_Ⅲ=V_{\mathrm{甲}}''+V_{\mathrm{乙}}''=V_{\mathrm{甲}}''+1.4V_{\mathrm{甲}}''=2.4V_{\mathrm{甲}}''$,Ⅲ型合金的密度 $\rho_Ⅲ=\frac{m_Ⅲ}{V_Ⅲ}=\frac{4.5\rho V_{\mathrm{甲}}''}{2.4V_{\mathrm{甲}}''}=\frac{15}{8}\rho$,所以,三种混合合金的密度之比 $\rho_Ⅰ:\rho_Ⅱ:\rho_Ⅲ=\frac{5}{3}\rho:\frac{5}{4}\rho:\frac{15}{8}\rho=8:6:9$。
【点拨】由题意可知,甲、乙两种金属密度之比为 2 : 5,可设 $\rho_{\mathrm{甲}}=\rho$,$\rho_{\mathrm{乙}}=2.5\rho$,用Ⅰ型合金来制造某零件,能在零件质量 $m$ 不变的情况下比仅用金属甲时体积减少 40%,由 $\rho=\frac{m}{V}$ 可得,Ⅰ型合金的体积 $V_Ⅰ=\frac{m}{\rho_1}$,金属甲的体积 $V_{\mathrm{甲}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{甲}}}=\frac{m}{\rho}$,由 $V_{\mathrm{甲}}-V_Ⅰ=V_{\mathrm{甲}} × 40\%$ 可得:$\frac{m}{\rho}-\frac{m}{\rho_1}=\frac{m}{\rho} × 40\%$,解得:$\frac{\rho_1}{\rho}=\frac{5}{3}$,即 $\frac{\rho_1}{\rho_{\mathrm{甲}}}=\frac{5}{3}$;设Ⅰ型合金是按照甲、乙的质量之比为 $k:1$ 均匀混合而成的,则Ⅰ型合金的质量 $m_1=m_{\mathrm{甲}}+m_{\mathrm{乙}}=km_{\mathrm{乙}}+m_{\mathrm{乙}}=(1+k)m_{\mathrm{乙}}$,Ⅰ型合金的体积 $V_Ⅰ=V_{\mathrm{甲}}+V_{\mathrm{乙}}=\frac{m_{\mathrm{甲}}}{\rho_{\mathrm{甲}}}+\frac{m_{\mathrm{乙}}}{\rho_{\mathrm{乙}}}=\frac{km_{\mathrm{乙}}}{\rho}+\frac{m_{\mathrm{乙}}}{2.5\rho}=\frac{(2.5k+1)m_{\mathrm{乙}}}{2.5\rho}$,Ⅰ型合金的密度 $\rho_1=\frac{m_1}{V_Ⅰ}=\frac{(1+k)m_{\mathrm{乙}}}{\frac{(2.5k+1)m_{\mathrm{乙}}}{2.5\rho}}=\frac{2.5(1+k)\rho}{2.5k+1}=\frac{5}{3}\rho$,解得:$k=\frac{1}{2}$,即Ⅰ型合金是按照甲、乙的质量之比为 $1:2$ 均匀混合而成的;Ⅱ型合金是按照甲、乙的质量之比为 $2:1$ 均匀混合而成的,则Ⅱ型合金的质量 $m_Ⅱ=m_{\mathrm{甲}}'+m_{\mathrm{乙}}'=2m_{\mathrm{乙}}'+m_{\mathrm{乙}}'=3m_{\mathrm{乙}}'$,Ⅱ.型合金的体积 $V_Ⅱ=V_{\mathrm{甲}}'+V_{\mathrm{乙}}'=\frac{m_{\mathrm{甲}}'}{\rho_{\mathrm{甲}}}+\frac{m_{\mathrm{乙}}'}{\rho_{\mathrm{乙}}}=\frac{2m_{\mathrm{乙}}'}{\rho}+\frac{m_{\mathrm{乙}}'}{2.5\rho}=\frac{6m_{\mathrm{乙}}'}{2.5\rho}$,Ⅱ 型合金的密度 $\rho_Ⅱ=\frac{m_Ⅱ}{V_Ⅱ}=\frac{3m_{\mathrm{乙}}'}{\frac{6m_{\mathrm{乙}}'}{2.5\rho}}=\frac{5}{4}\rho$;Ⅲ型合金是按照甲、乙的体积之比为 5 : 7 均匀混合而成的,则Ⅲ型合金的质量 $m_Ⅲ=\rho_{\mathrm{甲}}V_{\mathrm{甲}}''+\rho_{\mathrm{乙}}V_{\mathrm{乙}}''=\rho V_{\mathrm{甲}}''+2.5\rho × 1.4V_{\mathrm{甲}}''=4.5\rho V_{\mathrm{甲}}''$,Ⅲ型合金的体积 $V_Ⅲ=V_{\mathrm{甲}}''+V_{\mathrm{乙}}''=V_{\mathrm{甲}}''+1.4V_{\mathrm{甲}}''=2.4V_{\mathrm{甲}}''$,Ⅲ型合金的密度 $\rho_Ⅲ=\frac{m_Ⅲ}{V_Ⅲ}=\frac{4.5\rho V_{\mathrm{甲}}''}{2.4V_{\mathrm{甲}}''}=\frac{15}{8}\rho$,所以,三种混合合金的密度之比 $\rho_Ⅰ:\rho_Ⅱ:\rho_Ⅲ=\frac{5}{3}\rho:\frac{5}{4}\rho:\frac{15}{8}\rho=8:6:9$。
解析
【分析】
本题是关于合金密度的比例计算问题，解题思路如下：
1. 先根据Ⅰ型合金“质量不变时比纯甲体积减少40%”的条件，结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，求出Ⅰ型合金密度与甲金属密度的比值；
2. 设Ⅰ型合金中甲、乙的质量比为未知数，利用合金密度等于总质量除以总体积，结合已求出的$\rho_Ⅰ$与$\rho_甲$的关系，解方程得到Ⅰ型合金的质量比；
3. 分别根据Ⅱ型（质量比2:1）、Ⅲ型（体积比5:7）的混合比例，计算出它们的密度；
4. 将三种合金的密度用$\rho_甲$表示，化简后得到密度之比。
【解析】
设甲金属的密度为$\rho_甲$，乙金属的密度为$\rho_乙$，由题意$\rho_甲:\rho_乙=2:5$，故设$\rho_甲=\rho$，则$\rho_乙=2.5\rho$。
1. 求$\rho_Ⅰ:\rho_甲$：
用Ⅰ型合金制造零件，质量$m$不变，体积比纯甲减少40%，即$V_Ⅰ=V_甲×(1-40\%)=0.6V_甲$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，得$m=\rho_甲V_甲=\rho_ⅠV_Ⅰ$，代入得：$\rho V_甲=\rho_Ⅰ×0.6V_甲$，约去$V_甲$，解得$\rho_Ⅰ=\frac{5}{3}\rho$，故$\rho_Ⅰ:\rho_甲=5:3$。
2. 求Ⅰ型合金甲、乙的质量比：
设Ⅰ型合金中甲、乙质量比为$k:1$，即$m_甲=km_乙$，总质量$m_Ⅰ=m_甲+m_乙=(k+1)m_乙$；
总体积$V_Ⅰ=V_甲+V_乙=\frac{m_甲}{\rho_甲}+\frac{m_乙}{\rho_乙}=\frac{km_乙}{\rho}+\frac{m_乙}{2.5\rho}=\frac{m_乙(2.5k+1)}{2.5\rho}$；
