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1[2026河南开封期中,中]已知开口向下的抛物线$y=ax^2 - 3x + a^2 - 4$经过坐标原点,那么$a$等于（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$或$-2$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$或$-2$
答案
∵ 抛物线经过原点$(0,0),\therefore a^2-4=0$,$\therefore a=\pm2$. 又
∵ 抛物线开口向下,$\therefore a＜0,\therefore a=-2$. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先抓住两个关键条件：①抛物线经过原点，原点坐标(0,0)满足抛物线解析式；②抛物线开口向下，二次项系数小于0。第一步先将原点坐标代入解析式，求出a的所有可能取值，第二步再结合开口向下的条件筛选出符合要求的a值即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2 - 3x + a^2 - 4$经过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：$a^2 - 4 = 0$，
解得：$a = 2$或$a = -2$。
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 二次项系数$a ＜ 0$，
∴ $a = -2$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题时要注意结合所有给定的限制条件筛选结果，易错点是容易忽略“开口向下”的条件，误选包含2的选项。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住两个关键条件：①抛物线经过原点，原点坐标(0,0)满足抛物线解析式；②抛物线开口向下，二次项系数小于0。第一步先将原点坐标代入解析式，求出a的所有可能取值，第二步再结合开口向下的条件筛选出符合要求的a值即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2 - 3x + a^2 - 4$经过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：$a^2 - 4 = 0$，
解得：$a = 2$或$a = -2$。
又
∵ 抛物线开口向下，
∴ 二次项系数$a ＜ 0$，
∴ $a = -2$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题时要注意结合所有给定的限制条件筛选结果，易错点是容易忽略“开口向下”的条件，误选包含2的选项。
【难度系数】
0.6
2[2026 山东烟台期中，较难]关于x的二次函数
$y=x^2 - 2(b - 2)x + b^2 - 1$的图象不经过第三象限，
则实数b的取值范围是 （
A.$b ≥ 2$
B.$b ≥ 2$或$b ≤ -1$
C.$b ≥ 1.25$
D.$1.25 ≤ b ≤ 2$
$y=x^2 - 2(b - 2)x + b^2 - 1$的图象不经过第三象限，
则实数b的取值范围是 （
C
）A.$b ≥ 2$
B.$b ≥ 2$或$b ≤ -1$
C.$b ≥ 1.25$
D.$1.25 ≤ b ≤ 2$
答案
由题意可得 $a＞0,\therefore$ 抛物线在 $x$ 轴的上方(包含顶点在 $x$ 轴上) 或经过第一、二、四象限. 当抛物线在 $x$ 轴的上方 (包含顶点在 $x$ 轴上) 时, $\Delta =[-2(b-2)]^2-4×1×(b^2-1)≤0$, 解得 $b≥1.25$; 当抛物线经过第一、二、四象限时,抛物线与 $x$ 轴有两个交点,且对称轴在 $y$ 轴右侧,抛物线与 $y$ 轴交于正半轴或原点, $\therefore \begin{cases}\Delta=[-2(b-2)]^2-4×1×(b^2-1)＞0,①\\\dfrac{-2(b-2)}{2}=b-2＞0,②\\b^2-1≥0,③\end{cases}$
解不等式①得 $b＜\dfrac{5}{4}$; 解不等式②得 $b＞2$; 解不等式③得 $b≤-1$ 或 $b≥1$, 此时不等式组无解,故这种情况不存在. 综上可知,实数 $b$ 的取值范围是 $b≥1.25$. 故选 C.
解不等式①得 $b＜\dfrac{5}{4}$; 解不等式②得 $b＞2$; 解不等式③得 $b≤-1$ 或 $b≥1$, 此时不等式组无解,故这种情况不存在. 综上可知,实数 $b$ 的取值范围是 $b≥1.25$. 故选 C.
解析
【分析】
首先该二次函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，图象不经过第三象限需分两种情况讨论：①抛物线整体在x轴上方（含顶点在x轴上），此时无y＜0的部分，自然不会进入第三象限，可通过判别式Δ≤0求解；②若抛物线与x轴有两个交点，要避免经过第三象限，需满足对称轴在y轴右侧、与y轴交点非负，使抛物线仅经过一、二、四象限，列不等式组求解即可，最后综合两种情况的结果得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 - 2(b - 2)x + b^2 - 1$的二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，图象不经过第三象限分两种情况：
1. 抛物线全部在x轴上方（包含顶点在x轴上）：
此时判别式$\Delta\le0$，
$\Delta=[-2(b-2)]^2-4×1×(b^2-1)$
$=4(b^2-4b+4)-4b^2+4$
$=-16b+20\le0$
解得$b\ge\frac{20}{16}=1.25$。
2. 抛物线经过第一、二、四象限（与x轴有两个交点，不经过第三象限）：
需同时满足：判别式$\Delta＞0$、对称轴在y轴右侧、与y轴交点非负，列不等式组：
$\begin{cases}-16b+20＞0①\\\frac{2(b-2)}{2}=b-2＞0②\\b^2-1\ge0③\end{cases}$
解①得$b＜1.25$，解②得$b＞2$，两个不等式无公共解集，因此该情况不存在。
综上，实数$b$的取值范围是$b\ge1.25$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式应用，一元一次不等式组解法
