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1[较难]如图,已知抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$.
(1)请直接写出$c_1$的表达式.
(2)若直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,求$m$的值.
(3)若抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$,平行于$x$轴的直线$y=n$记作$l_2$.试结合图形回答:当$n$为何值时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有:①两个交点?②三个交点?③四个交点?
(1)请直接写出$c_1$的表达式.
(2)若直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,求$m$的值.
(3)若抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$,平行于$x$轴的直线$y=n$记作$l_2$.试结合图形回答:当$n$为何值时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有:①两个交点?②三个交点?③四个交点?
答案
(1)$c_1$的表达式为$y=-x^2-2x+3$.
$\because$ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,$\therefore$ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$.
把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$,$\therefore a=-1$,
$\therefore$ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$,即$y=-x^2-2x+3$.
(2)由$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+m,\end{cases}$得$x^2+3x+m-3=0$.
$\because$ 直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,
$\therefore \Delta=9-4m+12=0$,$\therefore m=\dfrac{21}{4}$.
(3)$\because$ 抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$,
$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$,$\therefore$ 抛物线$c_2$的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
①当直线$l_2$过抛物线$c_1$的顶点$(-1,4)$和抛物线$c_2$的顶点$(1,4)$,即$n=4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有两个交点.
②当直线$l_2$过$D(0,3)$,即$n=3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有三个交点.
③当$n＜3$或$3＜n＜4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有四个交点.
$\because$ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$,$\therefore$ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$.
把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$,$\therefore a=-1$,
$\therefore$ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$,即$y=-x^2-2x+3$.
(2)由$\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\y=x+m,\end{cases}$得$x^2+3x+m-3=0$.
$\because$ 直线$l_1:y=x+m$与$c_1$有唯一的交点,
$\therefore \Delta=9-4m+12=0$,$\therefore m=\dfrac{21}{4}$.
(3)$\because$ 抛物线$c_1$关于$y$轴对称的抛物线记作$c_2$,
$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$,与$y$轴的交点为$D(0,3)$,$\therefore$ 抛物线$c_2$的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
①当直线$l_2$过抛物线$c_1$的顶点$(-1,4)$和抛物线$c_2$的顶点$(1,4)$,即$n=4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有两个交点.
②当直线$l_2$过$D(0,3)$,即$n=3$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有三个交点.
③当$n＜3$或$3＜n＜4$时,$l_2$与$c_1$和$c_2$共有四个交点.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入图象上已知点D的坐标求出未知系数a，即可得到$c_1$的表达式。
(2) 直线与抛物线有唯一交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，据此列方程求解m即可。
(3) 先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到抛物线$c_2$的顶点坐标，结合其与y轴交点仍为D(0,3)求出$c_2$的解析式；再结合图象对平行于x轴的直线$l_2$的位置分类讨论，根据直线和两条抛物线的交点重合情况判断总交点个数。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$，