合金密度$\rho_Ⅰ=\frac{m_Ⅰ}{V_Ⅰ}=\frac{(k+1)m_乙}{\frac{m_乙(2.5k+1)}{2.5\rho}}=\frac{2.5\rho(k+1)}{2.5k+1}$；
结合$\rho_Ⅰ=\frac{5}{3}\rho$，代入得：$\frac{2.5(k+1)}{2.5k+1}=\frac{5}{3}$，化简得$\frac{k+1}{5k+2}=\frac{1}{3}$，解得$k=\frac{1}{2}$，故质量比$m_甲:m_乙=1:2$。
3. 求三种合金的密度之比：
Ⅱ型合金：质量比$m_甲':m_乙'=2:1$，总质量$m_Ⅱ=3m_乙'$，体积$V_Ⅱ=\frac{2m_乙'}{\rho}+\frac{m_乙'}{2.5\rho}=\frac{2.4m_乙'}{\rho}$，故$\rho_Ⅱ=\frac{m_Ⅱ}{V_Ⅱ}=\frac{5}{4}\rho$；
Ⅲ型合金：体积比$V_甲'':V_乙''=5:7$，设$V_甲''=5V$，$V_乙''=7V$，总质量$m_Ⅲ=\rho×5V+2.5\rho×7V=22.5\rho V$，体积$V_Ⅲ=12V$，故$\rho_Ⅲ=\frac{m_Ⅲ}{V_Ⅲ}=\frac{15}{8}\rho$；
密度之比：$\rho_Ⅰ:\rho_Ⅱ:\rho_Ⅲ=\frac{5}{3}\rho:\frac{5}{4}\rho:\frac{15}{8}\rho=8:6:9$。
【答案】
5:3；1:2；8:6:9
【知识点】
密度公式及其应用；合金密度的计算；比例法解题
【点评】
本题综合考查密度公式的应用，核心是掌握混合物质（合金）密度等于总质量与总体积的比值，解题时通过设未知数、利用比例关系简化计算，是力学密度部分的典型中档题型，需要学生具备较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4
本题是关于合金密度的比例计算问题，解题思路如下：
1. 先根据Ⅰ型合金“质量不变时比纯甲体积减少40%”的条件，结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，求出Ⅰ型合金密度与甲金属密度的比值；
2. 设Ⅰ型合金中甲、乙的质量比为未知数，利用合金密度等于总质量除以总体积，结合已求出的$\rho_Ⅰ$与$\rho_甲$的关系，解方程得到Ⅰ型合金的质量比；
3. 分别根据Ⅱ型（质量比2:1）、Ⅲ型（体积比5:7）的混合比例，计算出它们的密度；
4. 将三种合金的密度用$\rho_甲$表示，化简后得到密度之比。
【解析】
设甲金属的密度为$\rho_甲$，乙金属的密度为$\rho_乙$，由题意$\rho_甲:\rho_乙=2:5$，故设$\rho_甲=\rho$，则$\rho_乙=2.5\rho$。
1. 求$\rho_Ⅰ:\rho_甲$：
用Ⅰ型合金制造零件，质量$m$不变，体积比纯甲减少40%，即$V_Ⅰ=V_甲×(1-40\%)=0.6V_甲$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，得$m=\rho_甲V_甲=\rho_ⅠV_Ⅰ$，代入得：$\rho V_甲=\rho_Ⅰ×0.6V_甲$，约去$V_甲$，解得$\rho_Ⅰ=\frac{5}{3}\rho$，故$\rho_Ⅰ:\rho_甲=5:3$。
2. 求Ⅰ型合金甲、乙的质量比：
设Ⅰ型合金中甲、乙质量比为$k:1$，即$m_甲=km_乙$，总质量$m_Ⅰ=m_甲+m_乙=(k+1)m_乙$；
总体积$V_Ⅰ=V_甲+V_乙=\frac{m_甲}{\rho_甲}+\frac{m_乙}{\rho_乙}=\frac{km_乙}{\rho}+\frac{m_乙}{2.5\rho}=\frac{m_乙(2.5k+1)}{2.5\rho}$；
合金密度$\rho_Ⅰ=\frac{m_Ⅰ}{V_Ⅰ}=\frac{(k+1)m_乙}{\frac{m_乙(2.5k+1)}{2.5\rho}}=\frac{2.5\rho(k+1)}{2.5k+1}$；
结合$\rho_Ⅰ=\frac{5}{3}\rho$，代入得：$\frac{2.5(k+1)}{2.5k+1}=\frac{5}{3}$，化简得$\frac{k+1}{5k+2}=\frac{1}{3}$，解得$k=\frac{1}{2}$，故质量比$m_甲:m_乙=1:2$。
3. 求三种合金的密度之比：
Ⅱ型合金：质量比$m_甲':m_乙'=2:1$，总质量$m_Ⅱ=3m_乙'$，体积$V_Ⅱ=\frac{2m_乙'}{\rho}+\frac{m_乙'}{2.5\rho}=\frac{2.4m_乙'}{\rho}$，故$\rho_Ⅱ=\frac{m_Ⅱ}{V_Ⅱ}=\frac{5}{4}\rho$；
Ⅲ型合金：体积比$V_甲'':V_乙''=5:7$，设$V_甲''=5V$，$V_乙''=7V$，总质量$m_Ⅲ=\rho×5V+2.5\rho×7V=22.5\rho V$，体积$V_Ⅲ=12V$，故$\rho_Ⅲ=\frac{m_Ⅲ}{V_Ⅲ}=\frac{15}{8}\rho$；
密度之比：$\rho_Ⅰ:\rho_Ⅱ:\rho_Ⅲ=\frac{5}{3}\rho:\frac{5}{4}\rho:\frac{15}{8}\rho=8:6:9$。
【答案】
5:3；1:2；8:6:9
【知识点】
密度公式及其应用；合金密度的计算；比例法解题
【点评】
本题综合考查密度公式的应用，核心是掌握混合物质（合金）密度等于总质量与总体积的比值，解题时通过设未知数、利用比例关系简化计算，是力学密度部分的典型中档题型，需要学生具备较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4
11.(科学论证)[威海期末]有一家工厂要制造一种特殊用途的钢铝罐，即钢罐内表面要压接一层0.25 mm厚的铝膜，对此，焊接和锻压都束手无策。后来，科学家解决了这一难题：他们先把薄薄的铝片装到钢罐内，与钢罐的内表面相贴，再往钢罐内灌满水，水中插入冷冻管使水结冰，铝膜就与钢罐接牢了。请你简要说明其原因：
若在钢铝罐装满体积为900 cm³的水，这些水全部结成冰后，体积变化了
($\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
水结冰时质量不变，而密度变小，体积变大，故会膨胀，使铝膜与钢罐牢牢接在一起
。若在钢铝罐装满体积为900 cm³的水，这些水全部结成冰后，体积变化了
100
cm³。($\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
答案
11. 水结冰时质量不变,而密度变小,体积变大,故会膨胀,使铝膜与钢罐牢牢接在一起;100