【点评】
本题综合考查二次函数图象与系数的关系，需要结合图象特征分类讨论，易错点是容易遗漏分类情况或错误判断不经过第三象限的限制条件，解题时可结合草图辅助分析条件。
【难度系数】
0.4
首先该二次函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，图象不经过第三象限需分两种情况讨论：①抛物线整体在x轴上方（含顶点在x轴上），此时无y＜0的部分，自然不会进入第三象限，可通过判别式Δ≤0求解；②若抛物线与x轴有两个交点，要避免经过第三象限，需满足对称轴在y轴右侧、与y轴交点非负，使抛物线仅经过一、二、四象限，列不等式组求解即可，最后综合两种情况的结果得到最终取值范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=x^2 - 2(b - 2)x + b^2 - 1$的二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，图象不经过第三象限分两种情况：
1. 抛物线全部在x轴上方（包含顶点在x轴上）：
此时判别式$\Delta\le0$，
$\Delta=[-2(b-2)]^2-4×1×(b^2-1)$
$=4(b^2-4b+4)-4b^2+4$
$=-16b+20\le0$
解得$b\ge\frac{20}{16}=1.25$。
2. 抛物线经过第一、二、四象限（与x轴有两个交点，不经过第三象限）：
需同时满足：判别式$\Delta＞0$、对称轴在y轴右侧、与y轴交点非负，列不等式组：
$\begin{cases}-16b+20＞0①\\\frac{2(b-2)}{2}=b-2＞0②\\b^2-1\ge0③\end{cases}$
解①得$b＜1.25$，解②得$b＞2$，两个不等式无公共解集，因此该情况不存在。
综上，实数$b$的取值范围是$b\ge1.25$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，根的判别式应用，一元一次不等式组解法
【点评】
本题综合考查二次函数图象与系数的关系，需要结合图象特征分类讨论，易错点是容易遗漏分类情况或错误判断不经过第三象限的限制条件，解题时可结合草图辅助分析条件。
【难度系数】
0.4
3 新考向开放性试题 [中]已知抛物线 $y=x^2+x+m$ 与y轴的交点在原点下方,则整数m的值可以是
-2(答案不唯一)
.(写出一个符合条件的值即可)答案
当 $x=0$ 时,$y=0+0+m=m$,$\therefore$ 抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,m).\because$ 抛物线与 $y$ 轴的交点在原点下方, $\therefore m＜0,\therefore m$ 的值可以是-2. 故答案为-2(答案不唯一).
解析
【分析】
解题时首先要回忆抛物线与y轴交点的求法：求抛物线与y轴交点时，令x=0，计算得到的y值就是交点的纵坐标，交点坐标为(0,y)。已知交点在原点下方，说明交点的纵坐标小于0，据此可列出关于m的不等式，得到m的取值范围，再在范围内任取一个整数即可。
【解析】
当x=0时，代入抛物线解析式$y=x^2+x+m$，得$y=0+0+m=m$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,m)$。
因为抛物线与y轴的交点在原点下方，所以交点的纵坐标小于0，即$m＜0$。
取小于0的整数即可，例如$m=-2$。
【答案】
-2（答案不唯一，任意负整数均可）
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求法；点的坐标特征
【点评】
本题是开放性试题，考查二次函数图象的基本性质，解题关键是掌握抛物线与y轴交点的求解逻辑，结合点的位置确定参数的取值范围，答案不唯一，满足$m$为负整数即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆抛物线与y轴交点的求法：求抛物线与y轴交点时，令x=0，计算得到的y值就是交点的纵坐标，交点坐标为(0,y)。已知交点在原点下方，说明交点的纵坐标小于0，据此可列出关于m的不等式，得到m的取值范围，再在范围内任取一个整数即可。
【解析】
当x=0时，代入抛物线解析式$y=x^2+x+m$，得$y=0+0+m=m$，因此抛物线与y轴的交点坐标为$(0,m)$。
因为抛物线与y轴的交点在原点下方，所以交点的纵坐标小于0，即$m＜0$。
取小于0的整数即可，例如$m=-2$。
【答案】
-2（答案不唯一，任意负整数均可）
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求法；点的坐标特征
【点评】
本题是开放性试题，考查二次函数图象的基本性质，解题关键是掌握抛物线与y轴交点的求解逻辑，结合点的位置确定参数的取值范围，答案不唯一，满足$m$为负整数即可。
【难度系数】
0.7
4[2025湖北武汉调研,较难]已知抛物线$y=x^2-(m+4)x+3m+2$在$-1≤ x≤2$的范围内能使$y≥2$恒成立,则$m$的取值范围为
$m≥4$
.答案
抛物线 $y=x^2-(m+4)x+3m+2$ 的开口向上,对称轴为直线 $x=\dfrac{m+4}{2}$. ① 当 $\dfrac{m+4}{2}≥2$,即 $m≥0$ 时,要使在 $-1≤ x≤2$ 的范围内 $y≥2$ 恒成立,只需 $x=2$ 时的函数值大于等于 2,即 $2^2-2(m+4)+3m+2≥2$, 解得 $m≥4$. 结合 $m≥0$,得 $m≥4$. ② 当 $\dfrac{m+4}{2}≤-1$,即 $m≤-6$ 时,要使在 $-1≤ x≤2$ 的范围内 $y≥2$ 恒成立,只需 $x=-1$ 时的函数值大于等于 2,即 $(-1)^2+(m+4)+3m+2≥2$, 解得 $m≥-\dfrac{5}{4}$, 结合 $m≤-6$,得无解. ③ 当 $-1＜\dfrac{m+4}{2}＜2$,即 $-6＜m＜0$ 时,要使在 $-1≤ x≤2$ 的范围内 $y≥2$ 恒成立,只需 $x=\dfrac{m+4}{2}$ 时的函数值大于等于 2,即 $(\dfrac{m+4}{2})^2-(m+4)·\dfrac{m+4}{2}+3m+2≥2$,$\therefore (m-2)^2+12≤0$. 又 $\because (m-2)^2+12≥12$,$\therefore$ 无解. 综上,$m≥4$. 故答案为 $m≥4$.
