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1[2026浙江湖州期中]已知二次函数$y=-x^2+2x+m$的部分图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为（
A.$x=-1$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x=-3$
D.$x_1=-1,x_2=3$
D
）A.$x=-1$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x=-3$
D.$x_1=-1,x_2=3$
答案
【解析】由图象可知,二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象的对称轴为直线$x=1$,与$x$轴的一个交点的坐标为$(3,0)$,$\therefore$ 二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与$x$轴的另一个交点的坐标为$(-1,0)$,$\therefore$ 关于$x$的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为 $x_1 = -1,x_2 = 3$. 故选 D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解，就是对应二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标。解题时先从图象中提取已知信息：函数对称轴为直线$x=1$，与x轴的一个交点为$(3,0)$；再利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，计算出另一个交点的横坐标，最终得到方程的解。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象的对称轴为直线$x=1$，且与x轴的一个交点坐标为$(3,0)$。
因为二次函数图象关于对称轴对称，所以两个x轴交点到对称轴的距离相等。
点$(3,0)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此另一个交点的横坐标为$1-2=-1$，即另一个交点坐标为$(-1,0)$。
所以关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象性质与一元二次方程的结合应用，核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关联，熟练掌握二次函数的对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确：关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解，就是对应二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标。解题时先从图象中提取已知信息：函数对称轴为直线$x=1$，与x轴的一个交点为$(3,0)$；再利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，计算出另一个交点的横坐标，最终得到方程的解。
【解析】
由图象可知，二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象的对称轴为直线$x=1$，且与x轴的一个交点坐标为$(3,0)$。
因为二次函数图象关于对称轴对称，所以两个x轴交点到对称轴的距离相等。
点$(3,0)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此另一个交点的横坐标为$1-2=-1$，即另一个交点坐标为$(-1,0)$。
所以关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象性质与一元二次方程的结合应用，核心是理解二次函数与对应一元二次方程的关联，熟练掌握二次函数的对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2[2025陕西西安一模]已知抛物线$y=ax^2+bx+c$上的部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如表：
以下结论:①该抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线$x=-2$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$-3$;④当$y＜0$时,$x$的取值范围是$x＜-3$或$x＞-1$.其中正确的结论有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
以下结论:①该抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线$x=-2$;③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$-3$;④当$y＜0$时,$x$的取值范围是$x＜-3$或$x＞-1$.其中正确的结论有 (
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
【解析】由表格可知,抛物线的对称轴是直线$x=\frac{-4+0}{2}=-2$,故②正确. 设抛物线表达式为 $y=a(x+2)^2+1$,将$(0,-3)$代入得 $4a+1=-3$,解得 $a=-1$. $\because -1＜0$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的开口向下,故①错误. 由抛物线关于直线 $x=-2$ 对称知,当 $y=0$时,$x=-1$ 或 $x=-3$,故关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为$-1$ 和$-3$,故③正确. 当 $y＜0$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜-3$ 或 $x＞-1$,故④正确. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察表格中纵坐标相等的点，利用二次函数的对称性求出对称轴，再结合对称轴确定顶点坐标，设顶点式求出二次项系数a判断开口方向；接着利用对称性求出y=0时对应的x值，得到一元二次方程的根；最后结合开口方向判断y＜0时x的取值范围，逐个验证4个结论即可。
【解析】
1. 验证对称轴：观察表格可知，当x=-4和x=0时，y的值均为-3，根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-4+0}{2}=-2$，故结论②正确。
2. 判断开口方向：由对称轴为$x=-2$，可知抛物线顶点坐标为$(-2,1)$，设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x+2)^2+1$，将点$(0,-3)$代入解析式得：
$4a+1=-3$，解得$a=-1$。
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，故结论①错误。