【点拨】水结冰质量不变,根据 $\rho=\frac{m}{V}$ 知, $\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{冰}}V_{\mathrm{冰}}$,$1\ \mathrm{g/cm}^3 × 900\ \mathrm{cm}^3=0.9\ \mathrm{g/cm}^3 × (900\ \mathrm{cm}^3+\Delta V)$;解得 $\Delta V=100\ \mathrm{cm}^3$。
【点拨】水结冰质量不变,根据 $\rho=\frac{m}{V}$ 知, $\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{冰}}V_{\mathrm{冰}}$,$1\ \mathrm{g/cm}^3 × 900\ \mathrm{cm}^3=0.9\ \mathrm{g/cm}^3 × (900\ \mathrm{cm}^3+\Delta V)$;解得 $\Delta V=100\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
本题需解决两个问题：一是解释铝膜与钢罐接牢的原因，二是计算水结冰后的体积变化。核心思路为：水凝固成冰时质量不变，冰的密度小于水的密度，根据密度公式可知体积会变大，膨胀的冰会对铝膜施加压力使其与钢罐贴合；计算体积变化时，利用质量不变的特性，结合密度公式分别求出水和冰的体积，再求差值。
【解析】
1. 铝膜与钢罐接牢的原因：水凝固成冰时，质量是物体的固有属性，不随状态改变，而冰的密度小于水的密度，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，体积$V=\frac{m}{\rho}$，因此水结冰后体积会变大，膨胀的冰对铝膜产生向外的压力，使铝膜与钢罐内表面紧密贴合，从而接牢。
2. 体积变化的计算：
已知水的体积$V_{水}=900\ \mathrm{cm}^3$，水的密度$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，则水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3×900\ \mathrm{cm}^3=900\ \mathrm{g}$；
水结冰后质量不变，即$m_{冰}=m_{水}=900\ \mathrm{g}$，冰的密度$\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$，则冰的体积：
$V_{冰}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}=\frac{900\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=1000\ \mathrm{cm}^3$；
体积变化量：$\Delta V=V_{冰}-V_{水}=1000\ \mathrm{cm}^3 -900\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
水结冰时质量不变，密度变小，体积变大，膨胀产生压力使铝膜与钢罐接牢；100
【知识点】
密度公式的应用、质量的属性
【点评】
本题结合工业生产实际，考查质量和密度的核心知识，既需要理解水结冰的体积变化规律，又要灵活运用密度公式计算，难度适中，体现了物理知识在生产中的应用价值。
【难度系数】
0.6
本题需解决两个问题：一是解释铝膜与钢罐接牢的原因，二是计算水结冰后的体积变化。核心思路为：水凝固成冰时质量不变，冰的密度小于水的密度，根据密度公式可知体积会变大，膨胀的冰会对铝膜施加压力使其与钢罐贴合；计算体积变化时，利用质量不变的特性，结合密度公式分别求出水和冰的体积，再求差值。
【解析】
1. 铝膜与钢罐接牢的原因：水凝固成冰时，质量是物体的固有属性，不随状态改变，而冰的密度小于水的密度，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，体积$V=\frac{m}{\rho}$，因此水结冰后体积会变大，膨胀的冰对铝膜产生向外的压力，使铝膜与钢罐内表面紧密贴合，从而接牢。
2. 体积变化的计算：
已知水的体积$V_{水}=900\ \mathrm{cm}^3$，水的密度$\rho_{水}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$，则水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3×900\ \mathrm{cm}^3=900\ \mathrm{g}$；
水结冰后质量不变，即$m_{冰}=m_{水}=900\ \mathrm{g}$，冰的密度$\rho_{冰}=0.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$，则冰的体积：
$V_{冰}=\frac{m_{冰}}{\rho_{冰}}=\frac{900\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=1000\ \mathrm{cm}^3$；
体积变化量：$\Delta V=V_{冰}-V_{水}=1000\ \mathrm{cm}^3 -900\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
水结冰时质量不变，密度变小，体积变大，膨胀产生压力使铝膜与钢罐接牢；100
【知识点】
密度公式的应用、质量的属性
【点评】
本题结合工业生产实际，考查质量和密度的核心知识，既需要理解水结冰的体积变化规律，又要灵活运用密度公式计算，难度适中，体现了物理知识在生产中的应用价值。
【难度系数】
0.6
12. 一场大雪使大地像铺上一张白色的棉被，家住北方的小军对雪产生了兴趣，他想测量雪的密度。他找来一个棱长为10 cm的正方体容器，先装满蓬松的雪，然后将雪平整地压紧为3 cm厚的冰，当冰完全熔化后，水的深度为2.4 cm。已知水的密度为1.0 g/cm³。冰完全熔化成水后，水的体积为
240
cm³。3 cm厚的冰的质量为240
g。容器中蓬松的雪的密度为0.24
g/cm³。($\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$)答案
12. 240;240;0.24
【点拨】容器的底面积 $S=L^2=(10\ \mathrm{cm})^2=100\ \mathrm{cm}^2$;水的体积 $V_{\mathrm{水}}=Sh_{\mathrm{水}}=100\ \mathrm{cm}^2 × 2.4\ \mathrm{cm}=240\ \mathrm{cm}^3$;冰熔化成水后,质量不变,所以冰的质量 $m_{\mathrm{冰}}=m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3 × 240\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{g}$;雪的质量等于水的质量,即 $m_{\mathrm{雪}}=m_{\mathrm{水}}=240\ \mathrm{g}$;雪的体积 $V_{\mathrm{雪}}=L^3=(10\ \mathrm{cm})^3=1\ 000\ \mathrm{cm}^3$,蓬松的雪的密度 $\rho_{\mathrm{雪}}=\frac{m_{\mathrm{雪}}}{V_{\mathrm{雪}}}=\frac{240\ \mathrm{g}}{1\ 000\ \mathrm{cm}^3}=0.24\ \mathrm{g/cm}^3$。