解析
【分析】
本题是二次函数定区间内函数值恒成立问题，解题思路如下：首先明确抛物线开口向上，因此给定区间内的最小值只会出现在区间端点或顶点处，接下来按对称轴与区间$[-1,2]$的位置关系分三类讨论：①对称轴在区间右侧；②对称轴在区间左侧；③对称轴在区间内部。每一类中先找到对应情况下区间内的最小值，令最小值≥2，解出m的范围后和该类的前提条件取交集，最后合并所有符合条件的m的范围即可。
【解析】
抛物线$y=x^2-(m+4)x+3m+2$的二次项系数为1＞0，因此开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{m+4}{2}$。
① 当$\dfrac{m+4}{2}≥2$，即$m≥0$时，区间$[-1,2]$在对称轴左侧，y随x的增大而减小，x=2时y取最小值。要使$y≥2$恒成立，只需最小值≥2，即$2^2-2(m+4)+3m+2≥2$，解得$m≥4$。结合前提$m≥0$，得$m≥4$。
② 当$\dfrac{m+4}{2}≤-1$，即$m≤-6$时，区间$[-1,2]$在对称轴右侧，y随x的增大而增大，x=-1时y取最小值。令最小值≥2，即$(-1)^2+(m+4)+3m+2≥2$，解得$m≥-\dfrac{5}{4}$，与$m≤-6$无交集，该情况无解。
③ 当$-1＜\dfrac{m+4}{2}＜2$，即$-6＜m＜0$时，对称轴在区间内部，顶点处y取最小值。令顶点函数值≥2，即$(\dfrac{m+4}{2})^2-(m+4)·\dfrac{m+4}{2}+3m+2≥2$，化简得$(m-2)^2+12≤0$，因平方数非负，该不等式无解。
综上，m的取值范围为$m≥4$。
【答案】
$m≥4$
【知识点】
1.二次函数性质 2.定区间最值 3.恒成立问题
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题关键是根据对称轴与定区间的位置关系确定区间内最小值，将恒成立问题转化为最值不等式求解，求解后需结合分类前提取交集，避免范围扩大。
【难度系数】
0.3
本题是二次函数定区间内函数值恒成立问题，解题思路如下：首先明确抛物线开口向上，因此给定区间内的最小值只会出现在区间端点或顶点处，接下来按对称轴与区间$[-1,2]$的位置关系分三类讨论：①对称轴在区间右侧；②对称轴在区间左侧；③对称轴在区间内部。每一类中先找到对应情况下区间内的最小值，令最小值≥2，解出m的范围后和该类的前提条件取交集，最后合并所有符合条件的m的范围即可。
【解析】
抛物线$y=x^2-(m+4)x+3m+2$的二次项系数为1＞0，因此开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{m+4}{2}$。
① 当$\dfrac{m+4}{2}≥2$，即$m≥0$时，区间$[-1,2]$在对称轴左侧，y随x的增大而减小，x=2时y取最小值。要使$y≥2$恒成立，只需最小值≥2，即$2^2-2(m+4)+3m+2≥2$，解得$m≥4$。结合前提$m≥0$，得$m≥4$。
② 当$\dfrac{m+4}{2}≤-1$，即$m≤-6$时，区间$[-1,2]$在对称轴右侧，y随x的增大而增大，x=-1时y取最小值。令最小值≥2，即$(-1)^2+(m+4)+3m+2≥2$，解得$m≥-\dfrac{5}{4}$，与$m≤-6$无交集，该情况无解。
③ 当$-1＜\dfrac{m+4}{2}＜2$，即$-6＜m＜0$时，对称轴在区间内部，顶点处y取最小值。令顶点函数值≥2，即$(\dfrac{m+4}{2})^2-(m+4)·\dfrac{m+4}{2}+3m+2≥2$，化简得$(m-2)^2+12≤0$，因平方数非负，该不等式无解。
综上，m的取值范围为$m≥4$。
【答案】
$m≥4$
【知识点】
1.二次函数性质 2.定区间最值 3.恒成立问题
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题关键是根据对称轴与定区间的位置关系确定区间内最小值，将恒成立问题转化为最值不等式求解，求解后需结合分类前提取交集，避免范围扩大。
【难度系数】
0.3
5[2026江西南昌调研,中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过$(1,y_1),(-1,y_2)$两点. ①若$y_1＞0$,则$a+b+c＞0$;②若$a+b=0$,则$y_1＜y_2$;③若$y_1＜0,y_2＞0$,则$b＜0$;④若$b=2a-1,c=a-3$,且$y_1＞0$,则抛物线的顶点一定在第三象限. 上述四个判断正确的有 (
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
C
)A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
①$\because y_1＞0,\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y_1=a+b+c＞0$,故①正确. ②$\because a+b=0,\therefore b=-a,\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$. 分两种情况: 当 $a=-b＞0$ 时,抛物线开口向上,$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远,纵坐标越大. 又 $\because \left|1-\dfrac{1}{2}\right|＜\left|-1-\dfrac{1}{2}\right|,\therefore y_1＜y_2$. 当 $a=-b＜0$ 时,抛物线开口向下,$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远,纵坐标越小. 又 $\because \left|1-\dfrac{1}{2}\right|＜\left|-1-\dfrac{1}{2}\right|$,$\therefore y_1＞y_2$,故②错误. ③ 若 $y_1＜0,y_2＞0$,则 $a+b+c＜0$,$a-b+c＞0$,$\therefore -a+b-c＜0$,$\therefore 2b＜0$,$\therefore b＜0$,故③正确. ④$\because y_1＞0,\therefore a+b+c＞0. \because b=2a-1,c=a-3,\therefore a+2a-1+a-3＞0$,解得 $a＞1$,则 $b＞1,c＞-2$,$\therefore$ 抛物线对称轴在 $y$ 轴左侧,开口向上. 对于 $ax^2+bx+c=0$,$\Delta=b^2-4ac=(2a-1)^2-4a(a-3)=8a+1＞9$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴有两个交点,故顶点一定在第三象限,故④正确. 故选 C.