$\therefore$ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$，
把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，即$y=-x^2-2x+3$。
(2) 联立直线$l_1$和抛物线$c_1$的解析式得$\begin{cases}y=-x^2-2x+3\\y=x+m\end{cases}$，
消去y整理得$x^2+3x+m-3=0$，
$\because$ 直线$l_1$与$c_1$有唯一的交点，
$\therefore$ 该一元二次方程判别式$\Delta=0$，即$\Delta=9-4(m-3)=0$，
解得$m=\dfrac{21}{4}$。
(3) $\because$ 抛物线$c_2$与$c_1$关于y轴对称，
$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$，与y轴的交点仍为$D(0,3)$，
同理可得$c_2$的表达式为$y=-(x-1)^2+4$，即$y=-x^2+2x+3$。
结合图象分类讨论：
① 当直线$l_2$过$c_1$、$c_2$的顶点，即$n=4$时，$l_2$与两条抛物线各有1个交点，共2个交点；
② 当直线$l_2$过两条抛物线的公共交点$D(0,3)$，即$n=3$时，该点为重合交点，总共有3个交点；
③ 当$n＜3$或$3＜n＜4$时，$l_2$与两条抛物线各有2个互不重合的交点，共4个交点。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$
(2) $m=\dfrac{21}{4}$
(3) ①$n=4$；②$n=3$；③$n＜3$或$3＜n＜4$
【知识点】
二次函数解析式求解，直线与抛物线交点问题，二次函数图象对称
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，既包含基础的解析式求解、判别式应用，也需要结合数形结合思想和分类讨论思想判断交点个数，能有效考查对二次函数知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入图象上已知点D的坐标求出未知系数a，即可得到$c_1$的表达式。
(2) 直线与抛物线有唯一交点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$，据此列方程求解m即可。
(3) 先根据关于y轴对称的点的坐标特征得到抛物线$c_2$的顶点坐标，结合其与y轴交点仍为D(0,3)求出$c_2$的解析式；再结合图象对平行于x轴的直线$l_2$的位置分类讨论，根据直线和两条抛物线的交点重合情况判断总交点个数。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$c_1$的顶点为$A(-1,4)$，
$\therefore$ 设抛物线$c_1$的表达式为$y=a(x+1)^2+4$，
把$D(0,3)$代入$y=a(x+1)^2+4$得$3=a+4$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线$c_1$的表达式为$y=-(x+1)^2+4$，即$y=-x^2-2x+3$。
(2) 联立直线$l_1$和抛物线$c_1$的解析式得$\begin{cases}y=-x^2-2x+3\\y=x+m\end{cases}$，
消去y整理得$x^2+3x+m-3=0$，
$\because$ 直线$l_1$与$c_1$有唯一的交点，
$\therefore$ 该一元二次方程判别式$\Delta=0$，即$\Delta=9-4(m-3)=0$，
解得$m=\dfrac{21}{4}$。
(3) $\because$ 抛物线$c_2$与$c_1$关于y轴对称，
$\therefore$ 抛物线$c_2$的顶点坐标为$(1,4)$，与y轴的交点仍为$D(0,3)$，
同理可得$c_2$的表达式为$y=-(x-1)^2+4$，即$y=-x^2+2x+3$。
结合图象分类讨论：
① 当直线$l_2$过$c_1$、$c_2$的顶点，即$n=4$时，$l_2$与两条抛物线各有1个交点，共2个交点；
② 当直线$l_2$过两条抛物线的公共交点$D(0,3)$，即$n=3$时，该点为重合交点，总共有3个交点；
③ 当$n＜3$或$3＜n＜4$时，$l_2$与两条抛物线各有2个互不重合的交点，共4个交点。
【答案】
(1) $y=-x^2-2x+3$
(2) $m=\dfrac{21}{4}$
(3) ①$n=4$；②$n=3$；③$n＜3$或$3＜n＜4$
【知识点】
二次函数解析式求解，直线与抛物线交点问题，二次函数图象对称
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，既包含基础的解析式求解、判别式应用，也需要结合数形结合思想和分类讨论思想判断交点个数，能有效考查对二次函数知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
2[2026四川泸州期中,较难]当$-1＜x＜1$时,二次函数$y=3x^2+4x+c$的图象与$x$轴有且只有一个交点,则$c$的取值范围为 (
A.$\frac{4}{3}$或$c≥ -7$
B.$\frac{4}{3}$或$-7＜c≤ 1$
C.$\frac{4}{3}$或$-7≤ c＜1$
D.$\frac{4}{3}$或$c＜1$
B
)A.$\frac{4}{3}$或$c≥ -7$
B.$\frac{4}{3}$或$-7＜c≤ 1$
C.$\frac{4}{3}$或$-7≤ c＜1$
D.$\frac{4}{3}$或$c＜1$
答案
【解析】当抛物线的顶点在$x$轴上时,如图(1)
,令$y=0$,则$3x^2+4x+c=0$,$\therefore \Delta=16-12c=0$,解得$c=\dfrac{4}{3}$. 当抛物线经过点$(-1,0)$时,如图(2)
,将$(-1,0)$代入$y=3x^2+4x+c$得$3-4+c=0$,解得$c=1$. 当抛物线经过点$(1,0)$时,如图(3)
,将$(1,0)$代入$y=3x^2+4x+c$得$3+4+c=0$,解得$c=-7$. $\because$ 当$-1＜x＜1$时,二次函数$y=3x^2+4x+c$的图象与$x$轴有且只有一个交点,$\therefore -7＜c≤ 1$. 综上,$-7＜c≤ 1$或$c=\dfrac{4}{3}$. 故选B.关键点拨
本题的解题关键是确定临界的$k$值,然后利用数形结合思想得出答案.