【点拨】容器的底面积 $S=L^2=(10\ \mathrm{cm})^2=100\ \mathrm{cm}^2$;水的体积 $V_{\mathrm{水}}=Sh_{\mathrm{水}}=100\ \mathrm{cm}^2 × 2.4\ \mathrm{cm}=240\ \mathrm{cm}^3$;冰熔化成水后,质量不变,所以冰的质量 $m_{\mathrm{冰}}=m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3 × 240\ \mathrm{cm}^3=240\ \mathrm{g}$;雪的质量等于水的质量,即 $m_{\mathrm{雪}}=m_{\mathrm{水}}=240\ \mathrm{g}$;雪的体积 $V_{\mathrm{雪}}=L^3=(10\ \mathrm{cm})^3=1\ 000\ \mathrm{cm}^3$,蓬松的雪的密度 $\rho_{\mathrm{雪}}=\frac{m_{\mathrm{雪}}}{V_{\mathrm{雪}}}=\frac{240\ \mathrm{g}}{1\ 000\ \mathrm{cm}^3}=0.24\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
要解决本题，需利用体积公式、密度公式及质量的属性（状态变化时质量不变）逐步推导：首先通过容器底面积和水的深度计算水的体积；再根据冰熔化成水质量不变，由水的质量得到冰的质量；最后结合雪的体积（容器容积）计算雪的密度，每一步需明确物理量间的关系，确保公式应用正确。
【解析】
1. 计算水的体积：正方体容器的底面积 $ S = L^2 = (10\ \mathrm{cm})^2 = 100\ \mathrm{cm}^2 $，水的深度 $ h_{\mathrm{水}} = 2.4\ \mathrm{cm} $，根据体积公式 $ V = Sh $，水的体积 $ V_{\mathrm{水}} = S h_{\mathrm{水}} = 100\ \mathrm{cm}^2 × 2.4\ \mathrm{cm} = 240\ \mathrm{cm}^3 $。
2. 计算冰的质量：冰熔化成水后质量不变，即 $ m_{\mathrm{冰}} = m_{\mathrm{水}} $，由密度公式 $ m = \rho V $，得 $ m_{\mathrm{冰}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} = 1.0\ \mathrm{g/cm}^3 × 240\ \mathrm{cm}^3 = 240\ \mathrm{g} $。
3. 计算雪的密度：雪的体积等于正方体容器的容积，即 $ V_{\mathrm{雪}} = L^3 = (10\ \mathrm{cm})^3 = 1000\ \mathrm{cm}^3 $，雪的质量等于冰的质量 $ m_{\mathrm{雪}} = m_{\mathrm{冰}} = 240\ \mathrm{g} $，根据密度公式 $ \rho = \frac{m}{V} $，雪的密度 $ \rho_{\mathrm{雪}} = \frac{m_{\mathrm{雪}}}{V_{\mathrm{雪}}} = \frac{240\ \mathrm{g}}{1000\ \mathrm{cm}^3} = 0.24\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
240；240；0.24
【知识点】
密度计算、质量的属性
【点评】
本题结合实际场景考查密度的基础计算，核心是理解“冰熔化质量不变”和“雪的体积为容器容积”，需熟练运用体积、密度公式，属于密度应用的典型基础题。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需利用体积公式、密度公式及质量的属性（状态变化时质量不变）逐步推导：首先通过容器底面积和水的深度计算水的体积；再根据冰熔化成水质量不变，由水的质量得到冰的质量；最后结合雪的体积（容器容积）计算雪的密度，每一步需明确物理量间的关系，确保公式应用正确。
【解析】
1. 计算水的体积：正方体容器的底面积 $ S = L^2 = (10\ \mathrm{cm})^2 = 100\ \mathrm{cm}^2 $，水的深度 $ h_{\mathrm{水}} = 2.4\ \mathrm{cm} $，根据体积公式 $ V = Sh $，水的体积 $ V_{\mathrm{水}} = S h_{\mathrm{水}} = 100\ \mathrm{cm}^2 × 2.4\ \mathrm{cm} = 240\ \mathrm{cm}^3 $。
2. 计算冰的质量：冰熔化成水后质量不变，即 $ m_{\mathrm{冰}} = m_{\mathrm{水}} $，由密度公式 $ m = \rho V $，得 $ m_{\mathrm{冰}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} = 1.0\ \mathrm{g/cm}^3 × 240\ \mathrm{cm}^3 = 240\ \mathrm{g} $。
3. 计算雪的密度：雪的体积等于正方体容器的容积，即 $ V_{\mathrm{雪}} = L^3 = (10\ \mathrm{cm})^3 = 1000\ \mathrm{cm}^3 $，雪的质量等于冰的质量 $ m_{\mathrm{雪}} = m_{\mathrm{冰}} = 240\ \mathrm{g} $，根据密度公式 $ \rho = \frac{m}{V} $，雪的密度 $ \rho_{\mathrm{雪}} = \frac{m_{\mathrm{雪}}}{V_{\mathrm{雪}}} = \frac{240\ \mathrm{g}}{1000\ \mathrm{cm}^3} = 0.24\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
240；240；0.24
【知识点】
密度计算、质量的属性
【点评】
本题结合实际场景考查密度的基础计算，核心是理解“冰熔化质量不变”和“雪的体积为容器容积”，需熟练运用体积、密度公式，属于密度应用的典型基础题。
【难度系数】
0.3