解析
【分析】
本题围绕二次函数图象与系数的关系展开，解题时逐个分析4个判断即可：①直接将x=1代入二次函数解析式，即可得到$y_1$与$a+b+c$的关系；②先由$a+b=0$求出对称轴，再分抛物线开口向上、向下两种情况，根据点到对称轴的距离判断函数值大小；③分别写出$y_1、y_2$对应的代数式，通过两个不等式的运算推导$b$的符号；④先根据$y_1＞0$求出$a$的取值范围，再分别判断抛物线对称轴的符号、顶点纵坐标的符号，即可确定顶点所在象限。
【解析】
①当$x=1$时，代入二次函数解析式得$y_1=a+b+c$，已知$y_1＞0$，故$a+b+c＞0$，①正确；
②若$a+b=0$，则$b=-a$，抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，分两种情况讨论：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。点$(1,y_1)$到对称轴的距离为$|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，点$(-1,y_2)$到对称轴的距离为$|-1-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}$，故$y_1＜y_2$；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，同理$\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}$，故$y_1＞y_2$；
因此②错误；
③若$y_1＜0,y_2＞0$，即$\begin{cases}a+b+c＜0 \\a-b+c＞0 \end{cases}$，将第一个不等式减去第二个不等式，得$2b＜0$，即$b＜0$，故③正确；
④若$b=2a-1,c=a-3$，且$y_1＞0$，即$a+b+c＞0$，代入得$a+(2a-1)+(a-3)＞0$，解得$a＞1$。
此时抛物线开口向上，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-1}{2a}=-1+\frac{1}{2a}$，因为$a＞1$，所以$0＜\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$，故对称轴$x＜0$，在y轴左侧；
计算顶点纵坐标对应的判别式$\Delta=b^2-4ac=(2a-1)^2-4a(a-3)=8a+1$，因为$a＞1$，所以$\Delta=8a+1＞9＞0$，说明抛物线与x轴有两个交点，开口向上、对称轴在y轴左侧，因此顶点纵坐标为负，顶点横、纵坐标均为负，顶点在第三象限，④正确。
综上，①③④正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与系数关系，二次函数的函数值，二次函数顶点性质
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，需要结合代入求值、不等式运算、分类讨论等方法逐个验证结论，要求熟练掌握二次函数图象的基本性质，易错点是判断②时忽略开口方向对函数值变化的影响。
【难度系数】
0.6
本题围绕二次函数图象与系数的关系展开，解题时逐个分析4个判断即可：①直接将x=1代入二次函数解析式，即可得到$y_1$与$a+b+c$的关系；②先由$a+b=0$求出对称轴，再分抛物线开口向上、向下两种情况，根据点到对称轴的距离判断函数值大小；③分别写出$y_1、y_2$对应的代数式，通过两个不等式的运算推导$b$的符号；④先根据$y_1＞0$求出$a$的取值范围，再分别判断抛物线对称轴的符号、顶点纵坐标的符号，即可确定顶点所在象限。
【解析】
①当$x=1$时，代入二次函数解析式得$y_1=a+b+c$，已知$y_1＞0$，故$a+b+c＞0$，①正确；
②若$a+b=0$，则$b=-a$，抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，分两种情况讨论：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。点$(1,y_1)$到对称轴的距离为$|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$，点$(-1,y_2)$到对称轴的距离为$|-1-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}$，故$y_1＜y_2$；
当$a＜0$时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，同理$\frac{1}{2}＜\frac{3}{2}$，故$y_1＞y_2$；
因此②错误；
③若$y_1＜0,y_2＞0$，即$\begin{cases}a+b+c＜0 \\a-b+c＞0 \end{cases}$，将第一个不等式减去第二个不等式，得$2b＜0$，即$b＜0$，故③正确；
④若$b=2a-1,c=a-3$，且$y_1＞0$，即$a+b+c＞0$，代入得$a+(2a-1)+(a-3)＞0$，解得$a＞1$。
此时抛物线开口向上，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-1}{2a}=-1+\frac{1}{2a}$，因为$a＞1$，所以$0＜\frac{1}{2a}＜\frac{1}{2}$，故对称轴$x＜0$，在y轴左侧；
计算顶点纵坐标对应的判别式$\Delta=b^2-4ac=(2a-1)^2-4a(a-3)=8a+1$，因为$a＞1$，所以$\Delta=8a+1＞9＞0$，说明抛物线与x轴有两个交点，开口向上、对称轴在y轴左侧，因此顶点纵坐标为负，顶点横、纵坐标均为负，顶点在第三象限，④正确。
综上，①③④正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与系数关系，二次函数的函数值，二次函数顶点性质
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，需要结合代入求值、不等式运算、分类讨论等方法逐个验证结论，要求熟练掌握二次函数图象的基本性质，易错点是判断②时忽略开口方向对函数值变化的影响。
【难度系数】
0.6
6[中]抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-2,0)$，且对称轴为直线$x=1$，其部分图象如图所示。对于此抛物线有如下四个结论：
①$b=-2a$；
②$4a+2b+c＞0$；
③若$n＞m＞0$，则$x=1+m$时的函数值小于$x=1-n$时的函数值；
④点$(-\dfrac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上。
其中正确的结论是
①$b=-2a$；
②$4a+2b+c＞0$；
③若$n＞m＞0$，则$x=1+m$时的函数值小于$x=1-n$时的函数值；