思路分析
分别求出当抛物线的顶点在$x$轴上,抛物线经过点$(-1,0)$及抛物线经过点$(1,0)$时的$c$值,然后得出满足条件的$c$的取值范围,注意等号的取舍.
解析
【分析】
本题考查二次函数在指定开区间内与x轴仅有一个交点的参数取值问题，解题需分两类讨论：①二次函数图象的顶点在x轴上，先判断顶点横坐标在区间(-1,1)内，利用判别式Δ=0即可求解对应c值；②二次函数图象与x轴相交，在区间(-1,1)内仅有一个交点，此时区间两个端点对应的函数值异号，结合开区间的性质判断等号是否可取，最终综合两类情况得到c的取值范围。
【解析】
首先计算二次函数对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×3}=-\frac{2}{3}$，可知对称轴在区间$-1＜x＜1$内。
1. 当抛物线顶点在x轴上时，如图(1)，此时方程$3x^2+4x+c=0$有两个相等的实数根，
$\therefore\Delta=b^2-4ac=4^2-4×3× c=16-12c=0$，解得$c=\frac{4}{3}$，符合题意。
2. 当抛物线顶点不在x轴上，要满足$-1＜x＜1$时图象与x轴仅有一个交点：
①将端点$(-1,0)$代入解析式，得$3×(-1)^2+4×(-1)+c=0$，解得$c=1$，此时$x=-1$不在开区间$(-1,1)$内，符合要求，如图(2)；
②将端点$(1,0)$代入解析式，得$3×1^2+4×1+c=0$，解得$c=-7$，此时方程$3x^2+4x-7=0$的根为$x=1$和$x=-\frac{7}{3}$，均不在开区间$(-1,1)$内，不符合要求，故$c≠-7$，如图(3)。
结合抛物线开口向上的性质，可得此时c的取值范围为$-7＜c≤1$。
综上，c的取值范围是$c=\frac{4}{3}$或$-7＜c≤1$，故选B。
【答案】B
【知识点】二次函数交点问题，判别式应用，数形结合思想
【点评】本题是二次函数区间交点问题的典型题型，需明确分类讨论的思路，区分顶点相切和跨区间交点两种情况，尤其要注意开区间下端点值的取舍，结合图象分析能有效降低解题难度，对逻辑思维和数形结合能力有较好的考查作用。
【难度系数】0.5
本题考查二次函数在指定开区间内与x轴仅有一个交点的参数取值问题，解题需分两类讨论：①二次函数图象的顶点在x轴上，先判断顶点横坐标在区间(-1,1)内，利用判别式Δ=0即可求解对应c值；②二次函数图象与x轴相交，在区间(-1,1)内仅有一个交点，此时区间两个端点对应的函数值异号，结合开区间的性质判断等号是否可取，最终综合两类情况得到c的取值范围。
【解析】
首先计算二次函数对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×3}=-\frac{2}{3}$，可知对称轴在区间$-1＜x＜1$内。
1. 当抛物线顶点在x轴上时，如图(1)
，此时方程$3x^2+4x+c=0$有两个相等的实数根，$\therefore\Delta=b^2-4ac=4^2-4×3× c=16-12c=0$，解得$c=\frac{4}{3}$，符合题意。
2. 当抛物线顶点不在x轴上，要满足$-1＜x＜1$时图象与x轴仅有一个交点：
①将端点$(-1,0)$代入解析式，得$3×(-1)^2+4×(-1)+c=0$，解得$c=1$，此时$x=-1$不在开区间$(-1,1)$内，符合要求，如图(2)
；②将端点$(1,0)$代入解析式，得$3×1^2+4×1+c=0$，解得$c=-7$，此时方程$3x^2+4x-7=0$的根为$x=1$和$x=-\frac{7}{3}$，均不在开区间$(-1,1)$内，不符合要求，故$c≠-7$，如图(3)
。结合抛物线开口向上的性质，可得此时c的取值范围为$-7＜c≤1$。
综上，c的取值范围是$c=\frac{4}{3}$或$-7＜c≤1$，故选B。
【答案】B
【知识点】二次函数交点问题，判别式应用，数形结合思想
【点评】本题是二次函数区间交点问题的典型题型，需明确分类讨论的思路，区分顶点相切和跨区间交点两种情况，尤其要注意开区间下端点值的取舍，结合图象分析能有效降低解题难度，对逻辑思维和数形结合能力有较好的考查作用。
【难度系数】0.5
c子题练变式 与一次函数图象的交点问题
3[2026 四川德阳质检,中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 + bx + 2$ 与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.将抛物线位于点A,C之间的部分(包含端点)记为图象G,若直线 $y=kx + 3k + 4(k≠0)$ 与图象G有两个交点,则k的取值范围是
3[2026 四川德阳质检,中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 + bx + 2$ 与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.将抛物线位于点A,C之间的部分(包含端点)记为图象G,若直线 $y=kx + 3k + 4(k≠0)$ 与图象G有两个交点,则k的取值范围是
$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$
.答案
【解析】$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+2$过点$B(1,0)$,$\therefore -\dfrac{1}{2}+b+2=0$,$\therefore b=-\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$. 在$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$中,当$x=0$时,$y=2$,$\therefore C(0,2)$. $y=kx+3k+4=k(x+3)+4$,$\therefore$ 当$x=-3$时,$y=4$,$\therefore$ 直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$经过定点$(-3,4)$. 如图