13. [重庆期中] 周末小北同学在渝北两路农贸市场捡了一块冰块，冰块中有一小石块，冰和石块的总质量是420 g，如图甲所示，将冰块放入底面积为200 cm²盛有水的圆柱形容器中，冰块完全沉入水中，这时容器中的水面上升了1.5 cm，当冰全部熔化后容器里水面又下降了0.1 cm，如图乙所示，则冰的质量为
180
g，则石块的密度是2.4
g/cm³。（已知$\rho_{冰}=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$）答案
13. 180;2.4
【点拨】冰块完全沉入水中时,水面上升的体积等于冰块和石块的总体积。容器底面积 $S=200\ \mathrm{cm}^2$,水面上升高度 $\Delta h_1=1.5\ \mathrm{cm}$,则冰和石头的总体积 $V_{\mathrm{总}}=S × \Delta h_1=200\ \mathrm{cm}^2 × 1.5\ \mathrm{cm}=300\ \mathrm{cm}^3$。冰熔化后质量不变,设冰的质量为 $m_{\mathrm{冰}}$,根据密度公式可得冰的体积 $V_{\mathrm{冰}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}$,熔化后水的体积 $V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$;因为冰全部熔化后水面下降高度 $\Delta h_2=0.1\ \mathrm{cm}$,体积差等于 $S × \Delta h_2$,则 $V_{\mathrm{冰}}-V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}-\frac{m_{\mathrm{冰}}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=S × \Delta h_2=200\ \mathrm{cm}^2 × 0.1\ \mathrm{cm}$;解得 $m_{\mathrm{冰}}=180\ \mathrm{g}$;冰和石块总质量 $m_{\mathrm{总}}=420\ \mathrm{g}$,则石块质量 $m_{\mathrm{石}}=420\ \mathrm{g}-180\ \mathrm{g}=240\ \mathrm{g}$;根据密度公式可得冰的体积 $V_{\mathrm{冰}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}=\frac{180\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$,石块体积 $V_{\mathrm{石}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{冰}}=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$,石块密度 $\rho_{\mathrm{石}}=\frac{m_{\mathrm{石}}}{V_{\mathrm{石}}}=\frac{240\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=2.4\ \mathrm{g/cm}^3$。
【点拨】冰块完全沉入水中时,水面上升的体积等于冰块和石块的总体积。容器底面积 $S=200\ \mathrm{cm}^2$,水面上升高度 $\Delta h_1=1.5\ \mathrm{cm}$,则冰和石头的总体积 $V_{\mathrm{总}}=S × \Delta h_1=200\ \mathrm{cm}^2 × 1.5\ \mathrm{cm}=300\ \mathrm{cm}^3$。冰熔化后质量不变,设冰的质量为 $m_{\mathrm{冰}}$,根据密度公式可得冰的体积 $V_{\mathrm{冰}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}$,熔化后水的体积 $V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$;因为冰全部熔化后水面下降高度 $\Delta h_2=0.1\ \mathrm{cm}$,体积差等于 $S × \Delta h_2$,则 $V_{\mathrm{冰}}-V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}-\frac{m_{\mathrm{冰}}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=S × \Delta h_2=200\ \mathrm{cm}^2 × 0.1\ \mathrm{cm}$;解得 $m_{\mathrm{冰}}=180\ \mathrm{g}$;冰和石块总质量 $m_{\mathrm{总}}=420\ \mathrm{g}$,则石块质量 $m_{\mathrm{石}}=420\ \mathrm{g}-180\ \mathrm{g}=240\ \mathrm{g}$;根据密度公式可得冰的体积 $V_{\mathrm{冰}}=\frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}=\frac{180\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3}=200\ \mathrm{cm}^3$,石块体积 $V_{\mathrm{石}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{冰}}=300\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=100\ \mathrm{cm}^3$,石块密度 $\rho_{\mathrm{石}}=\frac{m_{\mathrm{石}}}{V_{\mathrm{石}}}=\frac{240\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=2.4\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
要解决这道题，需分步骤理清物理量关系：首先，冰块沉入水中时，水面上升的体积等于冰和石块的总体积；其次，冰熔化后质量不变，体积变化导致水面下降，该体积差可用于计算冰的质量；最后结合总质量和总体积，求出石块的质量和体积，进而计算石块密度。
【解析】
1. 计算冰和石块的总体积：
冰块完全沉入水中时，水面上升的体积等于冰和石块的总体积，根据圆柱体积公式：
$V_{\mathrm{总}} = S · \Delta h_1 = 200\ \mathrm{cm}^2 × 1.5\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算冰的质量：