3. 求方程的根：根据抛物线关于直线$x=-2$对称，已知$x=-1$时$y=0$，则其关于$x=-2$的对称点横坐标为$2×(-2)-(-1)=-3$，即$x=-3$时$y=0$，因此关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$-3$，故结论③正确。
4. 判断y＜0的x范围：$\because$ 抛物线开口向下，且与x轴交点为$(-3,0)$和$(-1,0)$，$\therefore$ 当$y＜0$时，x的取值范围是$x＜-3$或$x＞-1$，故结论④正确。
综上，正确的结论为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的综合应用，解题的核心是利用表格中的对称点快速确定对称轴，结合二次函数的对称性、开口方向分析函数与方程、不等式的关系，能有效考查对二次函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察表格中纵坐标相等的点，利用二次函数的对称性求出对称轴，再结合对称轴确定顶点坐标，设顶点式求出二次项系数a判断开口方向；接着利用对称性求出y=0时对应的x值，得到一元二次方程的根；最后结合开口方向判断y＜0时x的取值范围，逐个验证4个结论即可。
【解析】
1. 验证对称轴：观察表格可知，当x=-4和x=0时，y的值均为-3，根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-4+0}{2}=-2$，故结论②正确。
2. 判断开口方向：由对称轴为$x=-2$，可知抛物线顶点坐标为$(-2,1)$，设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x+2)^2+1$，将点$(0,-3)$代入解析式得：
$4a+1=-3$，解得$a=-1$。
$\because a=-1＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，故结论①错误。
3. 求方程的根：根据抛物线关于直线$x=-2$对称，已知$x=-1$时$y=0$，则其关于$x=-2$的对称点横坐标为$2×(-2)-(-1)=-3$，即$x=-3$时$y=0$，因此关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的根为$-1$和$-3$，故结论③正确。
4. 判断y＜0的x范围：$\because$ 抛物线开口向下，且与x轴交点为$(-3,0)$和$(-1,0)$，$\therefore$ 当$y＜0$时，x的取值范围是$x＜-3$或$x＞-1$，故结论④正确。
综上，正确的结论为②③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的综合应用，解题的核心是利用表格中的对称点快速确定对称轴，结合二次函数的对称性、开口方向分析函数与方程、不等式的关系，能有效考查对二次函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.65
3[2026 四川南充期末]若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=1,x_2=-1$，则抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点间的距离是
2
。答案
【解析】$\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为$x_1 = 1$,$x_2 = -1$,$\therefore$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$轴的两个交点的坐标为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$ . 两个交点间的距离为 $1-(-1)=2$,故答案为 2.
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的根与对应抛物线和x轴交点横坐标的对应关系：方程的两个根就是抛物线与x轴两个交点的横坐标。要求两个交点间的距离，只需要用较大的横坐标减去较小的横坐标（或求两个根差的绝对值）即可，已知两根分别为1和-1，代入计算就能得到结果。
【解析】
$\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为$x_1 = 1$,$x_2 = -1$,
$\therefore$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$轴的两个交点的坐标为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$ .
两个交点都在x轴上，它们之间的距离为 $1-(-1)=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系 2.数轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该对应关系是解题的关键，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一元二次方程的根与对应抛物线和x轴交点横坐标的对应关系：方程的两个根就是抛物线与x轴两个交点的横坐标。要求两个交点间的距离，只需要用较大的横坐标减去较小的横坐标（或求两个根差的绝对值）即可，已知两根分别为1和-1，代入计算就能得到结果。
【解析】
$\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为$x_1 = 1$,$x_2 = -1$,
$\therefore$ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$轴的两个交点的坐标为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$ .
两个交点都在x轴上，它们之间的距离为 $1-(-1)=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系 2.数轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该对应关系是解题的关键，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
4 将二次函数$y=2x^2 +4x -1$的图象向上平移，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，则平移的距离为
3
个单位长度。答案
【解析】设平移后得到的抛物线的表达式为 $y=2x^2+4x-1+k$. $\because$ 平移后的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,$\therefore$ 对于方程 $2x^2+4x-1+k=0$,$\Delta=16+8-8k=0$,解得 $k=3$,即将二次函数 $y=2x^2+4x-1$ 的图象向上平移 3 个单位长度时,得到的函数图象与 $x$ 轴只有一个公共点. 故答案为 3.
解析
【分析】解题时首先回忆二次函数图象平移的“上加下减”规律：向上平移k个单位时，函数解析式的常数项加k，据此可写出平移后的函数解析式；其次明确抛物线与x轴只有一个公共点的含义：对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0；最后代入各项系数计算判别式，解方程即可求出平移距离k的值。
【解析】设将二次函数图象向上平移k个单位长度，平移后得到的抛物线的表达式为 $y=2x^2+4x-1+k$.