,当直线经过点$C$时,$2=3k+4$,解得$k=-\dfrac{2}{3}$,此时直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与图象$G$有两个交点.当直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$只有一个交点时,联立$\begin{cases}y=kx+3k+4(k≠ 0),\\y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2,\end{cases}$得$x^2+(2k+3)x+6k+4=0$,故$\Delta=(2k+3)^2-4×(6k+4)=0$,解得$k_1=-\dfrac{1}{2}$,$k_2=\dfrac{7}{2}$,易知当$k=\dfrac{7}{2}$时,直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与图象$G$无交点. 当直线经过点$A$时,$0=-4k+3k+4$,解得$k=4$,此时直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与图象$G$有一个交点. 由图可知,当$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$时,直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与图象$G$有两个交点,故答案为$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先利用已知点B的坐标求出抛物线的未知参数b，得到完整的抛物线解析式，再求出点C坐标，确定图象G是x在[-4,0]区间内的抛物线段；其次将含参数k的直线解析式变形，找到直线恒过的定点，明确直线是绕该定点旋转的动直线；最后分析直线与图象G有两个交点的三类临界情况：直线过端点C、直线与抛物线相切、直线过端点A，排除不符合范围的临界值，结合图象即可确定k的取值范围。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+2$过点$B(1,0)$，$\therefore -\dfrac{1}{2}+b+2=0$，解得$b=-\dfrac{3}{2}$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$。
在$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$中，当$x=0$时，$y=2$，$\therefore C(0,2)$。
将直线解析式变形得$y=kx+3k+4=k(x+3)+4$，可知当$x=-3$时，$y=4$，与k的取值无关，即直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$经过定点$(-3,4)$。
接下来分析临界情况：
1. 当直线经过点$C$时，将$C(0,2)$代入直线解析式得$2=3k+4$，解得$k=-\dfrac{2}{3}$，此时直线与图象G有两个交点。
2. 当直线与抛物线只有一个交点时，联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=kx+3k+4(k≠ 0)\\y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$
消去y整理得$x^2+(2k+3)x+6k+4=0$，由判别式$\Delta=0$得：
$(2k+3)^2-4×(6k+4)=0$，解得$k_1=-\dfrac{1}{2}$，$k_2=\dfrac{7}{2}$，验证可知$k=\dfrac{7}{2}$时直线与抛物线的交点不在图象G范围内，故舍去。
3. 当直线经过点$A(-4,0)$时，代入直线解析式得$0=-4k+3k+4$，解得$k=4$，此时直线与图象G仅有1个交点，不符合要求。
结合图象可知，当$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$时，直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与图象G有两个交点。
【答案】
$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.一次函数定点问题
3.函数交点与判别式应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数交点的典型综合题，核心解题思路是先确定动直线的定点，再通过计算端点、相切两类临界状态的参数值，结合图象判断参数范围，重点考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.4
解决本题可按以下思路推导：首先利用已知点B的坐标求出抛物线的未知参数b，得到完整的抛物线解析式，再求出点C坐标，确定图象G是x在[-4,0]区间内的抛物线段；其次将含参数k的直线解析式变形，找到直线恒过的定点，明确直线是绕该定点旋转的动直线；最后分析直线与图象G有两个交点的三类临界情况：直线过端点C、直线与抛物线相切、直线过端点A，排除不符合范围的临界值，结合图象即可确定k的取值范围。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+2$过点$B(1,0)$，$\therefore -\dfrac{1}{2}+b+2=0$，解得$b=-\dfrac{3}{2}$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$。
在$y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2$中，当$x=0$时，$y=2$，$\therefore C(0,2)$。
将直线解析式变形得$y=kx+3k+4=k(x+3)+4$，可知当$x=-3$时，$y=4$，与k的取值无关，即直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$经过定点$(-3,4)$。
接下来分析临界情况：
1. 当直线经过点$C$时，将$C(0,2)$代入直线解析式得$2=3k+4$，解得$k=-\dfrac{2}{3}$，此时直线与图象G有两个交点。