冰熔化后质量不变，设冰的质量为$m_{\mathrm{冰}}$，则冰的体积$V_{\mathrm{冰}} = \frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}$，熔化后水的体积$V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$。
冰熔化后水面下降的体积等于冰与熔化后水的体积差，即：
$V_{\mathrm{冰}} - V_{\mathrm{水}} = S · \Delta h_2$
代入已知$\rho_{\mathrm{冰}}=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$\Delta h_2=0.1\ \mathrm{cm}$：
$\frac{m_{\mathrm{冰}}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3} - \frac{m_{\mathrm{冰}}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^2 × 0.1\ \mathrm{cm}$
化简得：$m_{\mathrm{冰}} · (\frac{10}{9} - 1) = 20\ \mathrm{cm}^3$，即$\frac{m_{\mathrm{冰}}}{9} = 20\ \mathrm{cm}^3$，解得$m_{\mathrm{冰}} = 180\ \mathrm{g}$。
3. 计算石块的密度：
冰和石块总质量为$420\ \mathrm{g}$，则石块质量$m_{\mathrm{石}} = 420\ \mathrm{g} - 180\ \mathrm{g} = 240\ \mathrm{g}$；
冰的体积$V_{\mathrm{冰}} = \frac{180\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3$；
石块体积$V_{\mathrm{石}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{冰}} = 300\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 100\ \mathrm{cm}^3$；
则石块密度$\rho_{\mathrm{石}} = \frac{m_{\mathrm{石}}}{V_{\mathrm{石}}} = \frac{240\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 2.4\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
180；2.4
【知识点】
密度公式应用，体积计算，质量守恒
【点评】
本题结合密度与体积变化，关键是利用冰熔化的体积差求出冰的质量，再结合总体积计算石块的密度，需理清各物理量间的关系，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分步骤理清物理量关系：首先，冰块沉入水中时，水面上升的体积等于冰和石块的总体积；其次，冰熔化后质量不变，体积变化导致水面下降，该体积差可用于计算冰的质量；最后结合总质量和总体积，求出石块的质量和体积，进而计算石块密度。
【解析】
1. 计算冰和石块的总体积：
冰块完全沉入水中时，水面上升的体积等于冰和石块的总体积，根据圆柱体积公式：
$V_{\mathrm{总}} = S · \Delta h_1 = 200\ \mathrm{cm}^2 × 1.5\ \mathrm{cm} = 300\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算冰的质量：
冰熔化后质量不变，设冰的质量为$m_{\mathrm{冰}}$，则冰的体积$V_{\mathrm{冰}} = \frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{冰}}}$，熔化后水的体积$V_{\mathrm{水}} = \frac{m_{\mathrm{冰}}}{\rho_{\mathrm{水}}}$。
冰熔化后水面下降的体积等于冰与熔化后水的体积差，即：
$V_{\mathrm{冰}} - V_{\mathrm{水}} = S · \Delta h_2$
代入已知$\rho_{\mathrm{冰}}=0.9\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$\Delta h_2=0.1\ \mathrm{cm}$：
$\frac{m_{\mathrm{冰}}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3} - \frac{m_{\mathrm{冰}}}{1\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^2 × 0.1\ \mathrm{cm}$
化简得：$m_{\mathrm{冰}} · (\frac{10}{9} - 1) = 20\ \mathrm{cm}^3$，即$\frac{m_{\mathrm{冰}}}{9} = 20\ \mathrm{cm}^3$，解得$m_{\mathrm{冰}} = 180\ \mathrm{g}$。
3. 计算石块的密度：
冰和石块总质量为$420\ \mathrm{g}$，则石块质量$m_{\mathrm{石}} = 420\ \mathrm{g} - 180\ \mathrm{g} = 240\ \mathrm{g}$；
冰的体积$V_{\mathrm{冰}} = \frac{180\ \mathrm{g}}{0.9\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3$；
石块体积$V_{\mathrm{石}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{冰}} = 300\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 100\ \mathrm{cm}^3$；
则石块密度$\rho_{\mathrm{石}} = \frac{m_{\mathrm{石}}}{V_{\mathrm{石}}} = \frac{240\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 2.4\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
180；2.4
【知识点】
密度公式应用，体积计算，质量守恒
【点评】