$\because$ 平移后的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,
$\therefore$ 对应的一元二次方程 $2x^2+4x-1+k=0$ 有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$.
代入a=2，b=4，c=-1+k得：
$\Delta=b^2-4ac=4^2 - 4×2×(-1+k)=16+8-8k=0$,
解得 $k=3$.
【答案】3
【知识点】二次函数平移规律；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查二次函数的平移性质及抛物线与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题核心是熟练掌握平移规律和Δ的取值对应的交点情况，是二次函数章节的基础典型考题。
【难度系数】0.7
【解析】设将二次函数图象向上平移k个单位长度，平移后得到的抛物线的表达式为 $y=2x^2+4x-1+k$.
$\because$ 平移后的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,
$\therefore$ 对应的一元二次方程 $2x^2+4x-1+k=0$ 有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$.
代入a=2，b=4，c=-1+k得：
$\Delta=b^2-4ac=4^2 - 4×2×(-1+k)=16+8-8k=0$,
解得 $k=3$.
【答案】3
【知识点】二次函数平移规律；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查二次函数的平移性质及抛物线与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题核心是熟练掌握平移规律和Δ的取值对应的交点情况，是二次函数章节的基础典型考题。
【难度系数】0.7
5 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,0),B(4,0)$ 两点，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a(x-1)^2 + c = b - bx$ 的解是
$x_1=-2,x_2=5$
。答案
【解析】关于 $x$ 的一元二次方程$a(x-1)^2 + c = b - bx$ 可变形为 $a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$. 把抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 沿 $x$ 轴向右平移一个单位长度得到抛物线 $y=a(x-1)^2 + b(x-1) + c$. $\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 经过点 $A(-3,0)$,$B(4,0)$,$\therefore$ 抛物线$y=a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ 与 $x$ 轴的两交点坐标为$(-2,0)$,$(5,0)$,$\therefore$ 一元二次方程 $a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$ 的解为 $x_1=-2,x_2=5$.
另解：对给出的等式变形后,可以将 $x-1$ 当作整体和题目中的二次函数表达式进行对比,所以只需让 $x-1$ 分别等于 $-3$ 和 $4$ 即可求解.
另解：对给出的等式变形后,可以将 $x-1$ 当作整体和题目中的二次函数表达式进行对比,所以只需让 $x-1$ 分别等于 $-3$ 和 $4$ 即可求解.
解析
【分析】
解题核心是将待解的一元二次方程变形为与已知抛物线表达式结构一致的形式。首先对方程移项整理，可发现整理后的式子是将原抛物线解析式中的x替换为(x-1)后函数值为0的情况。可以用两种思路求解：一是整体代换，已知原方程$ax^2+bx+c=0$的根是A、B两点的横坐标，令$x-1$等于原方程的两个根即可求解；二是利用二次函数平移性质，原抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与x轴交点的横坐标就是所求方程的解。
【解析】
先对一元二次方程$a(x-1)^2 + c = b - bx$变形：
移项得$a(x-1)^2 + bx - b + c = 0$，
整理为$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$。
方法1（整体代换）：