④点$(-\dfrac{c}{2a},0)$一定在此抛物线上。
其中正确的结论是
①②④
.(填序号)答案
∵ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$,$\therefore -\dfrac{b}{2a}=1$,$\therefore b=-2a$,故①正确. $\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-2,0)$,$\therefore$ 根据抛物线的对称性可得抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标为 $(4,0)$. 由图象得当 $-2＜x＜4$ 时,$y＞0$,$\therefore$ 当 $x=2$ 时,$y=4a+2b+c＞0$,故②正确. $\because$ 抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=1$,$\therefore$ 当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,横坐标是 $1-n$ 的点关于对称轴的对称点的横坐标为 $1+n$. $\because n＞m＞0$,$\therefore 1+n＞1+m＞1$,$\therefore x=1+m$ 时的函数值大于 $x=1+n$ 时的函数值,$\therefore x=1+m$ 时的函数值大于 $x=1-n$ 时的函数值,故③错误. $\because b=-2a$,抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $(-2,0)$,$\therefore 0=4a+4a+c$,即 $c=-8a$,$\therefore -\dfrac{c}{2a}=4$. $\because$ 抛物线过点 $(4,0)$,$\therefore$ 点 $(-\dfrac{c}{2a},0)$ 一定在此抛物线上,故④正确. 故答案为①②④.
解析
【分析】
解决这类二次函数结论判断问题，可按以下思路逐步推导：1. 先利用题干给出的对称轴条件，结合二次函数对称轴公式判断系数a、b的关系，验证结论①；2. 利用二次函数的对称性，结合已知的x轴交点(-2,0)求出另一个x轴交点，确定y＞0的x的取值范围，代入x=2验证结论②；3. 结合抛物线开口方向和对称轴两侧的增减性，利用对称性将x=1-n转化为对称点的横坐标，比较两个点到对称轴的距离，进而判断函数值大小，验证结论③；4. 将已知点代入解析式，结合b=-2a的关系求出c与a的关系，计算点(-c/(2a),0)的横坐标，判断是否为抛物线与x轴的交点，验证结论④。
【解析】
1. 验证结论①：
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，由二次函数对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，可得$-\dfrac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，故①正确。
2. 验证结论②：
已知抛物线过点$(-2,0)$，对称轴为$x=1$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此另一个交点的横坐标为$1×2 - (-2)=4$，即抛物线与x轴另一交点为$(4,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，因此当$-2＜x＜4$时，函数值$y＞0$；当$x=2$时，$2$在$-2∼4$区间内，故$y=4a+2b+c＞0$，故②正确。
3. 验证结论③：
抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此x＞1时y随x的增大而减小；横坐标为$1-n$的点关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$1+n$。
已知$n＞m＞0$，则$1+n＞1+m＞1$，因此$x=1+m$时的函数值大于$x=1+n$时的函数值，即$x=1+m$时的函数值大于$x=1-n$时的函数值，故③错误。
4. 验证结论④：
将点$(-2,0)$代入抛物线解析式得$4a-2b+c=0$，结合$b=-2a$，代入得$4a-2×(-2a)+c=0$，整理得$8a+c=0$，即$c=-8a$。
因此$-\dfrac{c}{2a}=-\dfrac{-8a}{2a}=4$，即点$(-\dfrac{c}{2a},0)$为$(4,0)$，是抛物线与x轴的交点，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数的对称性；二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是二次函数的综合题型，核心考查二次函数的对称性、增减性以及系数与图象的对应关系，解题的关键是利用对称轴和已知交点推导抛物线的隐含性质，结合图象逐一验证结论，是二次函数部分的经典考法。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数结论判断问题，可按以下思路逐步推导：1. 先利用题干给出的对称轴条件，结合二次函数对称轴公式判断系数a、b的关系，验证结论①；2. 利用二次函数的对称性，结合已知的x轴交点(-2,0)求出另一个x轴交点，确定y＞0的x的取值范围，代入x=2验证结论②；3. 结合抛物线开口方向和对称轴两侧的增减性，利用对称性将x=1-n转化为对称点的横坐标，比较两个点到对称轴的距离，进而判断函数值大小，验证结论③；4. 将已知点代入解析式，结合b=-2a的关系求出c与a的关系，计算点(-c/(2a),0)的横坐标，判断是否为抛物线与x轴的交点，验证结论④。
【解析】
1. 验证结论①：
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，由二次函数对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，可得$-\dfrac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，故①正确。
2. 验证结论②：
已知抛物线过点$(-2,0)$，对称轴为$x=1$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此另一个交点的横坐标为$1×2 - (-2)=4$，即抛物线与x轴另一交点为$(4,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，因此当$-2＜x＜4$时，函数值$y＞0$；当$x=2$时，$2$在$-2∼4$区间内，故$y=4a+2b+c＞0$，故②正确。
3. 验证结论③：
抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此x＞1时y随x的增大而减小；横坐标为$1-n$的点关于对称轴$x=1$的对称点横坐标为$1+n$。
