登录
1[2025陕西西安校级三模,中]二次函数$y=x^2+bx+3$的图象过点$A(2,3)$，若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx=t-4$（$t$为实数）在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是（
A.$6＜t＜11$
B.$2≤t＜11$
C.$3≤t＜12$
D.$3≤t＜7$
C
）A.$6＜t＜11$
B.$2≤t＜11$
C.$3≤t＜12$
D.$3≤t＜7$
答案
【解析】将 $A(2,3)$ 代入二次函数 $y=x^2+bx+3$,得$4+2b+3=3$,$\therefore b=-2$,$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$. $\because$ 方程 $x^2+bx=t-4$ 在 $-1＜x＜4$的范围内有实数根,$\therefore$ 二次函数 $y=x^2+bx+3$ 与函数$y=t-1$ 的图象在 $-1＜x＜4$ 时有交点. 在二次函数 $y=x^2-2x+3$ 中,当 $x=-1$ 时,$y=6$; 当 $x=4$ 时,$y=11$; 当$x=1$ 时,$y=2$,$\therefore 2≤ t-1＜11$,$\therefore 3≤ t＜12$. 故选 C.
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，已知二次函数图象过点A，将点A坐标代入二次函数解析式即可求出未知参数b，得到完整的二次函数表达式；第二步，将一元二次方程在指定区间有实根的问题，转化为两个函数图象在$-1＜x＜4$范围内有交点的问题，对方程变形可得等价关系：二次函数$y=x^2+bx+3$与直线$y=t-1$在该区间有交点；第三步，求出二次函数在$-1＜x＜4$内的函数值取值范围，即可得到$t-1$的取值范围，进一步解不等式得到t的范围。
【解析】
1. 求参数b：将$A(2,3)$代入二次函数$y=x^2+bx+3$，得$4+2b+3=3$，解得$b=-2$，因此二次函数的表达式为$y=x^2-2x+3$，化为顶点式为$y=(x-1)^2+2$。
2. 转化方程：已知方程$x^2+bx=t-4$在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，将方程变形可得$x^2-2x+3 = t-1$，即二次函数$y=x^2-2x+3$与函数$y=t-1$的图象在$-1＜x＜4$范围内有交点。
3. 求二次函数在区间内的取值范围：
二次函数开口向上，顶点在$x=1$处，此时$y$取最小值，代入得$y_{\mathrm{min}}=(1-1)^2+2=2$；
当$x=-1$时，$y=(-1-1)^2+2=6$；
当$x=4$时，$y=(4-1)^2+2=11$；
因此在$-1＜x＜4$范围内，二次函数的函数值范围为$2≤ y＜11$。
4. 求t的范围：由$2≤ t-1＜11$，不等式各边加1，解得$3≤ t＜12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数区间最值
【点评】
本题将方程解的问题转化为函数图象交点问题，考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数和一元二次方程的转化逻辑，求解区间最值时要注意开口方向、顶点位置与区间的关系，同时注意区间端点是否包含在内。
【难度系数】
0.6
解题可按三步思考：第一步，已知二次函数图象过点A，将点A坐标代入二次函数解析式即可求出未知参数b，得到完整的二次函数表达式；第二步，将一元二次方程在指定区间有实根的问题，转化为两个函数图象在$-1＜x＜4$范围内有交点的问题，对方程变形可得等价关系：二次函数$y=x^2+bx+3$与直线$y=t-1$在该区间有交点；第三步，求出二次函数在$-1＜x＜4$内的函数值取值范围，即可得到$t-1$的取值范围，进一步解不等式得到t的范围。
【解析】
1. 求参数b：将$A(2,3)$代入二次函数$y=x^2+bx+3$，得$4+2b+3=3$，解得$b=-2$，因此二次函数的表达式为$y=x^2-2x+3$，化为顶点式为$y=(x-1)^2+2$。
2. 转化方程：已知方程$x^2+bx=t-4$在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，将方程变形可得$x^2-2x+3 = t-1$，即二次函数$y=x^2-2x+3$与函数$y=t-1$的图象在$-1＜x＜4$范围内有交点。
3. 求二次函数在区间内的取值范围：
二次函数开口向上，顶点在$x=1$处，此时$y$取最小值，代入得$y_{\mathrm{min}}=(1-1)^2+2=2$；
当$x=-1$时，$y=(-1-1)^2+2=6$；
当$x=4$时，$y=(4-1)^2+2=11$；
因此在$-1＜x＜4$范围内，二次函数的函数值范围为$2≤ y＜11$。
4. 求t的范围：由$2≤ t-1＜11$，不等式各边加1，解得$3≤ t＜12$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数区间最值
【点评】
本题将方程解的问题转化为函数图象交点问题，考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数和一元二次方程的转化逻辑，求解区间最值时要注意开口方向、顶点位置与区间的关系，同时注意区间端点是否包含在内。
【难度系数】
0.6
2[2025 辽宁大连质检,中]已知二次函数$y=x^2+2(m-2)x -m +2$的图象与$x$轴最多有一个公共点，若$y=m^2 -2tm -3$的最小值为3，则$t$的值为（
A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$或$-\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{5}{2}$或$-\dfrac{3}{2}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
D
）A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$或$-\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{5}{2}$或$-\dfrac{3}{2}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
答案
关键点拨：由题意得 $\Delta=[2(m-2)]^2-4(2-m)≤0$,求得 $1≤ m≤2$,再分类讨论求解即可.