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-3,0)$、$B(4,0)$两点，即$x=-3$和$x=4$时$ax^2+bx+c=0$成立。
对比$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$，可得$x-1=-3$或$x-1=4$，
解得$x_1=-2$，$x_2=5$。
方法2（图象平移）：
抛物线$y=a(x-1)^2 + b(x-1) + c$是$y=ax^2+bx+c$沿x轴向右平移1个单位得到的。
原抛物线与x轴交点为$(-3,0)$、$(4,0)$，平移后对应交点为$(-2,0)$、$(5,0)$，即$x=-2$和$x=5$时$a(x-1)^2 + b(x-1) + c=0$，因此方程的解为$x_1=-2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=5$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数图象平移，整体代换
【点评】
本题无需计算二次函数的系数，通过方程变形将未知问题转化为已知问题，灵活运用整体代换或图象平移思路即可快速求解，是二次函数与方程结合类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题核心是将待解的一元二次方程变形为与已知抛物线表达式结构一致的形式。首先对方程移项整理，可发现整理后的式子是将原抛物线解析式中的x替换为(x-1)后函数值为0的情况。可以用两种思路求解：一是整体代换，已知原方程$ax^2+bx+c=0$的根是A、B两点的横坐标，令$x-1$等于原方程的两个根即可求解；二是利用二次函数平移性质，原抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与x轴交点的横坐标就是所求方程的解。
【解析】
先对一元二次方程$a(x-1)^2 + c = b - bx$变形：
移项得$a(x-1)^2 + bx - b + c = 0$，
整理为$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$。
方法1（整体代换）：
已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-3,0)$、$B(4,0)$两点，即$x=-3$和$x=4$时$ax^2+bx+c=0$成立。
对比$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$，可得$x-1=-3$或$x-1=4$，
解得$x_1=-2$，$x_2=5$。
方法2（图象平移）：
抛物线$y=a(x-1)^2 + b(x-1) + c$是$y=ax^2+bx+c$沿x轴向右平移1个单位得到的。
原抛物线与x轴交点为$(-3,0)$、$(4,0)$，平移后对应交点为$(-2,0)$、$(5,0)$，即$x=-2$和$x=5$时$a(x-1)^2 + b(x-1) + c=0$，因此方程的解为$x_1=-2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=5$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数图象平移，整体代换
【点评】
本题无需计算二次函数的系数，通过方程变形将未知问题转化为已知问题，灵活运用整体代换或图象平移思路即可快速求解，是二次函数与方程结合类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
6 已知函数 $y=x^2+(m-3)x+1-2m$（$m$ 为常数）。
(1)求证:不论 $m$ 为何值,该函数的图象与 $x$ 轴总有两个公共点；
(2)不论 $m$ 为何值,该函数的图象都会经过一个定点,求该定点的坐标。
(1)求证:不论 $m$ 为何值,该函数的图象与 $x$ 轴总有两个公共点；
(2)不论 $m$ 为何值,该函数的图象都会经过一个定点,求该定点的坐标。
答案
(1)【证明】对于方程 $x^2+(m-3)x+1-2m=0$,$\Delta=(m-3)^2-4(1-2m)=m^2+2m+5=(m+1)^2+4＞0$,所以方程有两个不相等的实数根,所以不论 $m$ 为何值,该函数的图象与 $x$ 轴总有两个公共点.
(2)【解】$y=x^2+(m-3)x+1-2m=(x-2)m+x^2-3x+1$. 因为不论 $m$ 为何值,该函数的图象都会经过一个定点,所以 $x-2=0$,解得 $x=2$. 当 $x=2$ 时,$y=-1$,所以该函数图象始终经过定点$(2,-1)$.
(2)【解】$y=x^2+(m-3)x+1-2m=(x-2)m+x^2-3x+1$. 因为不论 $m$ 为何值,该函数的图象都会经过一个定点,所以 $x-2=0$,解得 $x=2$. 当 $x=2$ 时,$y=-1$,所以该函数图象始终经过定点$(2,-1)$.