已知$n＞m＞0$，则$1+n＞1+m＞1$，因此$x=1+m$时的函数值大于$x=1+n$时的函数值，即$x=1+m$时的函数值大于$x=1-n$时的函数值，故③错误。
4. 验证结论④：
将点$(-2,0)$代入抛物线解析式得$4a-2b+c=0$，结合$b=-2a$，代入得$4a-2×(-2a)+c=0$，整理得$8a+c=0$，即$c=-8a$。
因此$-\dfrac{c}{2a}=-\dfrac{-8a}{2a}=4$，即点$(-\dfrac{c}{2a},0)$为$(4,0)$，是抛物线与x轴的交点，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数的对称性；二次函数系数与图象的关系
【点评】
本题是二次函数的综合题型，核心考查二次函数的对称性、增减性以及系数与图象的对应关系，解题的关键是利用对称轴和已知交点推导抛物线的隐含性质，结合图象逐一验证结论，是二次函数部分的经典考法。
【难度系数】
0.6
7[2026山东青岛质检,中]二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中，$x$与$y$的部分对应值如下表：
给出以下结论：①二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）有最小值为-3；②当$-\frac{1}{2}＜x＜2$时，$y＜0$；③已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在该二次函数的图象上，则当$-1＜x_1＜0$，$3＜x_2＜4$时，$y_1＞y_2$；④$4ac - b^2 = -16a$；⑤$a(m+1)(m-1)≥b(1-m)$（$m$为任意实数），其中正确结论的序号是
给出以下结论：①二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）有最小值为-3；②当$-\frac{1}{2}＜x＜2$时，$y＜0$；③已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在该二次函数的图象上，则当$-1＜x_1＜0$，$3＜x_2＜4$时，$y_1＞y_2$；④$4ac - b^2 = -16a$；⑤$a(m+1)(m-1)≥b(1-m)$（$m$为任意实数），其中正确结论的序号是
②④⑤
。答案
观察表格可设二次函数表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$,代入 $(0,-3)$ 可得 $a=1$,$\therefore y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$,$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=1$,抛物线开口向上,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y$ 有最小值为 $-4$,即 $\dfrac{4ac-b^2}{4a}=-4$,整理可得 $4ac-b^2=-16a$,故①错误,④正确. 抛物线与 $x$ 轴交于点 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$,$\therefore$ 当 $-1＜x＜3$ 时,$y＜0$,$\therefore$ 当 $-\dfrac{1}{2}＜x＜2$ 时,$y＜0$,故②正确. $\because$ 对称轴为直线 $x=1$,开口向上,$\therefore$ 抛物线上的点离对称轴越远,纵坐标越大. $\because -1＜x_1＜0,3＜x_2＜4$,$\therefore y_1＜y_2$,故③错误. $\because$ 当 $x=1$ 时,函数有最小值为 $a+b+c$,$\therefore$ 对于任意实数 $m$,$am^2+bm+c≥ a+b+c$ 恒成立,$\therefore am^2-a≥ b-bm$,即 $a(m^2-1)≥ b(1-m)$,$\therefore a(m+1)(m-1)≥ b(1-m)$,$\therefore$ 故⑤正确. 综上,②④⑤正确,故答案为②④⑤.
解析
【分析】
解决本题首先要根据表格中的数据确定二次函数的解析式，观察表格可得x=-1和x=3时y=0，即二次函数与x轴的交点坐标，因此可设交点式求解析式，再结合二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等性质，逐一验证每个结论是否正确。
【解析】
由表格可知二次函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将点$(0,-3)$代入表达式得：$-3=a(0+1)(0-3)$，解得$a=1$。
因此函数解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$。
逐一判断结论：
①当$x=1$时，y取得最小值，代入得$y=1^2-2×1-3=-4$，不是-3，故①错误；
②抛物线开口向上，与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此当$-1＜x＜3$时$y＜0$，$-\frac{1}{2}＜x＜2$在$-1＜x＜3$的范围内，此时y＜0，故②正确；
③抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，函数值越大：$-1＜x_1＜0$时，$x_1$到对称轴的距离范围是$1＜|x_1-1|＜2$；$3＜x_2＜4$时，$x_2$到对称轴的距离范围是$2＜|x_2-1|＜3$，因此$y_1＜y_2$，故③错误；
④由二次函数最值公式得$\frac{4ac-b^2}{4a}=-4$，两边同乘$4a$整理得$4ac-b^2=-16a$，故④正确；
⑤因为$x=1$时函数取得最小值，因此对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥a+b+c$，化简得$a(m^2-1)≥b(1-m)$，即$a(m+1)(m-1)≥b(1-m)$，故⑤正确。
综上，正确的结论为②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的最值
【点评】
本题结合表格考查二次函数的图像与性质，需要先求出函数解析式，再利用二次函数的增减性、最值、与x轴交点等性质逐一判断结论，考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要根据表格中的数据确定二次函数的解析式，观察表格可得x=-1和x=3时y=0，即二次函数与x轴的交点坐标，因此可设交点式求解析式，再结合二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等性质，逐一验证每个结论是否正确。