【解析】由题意得一元二次方程 $x^2+2(m-2)x-m+2=0$ 有两个相等的实数根或无实数根,$\therefore \Delta=[2(m-2)]^2-4(2-m)≤0$,解得 $1≤ m≤2$. 抛物线$y=m^2-2tm-3$ 的对称轴为直线 $m=-\frac{-2t}{2}=t$. 当 $t≥2$时,则 $m=2$ 时,$y$ 取得最小值,即 $4-4t-3=3$,解得$t=-\frac{1}{2}$(舍去); 当 $t≤1$ 时,则 $m=1$ 时,$y$ 取得最小值,即 $1-2t-3=3$,解得 $t=-\frac{5}{2}$; 当 $1＜t＜2$ 时,当 $m=t$时,$y$ 取得最小值,即 $t^2-2t^2-3=3$,方程无实数根.故选 D.
【解析】由题意得一元二次方程 $x^2+2(m-2)x-m+2=0$ 有两个相等的实数根或无实数根,$\therefore \Delta=[2(m-2)]^2-4(2-m)≤0$,解得 $1≤ m≤2$. 抛物线$y=m^2-2tm-3$ 的对称轴为直线 $m=-\frac{-2t}{2}=t$. 当 $t≥2$时,则 $m=2$ 时,$y$ 取得最小值,即 $4-4t-3=3$,解得$t=-\frac{1}{2}$(舍去); 当 $t≤1$ 时,则 $m=1$ 时,$y$ 取得最小值,即 $1-2t-3=3$,解得 $t=-\frac{5}{2}$; 当 $1＜t＜2$ 时,当 $m=t$时,$y$ 取得最小值,即 $t^2-2t^2-3=3$,方程无实数根.故选 D.
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步，根据二次函数图象与x轴最多有一个公共点的条件，可知对应一元二次方程的判别式Δ≤0，先求解得到m的取值范围；第二步，分析y=m²-2tm-3的函数性质，这是开口向上的关于m的二次函数，在定区间上求最小值需要结合对称轴与区间的位置关系分类讨论，每类求出的t值要验证是否符合对应分类的前提，最终得到符合要求的解。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2+2(m-2)x -m +2$的图象与x轴最多有一个公共点，
∴对应一元二次方程$x^2+2(m-2)x -m +2=0$有两个相等实数根或无实数根，
∴判别式$\Delta=[2(m-2)]^2 - 4×1×(-m+2) ≤ 0$，
整理得$4(m-2)^2 +4(m-2) ≤0$，化简为$(m-2)(m-1) ≤0$，
解得$1 ≤ m ≤ 2$。
函数$y=m^2 -2tm -3$是开口向上的二次函数，对称轴为直线$m = t$，分三种情况讨论：
1. 当$t ≥ 2$时，函数在$1≤m≤2$上单调递减，$m=2$时y取最小值，代入得$4 -4t -3 = 3$，解得$t=-\frac{1}{2}$，不符合$t≥2$，舍去；
2. 当$t ≤ 1$时，函数在$1≤m≤2$上单调递增，$m=1$时y取最小值，代入得$1 -2t -3 = 3$，解得$t=-\frac{5}{2}$，符合$t≤1$，保留；
3. 当$1 ＜ t ＜ 2$时，函数在顶点$m=t$处取最小值，代入得$t^2 - 2t^2 -3 = 3$，即$t^2=-6$，无实数解。
综上，t的值为$-\frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数判别式应用、二次函数区间最值、分类讨论
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题的关键是先根据题意求出m的取值范围，再结合对称轴与取值区间的位置关系分类讨论求解，同时要注意检验所求参数是否符合对应分类的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.5
解题思路分两步：第一步，根据二次函数图象与x轴最多有一个公共点的条件，可知对应一元二次方程的判别式Δ≤0，先求解得到m的取值范围；第二步，分析y=m²-2tm-3的函数性质，这是开口向上的关于m的二次函数，在定区间上求最小值需要结合对称轴与区间的位置关系分类讨论，每类求出的t值要验证是否符合对应分类的前提，最终得到符合要求的解。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2+2(m-2)x -m +2$的图象与x轴最多有一个公共点，
∴对应一元二次方程$x^2+2(m-2)x -m +2=0$有两个相等实数根或无实数根，
∴判别式$\Delta=[2(m-2)]^2 - 4×1×(-m+2) ≤ 0$，
整理得$4(m-2)^2 +4(m-2) ≤0$，化简为$(m-2)(m-1) ≤0$，
解得$1 ≤ m ≤ 2$。
函数$y=m^2 -2tm -3$是开口向上的二次函数，对称轴为直线$m = t$，分三种情况讨论：
1. 当$t ≥ 2$时，函数在$1≤m≤2$上单调递减，$m=2$时y取最小值，代入得$4 -4t -3 = 3$，解得$t=-\frac{1}{2}$，不符合$t≥2$，舍去；
2. 当$t ≤ 1$时，函数在$1≤m≤2$上单调递增，$m=1$时y取最小值，代入得$1 -2t -3 = 3$，解得$t=-\frac{5}{2}$，符合$t≤1$，保留；
3. 当$1 ＜ t ＜ 2$时，函数在顶点$m=t$处取最小值，代入得$t^2 - 2t^2 -3 = 3$，即$t^2=-6$，无实数解。
综上，t的值为$-\frac{5}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数判别式应用、二次函数区间最值、分类讨论
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，解题的关键是先根据题意求出m的取值范围，再结合对称轴与取值区间的位置关系分类讨论求解，同时要注意检验所求参数是否符合对应分类的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.5
3[2026江苏苏州质检,中]二次函数$y_1 = ax^2 + bx + c$的部分图象如图所示,对称轴为直线$x = -1$,直线$y_2 = kx + c$与抛物线都经过点$(-3,0)$.下列说法:①$ab＞0$;②$4a+c＞0$;③关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-3,x_2=1$;④不等式$ax^2 + bx + c ＞ kx + c$的解集是$-3＜x＜0$;⑤当$x=1$时,二次函数$y=ax^2+(b-k)x$有最大值.其中正确的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