解析
【分析】
（1）要证明二次函数图象与x轴总有两个公共点，可转化为证明该函数对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需计算根的判别式Δ，通过配方判断Δ恒大于0即可。
（2）函数图象过定点说明该点坐标不受参数m的取值影响，因此可将函数表达式整理为关于m的代数式，令m的系数为0消去m的影响，先求出定点的横坐标，再代入求纵坐标即可得到定点坐标。
【解析】
(1) 证明：对于二次函数对应的一元二次方程 $x^2+(m-3)x+1-2m=0$，
根的判别式 $\Delta=(m-3)^2-4(1-2m)$，
展开化简得：$\Delta=m^2-6m+9-4+8m=m^2+2m+5$，
配方可得：$\Delta=(m+1)^2+4$，
∵ 无论m取何值，$(m+1)^2≥0$，
∴ $(m+1)^2+4≥4＞0$，即Δ恒大于0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根，因此不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点。
(2) 解：将函数表达式整理为含参数m的形式：
$y=x^2+(m-3)x+1-2m=(x-2)m+x^2-3x+1$，
∵ 不论m为何值，函数图象过定点，即y的取值与m无关，
∴ m的系数为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，
将$x=2$代入函数表达式得：$y=2^2+(m-3)×2+1-2m=4+2m-6+1-2m=-1$，
因此该定点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 定点坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式，二次函数定点问题
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查的方法具有典型性，用判别式判断抛物线与x轴交点个数、分离参数消去参数影响求定点都是该部分的常考方法，掌握通用解题思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明二次函数图象与x轴总有两个公共点，可转化为证明该函数对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需计算根的判别式Δ，通过配方判断Δ恒大于0即可。
（2）函数图象过定点说明该点坐标不受参数m的取值影响，因此可将函数表达式整理为关于m的代数式，令m的系数为0消去m的影响，先求出定点的横坐标，再代入求纵坐标即可得到定点坐标。
【解析】
(1) 证明：对于二次函数对应的一元二次方程 $x^2+(m-3)x+1-2m=0$，
根的判别式 $\Delta=(m-3)^2-4(1-2m)$，
展开化简得：$\Delta=m^2-6m+9-4+8m=m^2+2m+5$，
配方可得：$\Delta=(m+1)^2+4$，
∵ 无论m取何值，$(m+1)^2≥0$，
∴ $(m+1)^2+4≥4＞0$，即Δ恒大于0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根，因此不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点。
(2) 解：将函数表达式整理为含参数m的形式：
$y=x^2+(m-3)x+1-2m=(x-2)m+x^2-3x+1$，
∵ 不论m为何值，函数图象过定点，即y的取值与m无关，
∴ m的系数为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，
将$x=2$代入函数表达式得：$y=2^2+(m-3)×2+1-2m=4+2m-6+1-2m=-1$，
因此该定点坐标为$(2,-1)$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 定点坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式，二次函数定点问题
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查的方法具有典型性，用判别式判断抛物线与x轴交点个数、分离参数消去参数影响求定点都是该部分的常考方法，掌握通用解题思路即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7[2026广西南宁期中]二次函数$y=x^2+3x-5$的自变量$x$与函数值$y$的几组对应值如表，那么方程$x^2+3x-5=0$的一个根的取值范围是（
A.$1＜x＜1.1$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1.2＜x＜1.3$
D.$1.3＜x＜1.4$
B
）A.$1＜x＜1.1$
B.$1.1＜x＜1.2$
C.$1.2＜x＜1.3$
D.$1.3＜x＜1.4$
答案
【解析】由题中表格可以看出,$y=0$ 对应的 $x$ 值在 1.1 与 1.2 之间,$\therefore$ 方程 $x^2+3x-5=0$ 的一个根的取值范围为 $1.1＜x＜1.2$. 故选 B.
解析
【分析】
要确定方程$x^2+3x-5=0$的根的取值范围，首先明确：一元二次方程的根就是对应二次函数$y=x^2+3x-5$中$y=0$时的自变量$x$的值。由于二次函数的图象是连续的曲线，若两个相邻的$x$值对应的$y$值一正一负，说明在这两个$x$之间函数图象必然穿过$x$轴（即$y=0$），对应就是方程的根所在区间。接下来只需观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$x^2+3x-5=0$的根是二次函数$y=x^2+3x-5$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.1$时，$y=-0.49＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.04＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以$y=0$对应的$x$值在$1.1$与$1.2$之间，即方程$x^2+3x-5=0$的一个根的取值范围为$1.1＜x＜1.2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题核心是利用二次函数的函数值变化判断对应一元二次方程根的区间，解题关键是理解方程的根与函数$y=0$时自变量取值的对应关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定方程$x^2+3x-5=0$的根的取值范围，首先明确：一元二次方程的根就是对应二次函数$y=x^2+3x-5$中$y=0$时的自变量$x$的值。由于二次函数的图象是连续的曲线，若两个相邻的$x$值对应的$y$值一正一负，说明在这两个$x$之间函数图象必然穿过$x$轴（即$y=0$），对应就是方程的根所在区间。接下来只需观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$x^2+3x-5=0$的根是二次函数$y=x^2+3x-5$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.1$时，$y=-0.49＜0$；
当$x=1.2$时，$y=0.04＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以$y=0$对应的$x$值在$1.1$与$1.2$之间，即方程$x^2+3x-5=0$的一个根的取值范围为$1.1＜x＜1.2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题核心是利用二次函数的函数值变化判断对应一元二次方程根的区间，解题关键是理解方程的根与函数$y=0$时自变量取值的对应关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
8[2025北京西城区调研]已知二次函数$y=-x^2 -2x+2$。
(1)填表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)结合函数图象,直接写出方程$-x^2 -2x+2=0$的近似解(精确到0.1).