【解析】
由表格可知二次函数与x轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将点$(0,-3)$代入表达式得：$-3=a(0+1)(0-3)$，解得$a=1$。
因此函数解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$。
逐一判断结论：
①当$x=1$时，y取得最小值，代入得$y=1^2-2×1-3=-4$，不是-3，故①错误；
②抛物线开口向上，与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此当$-1＜x＜3$时$y＜0$，$-\frac{1}{2}＜x＜2$在$-1＜x＜3$的范围内，此时y＜0，故②正确；
③抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越远，函数值越大：$-1＜x_1＜0$时，$x_1$到对称轴的距离范围是$1＜|x_1-1|＜2$；$3＜x_2＜4$时，$x_2$到对称轴的距离范围是$2＜|x_2-1|＜3$，因此$y_1＜y_2$，故③错误；
④由二次函数最值公式得$\frac{4ac-b^2}{4a}=-4$，两边同乘$4a$整理得$4ac-b^2=-16a$，故④正确；
⑤因为$x=1$时函数取得最小值，因此对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥a+b+c$，化简得$a(m^2-1)≥b(1-m)$，即$a(m+1)(m-1)≥b(1-m)$，故⑤正确。
综上，正确的结论为②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的最值
【点评】
本题结合表格考查二次函数的图像与性质，需要先求出函数解析式，再利用二次函数的增减性、最值、与x轴交点等性质逐一判断结论，考查学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
8[2026浙江杭州质检,中]设二次函数$y_1=ax^2+bx+c$，$y_2=cx^2+bx+a$（$a,b,c$是实数，$ac＜0$）。
(1)若$a=-1$，抛物线$y_1$的对称轴为直线$x=1$，且函数$y_1$的图象经过点$(1,0)$，求$b,c$的值。
(2)设函数$y_1$的最大值为$m$，函数$y_2$的最小值为$n$，若$a+c=0$，求证：$m+n=0$。
(3)若函数$y_1$的图象与函数$y_2$的图象的两个交点分别在第二、四象限，求证：$b＜0$。
(1)若$a=-1$，抛物线$y_1$的对称轴为直线$x=1$，且函数$y_1$的图象经过点$(1,0)$，求$b,c$的值。
(2)设函数$y_1$的最大值为$m$，函数$y_2$的最小值为$n$，若$a+c=0$，求证：$m+n=0$。
(3)若函数$y_1$的图象与函数$y_2$的图象的两个交点分别在第二、四象限，求证：$b＜0$。
答案
(1)【解】$\because$ 抛物线 $y_1$ 的对称轴为直线 $x=1,a=-1$,$\therefore -\dfrac{b}{2×(-1)}=1$,$\therefore b=2$.
$\because$ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(1,0)$,$\therefore (-1)×1^2+2+c=0$,$\therefore c=-1$.
(2)【证明】$\because$ 函数 $y_1$ 的最大值为 $m$,$\therefore a＜0,m=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$.
$\because$ 函数 $y_2$ 的最小值为 $n$,$\therefore c＞0,n=\dfrac{4ac-b^2}{4c}$,
$\therefore m+n=\dfrac{4ac-b^2}{4a}+\dfrac{4ac-b^2}{4c}=\dfrac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}$.
$\because a+c=0,\therefore m+n=0$.
(3)【证明】$\because$ 函数 $y_1$ 的图象与函数 $y_2$ 的图象的两个交点分别在第二、四象限,且 $ac＜0$,$\therefore$ 分两种情况:
①若 $a＜0,c＞0$,则 $-\dfrac{b}{2a}＜-\dfrac{b}{2c}$,即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＜0$.
$\because ac＜0,a-c＜0,\therefore b＜0$.
②若 $a＞0,c＜0$,则 $-\dfrac{b}{2a}＞-\dfrac{b}{2c}$,即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＞0$.
$\because ac＜0,a-c＞0,\therefore b＜0$.
综上可知,$b＜0$.
$\because$ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(1,0)$,$\therefore (-1)×1^2+2+c=0$,$\therefore c=-1$.
(2)【证明】$\because$ 函数 $y_1$ 的最大值为 $m$,$\therefore a＜0,m=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$.
$\because$ 函数 $y_2$ 的最小值为 $n$,$\therefore c＞0,n=\dfrac{4ac-b^2}{4c}$,
$\therefore m+n=\dfrac{4ac-b^2}{4a}+\dfrac{4ac-b^2}{4c}=\dfrac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}$.
$\because a+c=0,\therefore m+n=0$.
(3)【证明】$\because$ 函数 $y_1$ 的图象与函数 $y_2$ 的图象的两个交点分别在第二、四象限,且 $ac＜0$,$\therefore$ 分两种情况:
①若 $a＜0,c＞0$,则 $-\dfrac{b}{2a}＜-\dfrac{b}{2c}$,即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＜0$.
$\because ac＜0,a-c＜0,\therefore b＜0$.
②若 $a＞0,c＜0$,则 $-\dfrac{b}{2a}＞-\dfrac{b}{2c}$,即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＞0$.
$\because ac＜0,a-c＞0,\therefore b＜0$.
综上可知,$b＜0$.