【解析】①$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$. $\because$ 抛物线开口向下,$\therefore a＜0$,$\therefore b＜0$,$\therefore ab＞0$,故①正确. ②$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-3,0)$,$\therefore 9a-3b+c=0$,$\therefore 9a-3×2a+c=0$,$\therefore 3a+c=0$,$\therefore 4a+c=a＜0$,故②不正确. ③$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-3,0)$,对称轴为直线 $x=-1$,且点$(-3,0)$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点为 $(1,0)$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为$-3,1$,$\therefore$ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1=-3$,$x_2=1$,故③正确. ④由图象可知不等式 $ax^2+bx+c＞kx+c$ 的解集是$-3＜x＜0$,故④正确. ⑤直线 $y=kx+c$ 经过点$(-3,0)$,$\therefore -3k+c=0$,$\therefore c=3k$. $\because 3a+c=0$,$\therefore c=-3a$,$\therefore 3k=-3a$,$\therefore k=-a$,$\therefore y=ax^2+(b-k)x=ax^2+(2a+a)x=ax^2+3ax=a(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a$. $\because a＜0$,$\therefore$ 当$x=-\frac{3}{2}$ 时,函数 $y=ax^2+(b-k)x$ 有最大值,故⑤不正确. 综上所述,正确的说法有 3 个. 故选 C.
解析
【分析】
解题时先从图像和已知条件提取核心信息：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，抛物线与直线都经过点(-3,0)且交于y轴同一点。首先结合对称轴公式推导b与a的数量关系，结合a的符号判断代数式符号；再利用抛物线的对称性确定其与x轴的另一个交点，对应得到一元二次方程的两根；判断不等式解集时，直接观察图像中抛物线位于直线上方对应的x的取值范围；判断二次函数最值时，先化简函数表达式，结合开口方向求出对称轴即可判断。我们逐一验证5个说法的正误，就能得到正确结论的个数。
【解析】
①$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$. $\because$ 抛物线开口向下,$\therefore a＜0$,$\therefore b＜0$,$\therefore ab＞0$,故①正确.
②$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-3,0)$,$\therefore 9a-3b+c=0$,$\therefore 9a-3×2a+c=0$,$\therefore 3a+c=0$,$\therefore 4a+c=a＜0$,故②不正确.
③$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-3,0)$,对称轴为直线 $x=-1$,且点$(-3,0)$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点为 $(1,0)$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为$-3,1$,$\therefore$ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1=-3$,$x_2=1$,故③正确.
④由图象可知不等式 $ax^2+bx+c＞kx+c$ 的解集是$-3＜x＜0$,故④正确.
⑤直线 $y=kx+c$ 经过点$(-3,0)$,$\therefore -3k+c=0$,$\therefore c=3k$. $\because 3a+c=0$,$\therefore c=-3a$,$\therefore 3k=-3a$,$\therefore k=-a$,$\therefore y=ax^2+(b-k)x=ax^2+(2a+a)x=ax^2+3ax=a(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a$. $\because a＜0$,$\therefore$ 当$x=-\frac{3}{2}$ 时,函数 $y=ax^2+(b-k)x$ 有最大值,故⑤不正确.
综上所述,正确的说法有 3 个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质
二次函数与一元二次方程的关系
函数与不等式的联系
【点评】
本题综合考查二次函数相关知识点，需要结合图像信息和代数推导逐一验证结论，对数形结合能力和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从图像和已知条件提取核心信息：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，抛物线与直线都经过点(-3,0)且交于y轴同一点。首先结合对称轴公式推导b与a的数量关系，结合a的符号判断代数式符号；再利用抛物线的对称性确定其与x轴的另一个交点，对应得到一元二次方程的两根；判断不等式解集时，直接观察图像中抛物线位于直线上方对应的x的取值范围；判断二次函数最值时，先化简函数表达式，结合开口方向求出对称轴即可判断。我们逐一验证5个说法的正误，就能得到正确结论的个数。
【解析】
①$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$. $\because$ 抛物线开口向下,$\therefore a＜0$,$\therefore b＜0$,$\therefore ab＞0$,故①正确.