2. 当直线与抛物线只有一个交点时，联立两个函数解析式：
$\begin{cases}y=kx+3k+4(k≠ 0)\\y=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+2\end{cases}$
消去y整理得$x^2+(2k+3)x+6k+4=0$，由判别式$\Delta=0$得：
$(2k+3)^2-4×(6k+4)=0$，解得$k_1=-\dfrac{1}{2}$，$k_2=\dfrac{7}{2}$，验证可知$k=\dfrac{7}{2}$时直线与抛物线的交点不在图象G范围内，故舍去。
3. 当直线经过点$A(-4,0)$时，代入直线解析式得$0=-4k+3k+4$，解得$k=4$，此时直线与图象G仅有1个交点，不符合要求。
结合图象可知，当$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$时，直线$y=kx+3k+4(k≠ 0)$与图象G有两个交点。
【答案】
$-\dfrac{2}{3}≤ k＜-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.一次函数定点问题
3.函数交点与判别式应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数交点的典型综合题，核心解题思路是先确定动直线的定点，再通过计算端点、相切两类临界状态的参数值，结合图象判断参数范围，重点考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.4
4[2025江苏泰州质检,中]二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$，直线AB上有一点$C(m,5)$，将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围。
答案
【解】设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠ 0)$. 把点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$代入得$\begin{cases}n=-4,\\-2k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\n=-4,\end{cases}$$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$.
把$C(m,5)$代入,得$m=-3$,$\therefore C(-3,5)$,由平移得$D(1,5)$. $\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$,$\therefore \begin{cases}c=-4,\\4a-2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-4,\\b=2a-3,\end{cases}$$\therefore y=ax^2+(2a-3)x-4$.
①当$a＞0$时,若抛物线与线段$CD$只有一个公共点,如图(1)
,则抛物线上的点$(1,a+2a-3-4)$在$D$点的下方,$\therefore a+2a-3-4＜5$,解得$a＜4$,$\therefore 0＜a＜4$.②当$a＜0$时,若抛物线的顶点在线段$CD$上,则抛物线与线段$CD$只有一个公共点,如图(2)
,$\therefore \dfrac{4ac-b^2}{4a}=5$,即$\dfrac{4a×(-4)-(2a-3)^2}{4a}=5$,解得$a=-3+\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$(舍去)或$a=-3-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$.综上,$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，结合点C的纵坐标求出C的坐标，再根据平移性质得到点D的坐标；接着将A、B两点代入二次函数解析式，用参数a表示出b、c，得到只含参数a的二次函数解析式；最后分a＞0（抛物线开口向上）和a＜0（抛物线开口向下）两种情况，结合二次函数图象与线段CD的位置关系，列出对应不等式或方程求解，汇总即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠ 0)$，把点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}n=-4\\-2k+n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3\\n=-4\end{cases}$，因此直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$。
2. 求点C、D的坐标
把$C(m,5)$代入$y=-3x-4$，得$5=-3m-4$，解得$m=-3$，即$C(-3,5)$；
点C向右平移4个单位长度得到点D，因此D点坐标为$(-3+4,5)$，即$(1,5)$。
3. 用参数a表示二次函数解析式
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$，代入得：
$\begin{cases}c=-4\\4a-2b+c=2\end{cases}$
将$c=-4$代入第二个方程，解得$b=2a-3$，因此二次函数解析式为$y=ax^2+(2a-3)x-4$。
4. 分情况讨论抛物线与线段CD的交点情况
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，如图(1)，若抛物线与线段CD只有一个公共点，将$x=1$代入二次函数得$y=a+2a-3-4=3a-7$，该点需在D点下方，即$3a-7＜5$，解得$a＜4$，因此$0＜a＜4$。
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，若抛物线的顶点在线段CD上时，抛物线与线段CD只有一个公共点，如图(2)，此时顶点纵坐标为5，根据顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=5$，代入$c=-4$、$b=2a-3$得：