本题结合密度与体积变化，关键是利用冰熔化的体积差求出冰的质量，再结合总体积计算石块的密度，需理清各物理量间的关系，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
14. 如图所示，水平桌面上甲、乙两容器的底面积均为$0.01\ \mathrm{m}^2$，甲容器内盛有体积为$2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$的水，乙容器内盛有深度为$0.3\ \mathrm{m}$的酒精。($\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{\mathrm{酒精}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)求甲容器内水的质量是多少千克？
(2)求乙容器内酒精的质量是多少千克？
(3)在甲容器中抽出深度为$h_1$的水，在乙容器中抽出深度为$h_2$的酒精，然后将抽出的液体分别加入对方容器中，最终两容器中液体质量相同，整个过程无液体溢出，已知$h_1:h_2=4:7$，求$h_1$为多少米？
(1)求甲容器内水的质量是多少千克？
(2)求乙容器内酒精的质量是多少千克？
(3)在甲容器中抽出深度为$h_1$的水，在乙容器中抽出深度为$h_2$的酒精，然后将抽出的液体分别加入对方容器中，最终两容器中液体质量相同，整个过程无液体溢出，已知$h_1:h_2=4:7$，求$h_1$为多少米？
答案
【解】(1)甲容器内水的质量
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 2 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{kg}$。
(2)乙容器内盛有酒精的体积
$V_{\mathrm{酒精}}=Sh_{\mathrm{酒精}}=0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.3\ \mathrm{m}=0.003\ \mathrm{m}^3$,
乙容器内酒精的质量
$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.003\ \mathrm{m}^3=2.4\ \mathrm{kg}$。
(3)已知 $h_1:h_2=4:7$,则 $h_2=\frac{7}{4}h_1$,甲容器中抽出深度为 $h_1$ 的水,则抽出水的质量 $\Delta m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}\Delta V_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}Sh_1$,乙容器中抽出深度为 $h_2$ 的酒精,则抽出酒精的质量 $\Delta m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}\Delta V_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}Sh_2=\frac{7}{4}\rho_{\mathrm{酒精}}Sh_1$,
将抽出的液体分别加入对方容器中,最终两容器中液体质量相同,则有 $m_{\mathrm{水}}-\Delta m_{\mathrm{水}}+\Delta m_{\mathrm{酒精}}=m_{\mathrm{酒精}}-\Delta m_{\mathrm{酒精}}+\Delta m_{\mathrm{水}}$,即 $2\Delta m_{\mathrm{酒精}}-2\Delta m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{酒精}}-m_{\mathrm{水}}$,代入数据有 $2 × \frac{7}{4} × 0.8 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.01\ \mathrm{m}^2 × h_1-2 × 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.01\ \mathrm{m}^2 × h_1=2.4\ \mathrm{kg}-2\ \mathrm{kg}$,解得,$h_1=0.05\ \mathrm{m}$。
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 2 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{kg}$。
(2)乙容器内盛有酒精的体积
$V_{\mathrm{酒精}}=Sh_{\mathrm{酒精}}=0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.3\ \mathrm{m}=0.003\ \mathrm{m}^3$,
乙容器内酒精的质量
$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.003\ \mathrm{m}^3=2.4\ \mathrm{kg}$。
(3)已知 $h_1:h_2=4:7$,则 $h_2=\frac{7}{4}h_1$,甲容器中抽出深度为 $h_1$ 的水,则抽出水的质量 $\Delta m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}\Delta V_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}Sh_1$,乙容器中抽出深度为 $h_2$ 的酒精,则抽出酒精的质量 $\Delta m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}\Delta V_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}Sh_2=\frac{7}{4}\rho_{\mathrm{酒精}}Sh_1$,
将抽出的液体分别加入对方容器中,最终两容器中液体质量相同,则有 $m_{\mathrm{水}}-\Delta m_{\mathrm{水}}+\Delta m_{\mathrm{酒精}}=m_{\mathrm{酒精}}-\Delta m_{\mathrm{酒精}}+\Delta m_{\mathrm{水}}$,即 $2\Delta m_{\mathrm{酒精}}-2\Delta m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{酒精}}-m_{\mathrm{水}}$,代入数据有 $2 × \frac{7}{4} × 0.8 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.01\ \mathrm{m}^2 × h_1-2 × 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.01\ \mathrm{m}^2 × h_1=2.4\ \mathrm{kg}-2\ \mathrm{kg}$,解得,$h_1=0.05\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知水的密度和体积，直接利用密度公式$m=\rho V$计算甲容器内水的质量。