解析
【分析】
(1) 本小问考查二次函数参数求解，已知a的值和对称轴，可先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算b的值，再将已知点$(1,0)$代入$y_1$的解析式，即可求解c的值。
(2) 本小问考查二次函数最值的计算，二次函数有最大值说明开口向下（$a＜0$），有最小值说明开口向上（$c＞0$），先分别用二次函数最值公式表示出$m$和$n$，再将$m+n$通分化简，结合已知$a+c=0$即可证明结论。
(3) 本小问考查二次函数交点与系数的关系，首先联立两个函数解析式可求得交点横坐标为$x=\pm1$，即两个交点分别在$x=-1$和$x=1$处，结合交点分别在第二、四象限，且$ac＜0$的条件，分$a＜0,c＞0$和$a＞0,c＜0$两种情况分类讨论，即可推导出$b＜0$。
【解析】
(1) 解：$\because$ 抛物线 $y_1$ 的对称轴为直线 $x=1$，$a=-1$，
$\therefore$ 由对称轴公式得 $-\dfrac{b}{2×(-1)}=1$，解得 $b=2$。
$\because$ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(1,0)$，将$x=1,y=0,a=-1,b=2$代入$y_1=ax^2+bx+c$得：
$(-1)×1^2+2×1+c=0$，解得 $c=-1$。
(2) 证明：$\because$ 函数 $y_1$ 有最大值 $m$，$\therefore$ $y_1$开口向下，即$a＜0$，由二次函数最值公式得$m=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
$\because$ 函数 $y_2$ 有最小值 $n$，$\therefore$ $y_2$开口向上，即$c＞0$，同理得$n=\dfrac{4ac-b^2}{4c}$。
$\therefore m+n=\dfrac{4ac-b^2}{4a}+\dfrac{4ac-b^2}{4c}=\dfrac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}$。
$\because a+c=0$，$\therefore$ 分子为0，即$m+n=0$。
(3) 证明：$\because$ 函数 $y_1$ 的图象与函数 $y_2$ 的图象的两个交点分别在第二、四象限，且 $ac＜0$，
$\therefore$ 分两种情况:
①若 $a＜0,c＞0$，则 $-\dfrac{b}{2a}＜-\dfrac{b}{2c}$，即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＜0$，
$\because ac＜0,a-c＜0$，$\therefore b＜0$。
②若 $a＞0,c＜0$，则 $-\dfrac{b}{2a}＞-\dfrac{b}{2c}$，即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＞0$，
$\because ac＜0,a-c＞0$，$\therefore b＜0$。
综上可知，$b＜0$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=-1$；
(2) 得证$m+n=0$；
(3) 得证$b＜0$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数系数相关的综合题，覆盖了参数求解、最值计算、交点性质推导等考点，解题时需要熟练掌握二次函数的核心公式，灵活运用分类讨论思想分析异号参数的情况，对逻辑推理和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 本小问考查二次函数参数求解，已知a的值和对称轴，可先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算b的值，再将已知点$(1,0)$代入$y_1$的解析式，即可求解c的值。
(2) 本小问考查二次函数最值的计算，二次函数有最大值说明开口向下（$a＜0$），有最小值说明开口向上（$c＞0$），先分别用二次函数最值公式表示出$m$和$n$，再将$m+n$通分化简，结合已知$a+c=0$即可证明结论。
(3) 本小问考查二次函数交点与系数的关系，首先联立两个函数解析式可求得交点横坐标为$x=\pm1$，即两个交点分别在$x=-1$和$x=1$处，结合交点分别在第二、四象限，且$ac＜0$的条件，分$a＜0,c＞0$和$a＞0,c＜0$两种情况分类讨论，即可推导出$b＜0$。
【解析】
(1) 解：$\because$ 抛物线 $y_1$ 的对称轴为直线 $x=1$，$a=-1$，
$\therefore$ 由对称轴公式得 $-\dfrac{b}{2×(-1)}=1$，解得 $b=2$。
$\because$ 函数 $y_1$ 的图象经过点 $(1,0)$，将$x=1,y=0,a=-1,b=2$代入$y_1=ax^2+bx+c$得：
$(-1)×1^2+2×1+c=0$，解得 $c=-1$。
(2) 证明：$\because$ 函数 $y_1$ 有最大值 $m$，$\therefore$ $y_1$开口向下，即$a＜0$，由二次函数最值公式得$m=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
$\because$ 函数 $y_2$ 有最小值 $n$，$\therefore$ $y_2$开口向上，即$c＞0$，同理得$n=\dfrac{4ac-b^2}{4c}$。
$\therefore m+n=\dfrac{4ac-b^2}{4a}+\dfrac{4ac-b^2}{4c}=\dfrac{(4ac-b^2)(a+c)}{4ac}$。
$\because a+c=0$，$\therefore$ 分子为0，即$m+n=0$。
(3) 证明：$\because$ 函数 $y_1$ 的图象与函数 $y_2$ 的图象的两个交点分别在第二、四象限，且 $ac＜0$，
$\therefore$ 分两种情况:
①若 $a＜0,c＞0$，则 $-\dfrac{b}{2a}＜-\dfrac{b}{2c}$，即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＜0$，
$\because ac＜0,a-c＜0$，$\therefore b＜0$。
②若 $a＞0,c＜0$，则 $-\dfrac{b}{2a}＞-\dfrac{b}{2c}$，即 $\dfrac{b(a-c)}{2ac}＞0$，
$\because ac＜0,a-c＞0$，$\therefore b＜0$。
综上可知，$b＜0$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=-1$；
(2) 得证$m+n=0$；
(3) 得证$b＜0$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数系数相关的综合题，覆盖了参数求解、最值计算、交点性质推导等考点，解题时需要熟练掌握二次函数的核心公式，灵活运用分类讨论思想分析异号参数的情况，对逻辑推理和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