$\frac{4a×(-4)-(2a-3)^2}{4a}=5$
化简求解得$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$（不符合$a＜0$，舍去）或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$。
【答案】
$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数的图象与性质；函数交点问题
【点评】
本题是一次函数、平移性质与二次函数的综合题，需要灵活运用待定系数法求函数解析式，解题时要结合分类讨论思想和数形结合思想分析交点的临界条件，注意不要遗漏开口向下时顶点在线段上的特殊情况。
【难度系数】
0.5
解题时首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，结合点C的纵坐标求出C的坐标，再根据平移性质得到点D的坐标；接着将A、B两点代入二次函数解析式，用参数a表示出b、c，得到只含参数a的二次函数解析式；最后分a＞0（抛物线开口向上）和a＜0（抛物线开口向下）两种情况，结合二次函数图象与线段CD的位置关系，列出对应不等式或方程求解，汇总即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
设直线$AB$的表达式为$y=kx+n(k≠ 0)$，把点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}n=-4\\-2k+n=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3\\n=-4\end{cases}$，因此直线$AB$的表达式为$y=-3x-4$。
2. 求点C、D的坐标
把$C(m,5)$代入$y=-3x-4$，得$5=-3m-4$，解得$m=-3$，即$C(-3,5)$；
点C向右平移4个单位长度得到点D，因此D点坐标为$(-3+4,5)$，即$(1,5)$。
3. 用参数a表示二次函数解析式
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,-4)$和$B(-2,2)$，代入得：
$\begin{cases}c=-4\\4a-2b+c=2\end{cases}$
将$c=-4$代入第二个方程，解得$b=2a-3$，因此二次函数解析式为$y=ax^2+(2a-3)x-4$。
4. 分情况讨论抛物线与线段CD的交点情况
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，如图(1)
，若抛物线与线段CD只有一个公共点，将$x=1$代入二次函数得$y=a+2a-3-4=3a-7$，该点需在D点下方，即$3a-7＜5$，解得$a＜4$，因此$0＜a＜4$。②当$a＜0$时，抛物线开口向下，若抛物线的顶点在线段CD上时，抛物线与线段CD只有一个公共点，如图(2)
，此时顶点纵坐标为5，根据顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=5$，代入$c=-4$、$b=2a-3$得：$\frac{4a×(-4)-(2a-3)^2}{4a}=5$
化简求解得$a=-3+\frac{3}{2}\sqrt{3}$（不符合$a＜0$，舍去）或$a=-3-\frac{3}{2}\sqrt{3}$。
【答案】
$a$的取值范围是$0＜a＜4$或$a=-3-\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数的图象与性质；函数交点问题
【点评】
本题是一次函数、平移性质与二次函数的综合题，需要灵活运用待定系数法求函数解析式，解题时要结合分类讨论思想和数形结合思想分析交点的临界条件，注意不要遗漏开口向下时顶点在线段上的特殊情况。
【难度系数】
0.5
5[2025河北唐山期中,中]在平面直角坐标系中,已知二次函数$y=mx^2 -x +1(m≠0)$,点$A(-1,0),B(1,1)$.若二次函数$y=mx^2 -x +1$的图象与线段AB有两个不同的交点,则m的取值范围为
$m≤-2$或$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$
.答案
【解析】①如图(1)
,当$m＜0$时,抛物线对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2m}＜0$,$\therefore x=-1$时,$y=mx^2-x+1=m+1+1≤0$,解得$m≤-2$,$\therefore m≤-2$.②如图(2)
,当$m＞0$时,$\because$ 点$A(-1,0)$,$B(1,1)$,设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$,$\therefore \begin{cases}-k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{1}{2},\end{cases}$$\therefore$ 直线$AB$的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$. 令$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=mx^2-x+1$,整理得$mx^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$. $\because$ 二次函数$y=mx^2-x+1$的图象与线段$AB$有两个不同的交点,$\therefore \Delta=(-\dfrac{3}{2})^2-4m×\dfrac{1}{2}＞0$,且$x=1$时,$y=mx^2-x+1=m-1+1≥1$,$\therefore 1≤ m＜\dfrac{9}{8}$.综上,$m$的取值范围为$m≤-2$或$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$.