②$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-3,0)$,$\therefore 9a-3b+c=0$,$\therefore 9a-3×2a+c=0$,$\therefore 3a+c=0$,$\therefore 4a+c=a＜0$,故②不正确.
③$\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-3,0)$,对称轴为直线 $x=-1$,且点$(-3,0)$ 关于直线 $x=-1$ 对称的点为 $(1,0)$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为$-3,1$,$\therefore$ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1=-3$,$x_2=1$,故③正确.
④由图象可知不等式 $ax^2+bx+c＞kx+c$ 的解集是$-3＜x＜0$,故④正确.
⑤直线 $y=kx+c$ 经过点$(-3,0)$,$\therefore -3k+c=0$,$\therefore c=3k$. $\because 3a+c=0$,$\therefore c=-3a$,$\therefore 3k=-3a$,$\therefore k=-a$,$\therefore y=ax^2+(b-k)x=ax^2+(2a+a)x=ax^2+3ax=a(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a$. $\because a＜0$,$\therefore$ 当$x=-\frac{3}{2}$ 时,函数 $y=ax^2+(b-k)x$ 有最大值,故⑤不正确.
综上所述,正确的说法有 3 个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质
二次函数与一元二次方程的关系
函数与不等式的联系
【点评】
本题综合考查二次函数相关知识点，需要结合图像信息和代数推导逐一验证结论，对数形结合能力和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.6
4[2025 河南漯河期末,中]抛物线$y=ax^2 -4x +2$的顶点坐标为$(2,n)$.若抛物线$y=ax^2 -4x +2$向下平移$m(m＞0)$个单位长度后,在$-1＜x＜4$范围内与$x$轴只有一个交点,则$a=$
1
,$m$的取值范围是$2≤ m＜7$
.答案
【解析】抛物线$y=ax^2-4x+2$ 的对称轴是直线$x=-\frac{-4}{2a}=\frac{2}{a}$. $\because$ 抛物线 $y=ax^2-4x+2$ 的顶点坐标为 $(2,n)$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2-4x+2$ 的对称轴是直线 $x=2$,$\therefore \frac{2}{a}=2$,$\therefore a=1$,$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-4x+2$,平移后抛物线表达式为 $y=x^2-4x+2-m$. 如图,由题意得,直线$x=-1$ 与平移后的抛物线交点在 $x$ 轴上方,直线 $x=4$ 与平移后的抛物线交点在 $x$ 轴上或 $x$ 轴下方,即$\begin{cases}1+4+2-m＞0,\\16-16+2-m≤0,\end{cases}$ 解得 $2≤ m＜7$. 故答案为 $1$,$2≤ m＜7$.
解析
【分析】
解题时先利用二次函数对称轴与顶点横坐标的关系求a的值：二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，本题顶点横坐标为2，即对称轴为$x=2$，代入公式即可求出a。得到a后写出原抛物线解析式，根据“上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式。接下来结合抛物线图象分析交点条件：抛物线开口向上，对称轴$x=2$在区间$-1＜x＜4$内，要使区间内只有一个交点，需保证左交点在$x≤-1$的区域，右交点在$2＜x≤4$的区域，因此$x=-1$处函数值大于0，$x=4$处函数值小于等于0，解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先求a的值：
抛物线$y=ax^2-4x+2$的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2a}=\frac{2}{a}$，
已知抛物线顶点坐标为$(2,n)$，即对称轴为直线$x=2$，
因此$\frac{2}{a}=2$，解得$a=1$。
则原抛物线的表达式为$y=x^2-4x+2$，
向下平移$m(m＞0)$个单位后，抛物线表达式为$y=x^2-4x+2-m$。
要使平移后的抛物线在$-1＜x＜4$范围内与x轴只有一个交点，结合函数图象可得：
$x=-1$处的函数值大于0，$x=4$处的函数值小于等于0，列不等式组：
$\begin{cases}(-1)^2 -4×(-1)+2-m＞0 \\4^2 -4×4+2-m≤0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}7-m＞0 \\2-m≤0\end{cases}$
解得$2≤ m＜7$。
【答案】
$1$；$2≤ m＜7$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象的平移；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的综合题，解题核心是熟练掌握二次函数的对称轴公式、平移规律，同时要结合函数图象分析区间内交点的情况，注意开区间端点不包含的细节，避免取值范围漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用二次函数对称轴与顶点横坐标的关系求a的值：二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，本题顶点横坐标为2，即对称轴为$x=2$，代入公式即可求出a。得到a后写出原抛物线解析式，根据“上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式。接下来结合抛物线图象分析交点条件：抛物线开口向上，对称轴$x=2$在区间$-1＜x＜4$内，要使区间内只有一个交点，需保证左交点在$x≤-1$的区域，右交点在$2＜x≤4$的区域，因此$x=-1$处函数值大于0，$x=4$处函数值小于等于0，解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