(1)填表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)结合函数图象,直接写出方程$-x^2 -2x+2=0$的近似解(精确到0.1).
答案
(1)【解】当 $x=-3$ 时,$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-1$;当 $x=-2$ 时,$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=2$;当 $x=-1$ 时,$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=3$;当 $x=0$ 时,$y=-0^2-2×0+2=2$;当 $x=1$ 时,$y=-1^2-2×1+2=-1$. 填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$| $\dots$ |
如图所示.
(2)$x_1\approx0.7$,$x_2\approx-2.7$.
解析
【分析】
(1) 第一问需先把表格中给出的x值依次代入二次函数解析式计算对应y值，计算时注意负号的运算规则，填完表格后根据表格中的坐标点在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接各点即可得到二次函数的图象；(2) 第二问需明确一元二次方程$-x^2 -2x+2=0$的解对应二次函数$y=-x^2 -2x+2$图象与x轴交点的横坐标，因此只需观察图象与x轴交点的位置，估算横坐标的近似值，精确到0.1即可。
【解析】
(1) 分别将$x=-3、-2、-1、0、1$代入$y=-x^2 -2x+2$计算：
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-9+6+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=-4+4+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=-1+2+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1-2+2=-1$。
将计算结果填入表格，再在坐标系中描出$(-3,-1)、(-2,2)、(-1,3)、(0,2)、(1,-1)$这几个点，用平滑的抛物线连接各点即可得到二次函数图象。
(2) 观察函数图象，图象与x轴有两个交点：左侧交点在$x=-3$和$x=-2$之间，近似为$x\approx-2.7$；右侧交点在$x=0$和$x=1$之间，近似为$x\approx0.7$，这两个值就是方程的近似解。
【答案】
(1) 填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$| $\dots$ |
函数图象如图所示.
(2)$x_1\approx0.7$,$x_2\approx-2.7$
【知识点】
二次函数求值；二次函数图象绘制；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既考察了基础的代数运算能力，也考察了数形结合思想的应用，要求学生掌握二次函数的基本性质，能够通过函数图象读取对应方程的解的信息，计算过程中要注意符号处理，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问需先把表格中给出的x值依次代入二次函数解析式计算对应y值，计算时注意负号的运算规则，填完表格后根据表格中的坐标点在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接各点即可得到二次函数的图象；(2) 第二问需明确一元二次方程$-x^2 -2x+2=0$的解对应二次函数$y=-x^2 -2x+2$图象与x轴交点的横坐标，因此只需观察图象与x轴交点的位置，估算横坐标的近似值，精确到0.1即可。
【解析】
(1) 分别将$x=-3、-2、-1、0、1$代入$y=-x^2 -2x+2$计算：
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-9+6+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=-4+4+2=2$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+2=-1+2+2=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1-2+2=-1$。
将计算结果填入表格，再在坐标系中描出$(-3,-1)、(-2,2)、(-1,3)、(0,2)、(1,-1)$这几个点，用平滑的抛物线连接各点即可得到二次函数图象。
(2) 观察函数图象，图象与x轴有两个交点：左侧交点在$x=-3$和$x=-2$之间，近似为$x\approx-2.7$；右侧交点在$x=0$和$x=1$之间，近似为$x\approx0.7$，这两个值就是方程的近似解。
【答案】
(1) 填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $2$ | $3$ | $2$ | $-1$| $\dots$ |
函数图象如图所示.
(2)$x_1\approx0.7$,$x_2\approx-2.7$
【知识点】
二次函数求值；二次函数图象绘制；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既考察了基础的代数运算能力，也考察了数形结合思想的应用，要求学生掌握二次函数的基本性质，能够通过函数图象读取对应方程的解的信息，计算过程中要注意符号处理，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