关键点拨
分$m＞0$和$m＜0$两种情况讨论,分别求出$m$的取值范围即可求解.
刷有所得
此类型题采用数形结合思想,结合图形,找出临界位置可得答案.
解析
【分析】
本题是二次函数图象与线段的交点问题，解题需分情况讨论：首先二次项系数$m$的正负决定抛物线开口方向，因此分$m＜0$（开口向下）和$m＞0$（开口向上）两类分析。第一步先求线段$AB$对应的直线解析式，再将二次函数与直线解析式联立得到一元二次方程，结合图象临界位置确定限制条件：开口向下时通过$x=-1$处的函数值限制取值；开口向上时既要保证联立的方程有两个不同实根（判别式大于0），还要保证$x=1$处二次函数值不小于点$B$的纵坐标，综合两类情况的结果即可得到最终取值范围。
【解析】
① 当$m＜0$时，抛物线$y=mx^2 -x +1$开口向下，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2m}＜0$，在$y$轴左侧。要使抛物线与线段$AB$有两个不同交点，$x=-1$时二次函数值需满足$y≤0$，代入得：
$y=m×(-1)^2 - (-1)+1 = m+2 ≤ 0$，解得$m≤-2$，该范围满足条件。
② 当$m＞0$时，抛物线开口向上，先求直线$AB$的解析式：设直线$AB$表达式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(1,1)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 0 \\ k + b = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{1}{2} \end{cases}$，即直线$AB$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$。
联立二次函数与直线解析式：$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=mx^2 -x +1$，整理得$mx^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$。
抛物线与线段$AB$有两个不同交点，说明上述一元二次方程有两个不同实根，即判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = (-\dfrac{3}{2})^2 -4× m × \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4} - 2m ＞0$，解得$m＜\dfrac{9}{8}$。
同时$x=1$时，二次函数值需不小于点$B$的纵坐标$1$，代入得$y=m×1^2 -1 +1 = m ≥1$。
因此$m＞0$时，取值范围为$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$。
综上，$m$的取值范围为$m≤-2$或$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$。
【答案】
$m≤-2$或$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数解析式求解，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题需要结合分类讨论和数形结合思想解题，核心是要注意交点落在线段上的限制：除了保证方程有两个不同实根外，还需要通过端点的函数值限定范围，避免出现交点落在线段外的错误。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数图象与线段的交点问题，解题需分情况讨论：首先二次项系数$m$的正负决定抛物线开口方向，因此分$m＜0$（开口向下）和$m＞0$（开口向上）两类分析。第一步先求线段$AB$对应的直线解析式，再将二次函数与直线解析式联立得到一元二次方程，结合图象临界位置确定限制条件：开口向下时通过$x=-1$处的函数值限制取值；开口向上时既要保证联立的方程有两个不同实根（判别式大于0），还要保证$x=1$处二次函数值不小于点$B$的纵坐标，综合两类情况的结果即可得到最终取值范围。
【解析】
① 当$m＜0$时，抛物线$y=mx^2 -x +1$开口向下，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2m}＜0$，在$y$轴左侧。要使抛物线与线段$AB$有两个不同交点，$x=-1$时二次函数值需满足$y≤0$，代入得：
$y=m×(-1)^2 - (-1)+1 = m+2 ≤ 0$，解得$m≤-2$，该范围满足条件。
② 当$m＞0$时，抛物线开口向上，先求直线$AB$的解析式：设直线$AB$表达式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$、$B(1,1)$代入得：
$\begin{cases} -k + b = 0 \\ k + b = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{1}{2} \end{cases}$，即直线$AB$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$。
联立二次函数与直线解析式：$\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=mx^2 -x +1$，整理得$mx^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$。