2. 第(2)问：乙容器为柱形容器，酒精体积等于底面积乘深度，再用密度公式计算酒精质量。
3. 第(3)问：先由$h_1:h_2=4:7$将$h_2$用$h_1$表示；再分别计算抽出的水和酒精的质量，根据最终两容器液体质量相等的条件列等式，代入数据求解$h_1$。
【解析】
(1) 甲容器内水的质量：
根据密度公式$m=\rho V$，代入已知量得：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{kg}$。
(2) 乙容器内酒精的体积：
乙容器为柱形容器，酒精体积$V_{\mathrm{酒精}}=Sh_{\mathrm{酒精}}=0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.3\ \mathrm{m}=0.003\ \mathrm{m}^3$；
酒精质量：
$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.003\ \mathrm{m}^3=2.4\ \mathrm{kg}$。
(3) 由$h_1:h_2=4:7$，得$h_2=\frac{7}{4}h_1$；
抽出的水的质量：$\Delta m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}Sh_1$；
抽出的酒精的质量：$\Delta m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}Sh_2=\rho_{\mathrm{酒精}}S×\frac{7}{4}h_1$；
最终两容器液体质量相等，即：
$m_{\mathrm{水}}-\Delta m_{\mathrm{水}}+\Delta m_{\mathrm{酒精}}=m_{\mathrm{酒精}}-\Delta m_{\mathrm{酒精}}+\Delta m_{\mathrm{水}}$，
整理得：$2\Delta m_{\mathrm{酒精}}-2\Delta m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{酒精}}-m_{\mathrm{水}}$；
代入数据：
$2×0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.01\ \mathrm{m}^2×\frac{7}{4}h_1 - 2×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.01\ \mathrm{m}^2×h_1=2.4\ \mathrm{kg}-2\ \mathrm{kg}$，
计算得：$28h_1 -20h_1=0.4$，解得$h_1=0.05\ \mathrm{m}$。
【答案】
$h_1=0.05\ \mathrm{m}$
【知识点】
密度公式应用、质量计算、液体质量关系
【点评】
本题考查密度公式的综合应用，需理清各物理量间的关系，尤其是第三问中交换液体后质量相等的条件转化，对逻辑分析能力有一定要求，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：已知水的密度和体积，直接利用密度公式$m=\rho V$计算甲容器内水的质量。
2. 第(2)问：乙容器为柱形容器，酒精体积等于底面积乘深度，再用密度公式计算酒精质量。
3. 第(3)问：先由$h_1:h_2=4:7$将$h_2$用$h_1$表示；再分别计算抽出的水和酒精的质量，根据最终两容器液体质量相等的条件列等式，代入数据求解$h_1$。
【解析】
(1) 甲容器内水的质量：
根据密度公式$m=\rho V$，代入已知量得：
$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 2×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{kg}$。
(2) 乙容器内酒精的体积：
乙容器为柱形容器，酒精体积$V_{\mathrm{酒精}}=Sh_{\mathrm{酒精}}=0.01\ \mathrm{m}^2 × 0.3\ \mathrm{m}=0.003\ \mathrm{m}^3$；
酒精质量：
$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.003\ \mathrm{m}^3=2.4\ \mathrm{kg}$。
(3) 由$h_1:h_2=4:7$，得$h_2=\frac{7}{4}h_1$；
抽出的水的质量：$\Delta m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}Sh_1$；
抽出的酒精的质量：$\Delta m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}Sh_2=\rho_{\mathrm{酒精}}S×\frac{7}{4}h_1$；
最终两容器液体质量相等，即：
$m_{\mathrm{水}}-\Delta m_{\mathrm{水}}+\Delta m_{\mathrm{酒精}}=m_{\mathrm{酒精}}-\Delta m_{\mathrm{酒精}}+\Delta m_{\mathrm{水}}$，
整理得：$2\Delta m_{\mathrm{酒精}}-2\Delta m_{\mathrm{水}}=m_{\mathrm{酒精}}-m_{\mathrm{水}}$；
代入数据：
$2×0.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.01\ \mathrm{m}^2×\frac{7}{4}h_1 - 2×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.01\ \mathrm{m}^2×h_1=2.4\ \mathrm{kg}-2\ \mathrm{kg}$，
计算得：$28h_1 -20h_1=0.4$，解得$h_1=0.05\ \mathrm{m}$。
【答案】
$h_1=0.05\ \mathrm{m}$
【知识点】
密度公式应用、质量计算、液体质量关系
【点评】
本题考查密度公式的综合应用，需理清各物理量间的关系，尤其是第三问中交换液体后质量相等的条件转化，对逻辑分析能力有一定要求，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