首先求a的值：
抛物线$y=ax^2-4x+2$的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2a}=\frac{2}{a}$，
已知抛物线顶点坐标为$(2,n)$，即对称轴为直线$x=2$，
因此$\frac{2}{a}=2$，解得$a=1$。
则原抛物线的表达式为$y=x^2-4x+2$，
向下平移$m(m＞0)$个单位后，抛物线表达式为$y=x^2-4x+2-m$。
要使平移后的抛物线在$-1＜x＜4$范围内与x轴只有一个交点，结合函数图象可得：
$x=-1$处的函数值大于0，$x=4$处的函数值小于等于0，列不等式组：
$\begin{cases}(-1)^2 -4×(-1)+2-m＞0 \\4^2 -4×4+2-m≤0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}7-m＞0 \\2-m≤0\end{cases}$
解得$2≤ m＜7$。
【答案】
$1$；$2≤ m＜7$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象的平移；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的综合题，解题核心是熟练掌握二次函数的对称轴公式、平移规律，同时要结合函数图象分析区间内交点的情况，注意开区间端点不包含的细节，避免取值范围漏解或多解。
【难度系数】
0.6
5[较难]已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点为$(2,0)$，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有整数根，则$p$的值有
3
个.答案
【解析】$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c(a＜0)$ 的对称轴为直线 $x=-1$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$. 又 $\because$ 抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $(2,0)$,把 $(2,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$,得 $0=4a+4a+c$,$\therefore c=-8a$,$\therefore y=ax^2+2ax-8a\ (a＜0)$, 则函数的最大值为$\frac{4a·(-8a)-4a^2}{4a}=-9a$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(-1,-9a)$. 令 $ax^2+2ax-8a=0$,即$x^2+2x-8=0$, 解得 $x=-4$ 或$x=2$,$\therefore$ 当 $a＜0$ 时,抛物线始终与 $x$ 轴交于 $(-4,0)$,$(2,0)$. 如图所示, 当 $ax^2+bx+c=p(p＞0)$ 有实数根时,$0＜p≤-9a$,$-4＜x＜2$,其中 $x$ 为整数时,$x=-3,-2,-1,0,1$,$\therefore$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=p(p＞0)$ 的整数根有 5个. 由抛物线的对称性可知 $x=-3$ 与 $x=1$ 时的函数值相等,$x=-2$ 与 $x=0$ 时的函数值相等,当 $x=-1$ 时,直线 $y=p$ 恰好过抛物线顶点,$\therefore p$ 的值有 3 个.故答案为 3.
解析
【分析】
解题时首先利用抛物线的对称轴公式推导b与a的关系，再代入抛物线与x轴的交点坐标推导c与a的关系，将抛物线解析式用仅含参数a的形式表示；接着求出抛物线与x轴的两个交点、顶点纵坐标（即函数最大值）；再结合图像判断方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有解时x的整数取值范围，最后利用抛物线的对称性，统计不同整数x对应的p值的不同个数即可。
【解析】
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c(a＜0)$ 的对称轴为直线 $x=-1$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$，解得 $b=2a$。
又 $\because$ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(2,0)$，把 $(2,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$得：
$0=4a+2b+c$，将$b=2a$代入得$0=4a+4a+c$，$\therefore c=-8a$，
$\therefore$ 抛物线解析式为 $y=ax^2+2ax-8a\ (a＜0)$。
函数的最大值为顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a·(-8a)-(2a)^2}{4a}=-9a$，即顶点坐标为 $(-1,-9a)$。
令 $y=0$，即$ax^2+2ax-8a=0$，两边除以$a(a\ne0)$得$x^2+2x-8=0$，
解得 $x=-4$ 或$x=2$，即抛物线与x轴交于$(-4,0)$和$(2,0)$。
关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有实数根时，对应抛物线在x轴上方的部分，此时$0＜p≤-9a$，x的取值范围是$-4＜x＜2$。
其中x为整数时，x可取$-3,-2,-1,0,1$，共5个整数值。
由抛物线的对称性可知：$x=-3$和$x=1$对应的函数值相等，$x=-2$和$x=0$对应的函数值相等，$x=-1$对应顶点的函数值（即最大值），因此对应的不同p值共有3个。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合应用题，解题过程中需要用到数形结合思想，易错点是统计p值时忽略抛物线对称性导致重复计数，掌握二次函数的图像性质是解题的核心。
【难度系数】
0.3
解题时首先利用抛物线的对称轴公式推导b与a的关系，再代入抛物线与x轴的交点坐标推导c与a的关系，将抛物线解析式用仅含参数a的形式表示；接着求出抛物线与x轴的两个交点、顶点纵坐标（即函数最大值）；再结合图像判断方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有解时x的整数取值范围，最后利用抛物线的对称性，统计不同整数x对应的p值的不同个数即可。
【解析】
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c(a＜0)$ 的对称轴为直线 $x=-1$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$，解得 $b=2a$。
又 $\because$ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(2,0)$，把 $(2,0)$ 代入 $y=ax^2+bx+c$得：
$0=4a+2b+c$，将$b=2a$代入得$0=4a+4a+c$，$\therefore c=-8a$，
$\therefore$ 抛物线解析式为 $y=ax^2+2ax-8a\ (a＜0)$。
函数的最大值为顶点纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a·(-8a)-(2a)^2}{4a}=-9a$，即顶点坐标为 $(-1,-9a)$。
令 $y=0$，即$ax^2+2ax-8a=0$，两边除以$a(a\ne0)$得$x^2+2x-8=0$，
解得 $x=-4$ 或$x=2$，即抛物线与x轴交于$(-4,0)$和$(2,0)$。
关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有实数根时，对应抛物线在x轴上方的部分，此时$0＜p≤-9a$，x的取值范围是$-4＜x＜2$。
其中x为整数时，x可取$-3,-2,-1,0,1$，共5个整数值。
由抛物线的对称性可知：$x=-3$和$x=1$对应的函数值相等，$x=-2$和$x=0$对应的函数值相等，$x=-1$对应顶点的函数值（即最大值），因此对应的不同p值共有3个。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，抛物线对称性
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合应用题，解题过程中需要用到数形结合思想，易错点是统计p值时忽略抛物线对称性导致重复计数，掌握二次函数的图像性质是解题的核心。
【难度系数】
0.3
6[较难]已知抛物线$y=(x-1)^2 -4$的图象如图(1)所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图(2)，当直线$y=x+b$与新图象恰有三个公共点时，b的值为
刷素养 走向重高
$1$或$\dfrac{13}{4}$
。刷素养 走向重高
答案
关键点拨：分两种情况讨论:当抛物线在 $x$ 轴的上方(包含顶点在$x$ 轴上)时; 当抛物线经过第一、二、四象限时,分别求解$b$ 的取值范围即可得到答案.
【解析】$\because$ 抛物线的表达式为 $y=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,-4)$. 令 $y=0$,则 $(x-1)^2-4=0$,解得 $x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore A(-1,0)$,$B(3,0)$. 如图,根据翻折变换,点 $(1,-4)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C$ 为 $(1,4)$,$\therefore$ 曲线 $ACB$ 所对应的函数表达式为 $y=-(x-1)^2+4(-1≤ x≤3)$. 当直线 $y=x+b$ 与新图象恰有三个公共点时.
①当直线 $y=x+b$ 过点 $A$ 时,$0=-1+b$,解得 $b=1$;
②当直线 $y=x+b$ 与抛物线$y=-(x-1)^2+4(-1≤ x≤3)$ 只有一个公共点时,$-(x-1)^2+4=x+b$,即 $x^2-x-(3-b)=0$,$\therefore \Delta=1+4(3-b)=13-4b=0$,解得 $b=\frac{13}{4}$. 综上所述,$b$ 的值为 1 或 $\frac{13}{4}$. 故答案为 1 或 $\frac{13}{4}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确原抛物线的基本特征，再得到翻折后新图象的解析式，最后结合直线与新图象有3个公共点的条件分情况讨论：第一步先求出原抛物线与x轴的交点、顶点坐标，得到翻折后x轴上方那段（原x轴下方翻折而来）的函数解析式，注意这段的x取值范围在两个交点之间；第二步分析直线和新图象有3个公共点的两种情况：①直线经过两个抛物线的公共交点A(-1,0)，此时刚好有3个交点；②直线和翻折后的那段抛物线相切（只有1个公共点），此时直线和原抛物线未翻折的部分还有2个交点，总共3个。分别对两种情况计算b的值即可。
【解析】
$\because$ 抛物线的表达式为 $y=(x-1)^2 -4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,-4)$。
令 $y=0$，则 $(x-1)^2 -4=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$。
根据翻折变换的性质，点 $(1,-4)$ 关于x轴的对称点C为 $(1,4)$，
$\therefore$ 曲线ACB（原x轴下方翻折后的部分）对应的函数表达式为 $y=-(x-1)^2+4$（$-1\le x\le3$）。
当直线$y=x+b$与新图象恰有三个公共点时，分两种情况讨论：
① 当直线$y=x+b$过点$A(-1,0)$时，将点A代入直线解析式：
$0=-1 + b$，解得 $b=1$；
② 当直线$y=x+b$与抛物线$y=-(x-1)^2+4$（$-1\le x\le3$）只有一个公共点（相切）时，联立两个解析式：
$-(x-1)^2+4 = x+b$，
整理得：$x^2 -x -(3 - b)=0$，
此时方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=1 + 4(3 - b)=13 - 4b=0$，
解得 $b=\frac{13}{4}$。
综上所述，$b$的值为1或$\frac{13}{4}$。
【答案】
1或$\frac{13}{4}$.
【知识点】
二次函数图象变换，一次函数与二次函数交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题需要结合翻折的性质得到新图象的解析式，再通过分类讨论确定直线与新图象有三个交点的情况，解题时要注意翻折后部分函数的自变量取值范围，避免忽略限制条件出现错解，对分类讨论思想的应用有较高要求。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需先明确原抛物线的基本特征，再得到翻折后新图象的解析式，最后结合直线与新图象有3个公共点的条件分情况讨论：第一步先求出原抛物线与x轴的交点、顶点坐标，得到翻折后x轴上方那段（原x轴下方翻折而来）的函数解析式，注意这段的x取值范围在两个交点之间；第二步分析直线和新图象有3个公共点的两种情况：①直线经过两个抛物线的公共交点A(-1,0)，此时刚好有3个交点；②直线和翻折后的那段抛物线相切（只有1个公共点），此时直线和原抛物线未翻折的部分还有2个交点，总共3个。分别对两种情况计算b的值即可。
【解析】
$\because$ 抛物线的表达式为 $y=(x-1)^2 -4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,-4)$。
令 $y=0$，则 $(x-1)^2 -4=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$。
根据翻折变换的性质，点 $(1,-4)$ 关于x轴的对称点C为 $(1,4)$，
$\therefore$ 曲线ACB（原x轴下方翻折后的部分）对应的函数表达式为 $y=-(x-1)^2+4$（$-1\le x\le3$）。
当直线$y=x+b$与新图象恰有三个公共点时，分两种情况讨论：
① 当直线$y=x+b$过点$A(-1,0)$时，将点A代入直线解析式：
$0=-1 + b$，解得 $b=1$；
② 当直线$y=x+b$与抛物线$y=-(x-1)^2+4$（$-1\le x\le3$）只有一个公共点（相切）时，联立两个解析式：
$-(x-1)^2+4 = x+b$，
整理得：$x^2 -x -(3 - b)=0$，
此时方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=1 + 4(3 - b)=13 - 4b=0$，
解得 $b=\frac{13}{4}$。
综上所述，$b$的值为1或$\frac{13}{4}$。
【答案】
1或$\frac{13}{4}$.
【知识点】
二次函数图象变换，一次函数与二次函数交点，一元二次方程判别式
【点评】
本题需要结合翻折的性质得到新图象的解析式，再通过分类讨论确定直线与新图象有三个交点的情况，解题时要注意翻折后部分函数的自变量取值范围，避免忽略限制条件出现错解，对分类讨论思想的应用有较高要求。
【难度系数】
0.3
7 思想方法 数形结合[较难]小爱同学学习二次函数后,对函数$y=-(|x|-1)^2$进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如下的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题:
(1)观察探究:
①写出该函数的一条性质:
②方程$-(|x|-1)^2=-1$的解为
③若方程$-(|x|-1)^2=a$有四个实数根,则$a$的取值范围是
(2)延伸思考:
将函数$y=-(|x|-1)^2$的图象经过怎样的平移可得到函数$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$的图象?写出平移过程,并直接写出当$2＜y_1≤3$时,自变量$x$的取值范围.
(1)观察探究:
①写出该函数的一条性质:
图象关于y轴对称（答案不唯一）
;②方程$-(|x|-1)^2=-1$的解为
$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$
;③若方程$-(|x|-1)^2=a$有四个实数根,则$a$的取值范围是
$-1＜a＜0$
.(2)延伸思考:
将函数$y=-(|x|-1)^2$的图象经过怎样的平移可得到函数$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$的图象?写出平移过程,并直接写出当$2＜y_1≤3$时,自变量$x$的取值范围.
答案
关键点拨：(2) 根据“左加右减,上加下减”的平移规律,得到函数 $y_1=-(|x-2|-1)^2+3$ 的图象,即可得到结论.
【解】(1)①图象关于 $y$ 轴对称;当 $x=-1$ 或 $x=1$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 $0$;当 $x＜-1$ 或 $0＜x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大;当 $-1＜x＜0$ 或 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小等. (写出一条即可)
②$x_1=-2$,$x_2=0$,$x_3=2$. ③$-1＜a＜0$.
(2)将函数 $y=-(|x|-1)^2$ 的图象先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度(或先向上平移3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度)得到函数$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$ 的图象.
当 $2＜y_1≤3$ 时,自变量 $x$ 的取值范围为 $0＜x＜4$ 且$x≠2$.
【解】(1)①图象关于 $y$ 轴对称;当 $x=-1$ 或 $x=1$ 时,$y$ 取最大值,最大值为 $0$;当 $x＜-1$ 或 $0＜x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大;当 $-1＜x＜0$ 或 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小等. (写出一条即可)
②$x_1=-2$,$x_2=0$,$x_3=2$. ③$-1＜a＜0$.
(2)将函数 $y=-(|x|-1)^2$ 的图象先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度(或先向上平移3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度)得到函数$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$ 的图象.
当 $2＜y_1≤3$ 时,自变量 $x$ 的取值范围为 $0＜x＜4$ 且$x≠2$.
解析
【分析】
本题结合数形结合思想探究含绝对值的二次函数相关问题，解题思路如下：
1. 对于(1)①：观察函数图象，可从对称性、最值、增减性等角度总结函数性质；
2. 对于(1)②：方程$-(|x|-1)^2=-1$的解对应函数$y=-(|x|-1)^2$与直线$y=-1$交点的横坐标，可通过解方程或读图得到结果；
3. 对于(1)③：方程有四个实根等价于函数图象与直线$y=a$有4个交点，结合图象即可确定$a$的取值范围；
4. 对于(2)：根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可得到平移过程，再解不等式或结合平移后图象得到对应$x$的取值范围。
【解析】
(1)①观察图象可得，该函数图象关于$y$轴对称（或“当$x=\pm1$时，函数取最大值0”“当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大”等，任选一条合理即可）；
②解方程$-(|x|-1)^2=-1$：
整理得$(|x|-1)^2=1$，
开方得$|x|-1=\pm1$，
当$|x|-1=1$时，$|x|=2$，解得$x=\pm2$；
当$|x|-1=-1$时，$|x|=0$，解得$x=0$；
因此方程的解为$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$；
③方程$-(|x|-1)^2=a$有四个实数根，即函数$y=-(|x|-1)^2$与直线$y=a$有4个交点，结合图象可知，当$-1＜a＜0$时，两个图象有4个交点，即$a$的取值范围是$-1＜a＜0$；
(2)根据函数图象平移规律：自变量加减对应左右平移（左加右减），常数项加减对应上下平移（上加下减），将$y=-(|x|-1)^2$的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即可得到$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$的图象（或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）；
当$2＜y_1≤3$时，代入解析式得$2＜-(|x-2|-1)^2+3≤3$：
解右侧不等式：$-(|x-2|-1)^2+3≤3$，即$-(|x-2|-1)^2≤0$，恒成立；
解左侧不等式：$2＜-(|x-2|-1)^2+3$，整理得$(|x-2|-1)^2＜1$，
开方得$-1＜|x-2|-1＜1$，
解得$|x-2|＞0$且$|x-2|＜2$，即$x≠2$且$0＜x＜4$；
综上，$x$的取值范围是$0＜x＜4$且$x≠2$。
【答案】
(1)①图象关于$y$轴对称（答案不唯一，合理即可）；②$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$；③$-1＜a＜0$；
(2)平移过程：先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度（或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）；当$2＜y_1≤3$时，自变量$x$的取值范围为$0＜x＜4$且$x≠2$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数与方程（不等式）的关系；函数图象平移规律
【点评】
本题以含绝对值的二次函数为载体，重点考查数形结合思想的应用，需要学生结合图象分析函数性质、求解方程的根和参数范围，同时也考查了函数平移的基本规律，结合图象分析可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.55
本题结合数形结合思想探究含绝对值的二次函数相关问题，解题思路如下：
1. 对于(1)①：观察函数图象，可从对称性、最值、增减性等角度总结函数性质；
2. 对于(1)②：方程$-(|x|-1)^2=-1$的解对应函数$y=-(|x|-1)^2$与直线$y=-1$交点的横坐标，可通过解方程或读图得到结果；
3. 对于(1)③：方程有四个实根等价于函数图象与直线$y=a$有4个交点，结合图象即可确定$a$的取值范围；
4. 对于(2)：根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可得到平移过程，再解不等式或结合平移后图象得到对应$x$的取值范围。
【解析】
(1)①观察图象可得，该函数图象关于$y$轴对称（或“当$x=\pm1$时，函数取最大值0”“当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大”等，任选一条合理即可）；
②解方程$-(|x|-1)^2=-1$：
整理得$(|x|-1)^2=1$，
开方得$|x|-1=\pm1$，
当$|x|-1=1$时，$|x|=2$，解得$x=\pm2$；
当$|x|-1=-1$时，$|x|=0$，解得$x=0$；
因此方程的解为$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$；
③方程$-(|x|-1)^2=a$有四个实数根，即函数$y=-(|x|-1)^2$与直线$y=a$有4个交点，结合图象可知，当$-1＜a＜0$时，两个图象有4个交点，即$a$的取值范围是$-1＜a＜0$；
(2)根据函数图象平移规律：自变量加减对应左右平移（左加右减），常数项加减对应上下平移（上加下减），将$y=-(|x|-1)^2$的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即可得到$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$的图象（或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）；
当$2＜y_1≤3$时，代入解析式得$2＜-(|x-2|-1)^2+3≤3$：
解右侧不等式：$-(|x-2|-1)^2+3≤3$，即$-(|x-2|-1)^2≤0$，恒成立；
解左侧不等式：$2＜-(|x-2|-1)^2+3$，整理得$(|x-2|-1)^2＜1$，
开方得$-1＜|x-2|-1＜1$，
解得$|x-2|＞0$且$|x-2|＜2$，即$x≠2$且$0＜x＜4$；
综上，$x$的取值范围是$0＜x＜4$且$x≠2$。
【答案】
(1)①图象关于$y$轴对称（答案不唯一，合理即可）；②$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$；③$-1＜a＜0$；
(2)平移过程：先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度（或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）；当$2＜y_1≤3$时，自变量$x$的取值范围为$0＜x＜4$且$x≠2$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数与方程（不等式）的关系；函数图象平移规律
【点评】
本题以含绝对值的二次函数为载体，重点考查数形结合思想的应用，需要学生结合图象分析函数性质、求解方程的根和参数范围，同时也考查了函数平移的基本规律，结合图象分析可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.55