抛物线与线段$AB$有两个不同交点，说明上述一元二次方程有两个不同实根，即判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = (-\dfrac{3}{2})^2 -4× m × \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4} - 2m ＞0$，解得$m＜\dfrac{9}{8}$。
同时$x=1$时，二次函数值需不小于点$B$的纵坐标$1$，代入得$y=m×1^2 -1 +1 = m ≥1$。
因此$m＞0$时，取值范围为$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$。
综上，$m$的取值范围为$m≤-2$或$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$。
【答案】
$m≤-2$或$1≤ m＜\dfrac{9}{8}$
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数解析式求解，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题需要结合分类讨论和数形结合思想解题，核心是要注意交点落在线段上的限制：除了保证方程有两个不同实根外，还需要通过端点的函数值限定范围，避免出现交点落在线段外的错误。
【难度系数】
0.6
6[2025山东临沂期中，中]如图，已知抛物线$y=-x^2+4x-2$和线段MN，点M和点N的坐标分别为$(0,4),(5,4)$，将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后与线段MN仅有一个交点，则k的取值范围是
$k=2$或$6＜k≤11$
。答案
【解析】$y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$,将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后得到的抛物线的表达式为$y=-(x-2)^2+2+k$. 当抛物线顶点恰好平移到线段$MN$上时,$2+k=4$,解得$k=2$. 当平移后的抛物线经过点$M(0,4)$时,$-(0-2)^2+2+k=4$,解得$k=6$,此时$M(0,4)$关于对称轴直线$x=2$对称的点的坐标为$(4,4)$,在线段$MN$上,不符合题意. 当平移后的抛物线经过点$N(5,4)$时,$-(5-2)^2+2+k=4$,解得$k=11$,此时$N(5,4)$关于对称轴直线$x=2$对称的点的坐标为$(-1,4)$,不在线段$MN$上,符合题意. 结合图象可知,平移后的抛物线与线段$MN$仅有一个交点时,$k=2$或$6＜k≤11$. 故答案为$k=2$或$6＜k≤11$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，抛物线向上平移遵循“上加下减”的规律，先写出平移后的抛物线解析式；其次，线段MN的纵坐标恒为4，x的范围是0≤x≤5，抛物线与线段MN仅有一个交点等价于平移后的抛物线和直线y=4在0≤x≤5范围内只有一个解。分两类讨论：①抛物线顶点落在MN上，此时抛物线与y=4相切，只有一个交点；②抛物线与y=4的两个交点仅有一个落在0≤x≤5范围内，此时需要计算抛物线经过M、N点时的k值，再结合二次函数的对称性判断交点是否在线段上，最终确定k的范围。
【解析】
先将原抛物线配方得：$y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$，
将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后，得到的抛物线解析式为$y=-(x-2)^2+2+k$。
1. 当抛物线顶点恰好落在线段MN上时，顶点纵坐标等于4，即$2+k=4$，解得$k=2$，此时抛物线与MN仅有一个交点，符合题意。
2. 当平移后的抛物线经过点$M(0,4)$时，将坐标代入解析式得：$-(0-2)^2+2+k=4$，解得$k=6$。此时抛物线与直线y=4的另一个交点是M关于对称轴$x=2$的对称点$(4,4)$，该点在线段MN上，此时抛物线与MN有两个交点，不符合题意。
3. 当平移后的抛物线经过点$N(5,4)$时，将坐标代入解析式得：$-(5-2)^2+2+k=4$，解得$k=11$。此时抛物线与直线y=4的另一个交点是N关于对称轴$x=2$的对称点$(-1,4)$，该点不在线段MN上，此时抛物线与MN仅有一个交点，符合题意。
结合图象可知，当$6＜k≤11$时，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点。
【答案】
$k=2$或$6＜k≤11$
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数对称性，函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数图象交点的综合题，解题时需要分类讨论，既要考虑顶点与线段相切的特殊情况，也要结合二次函数的对称性判断交点是否落在线段范围内，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，抛物线向上平移遵循“上加下减”的规律，先写出平移后的抛物线解析式；其次，线段MN的纵坐标恒为4，x的范围是0≤x≤5，抛物线与线段MN仅有一个交点等价于平移后的抛物线和直线y=4在0≤x≤5范围内只有一个解。分两类讨论：①抛物线顶点落在MN上，此时抛物线与y=4相切，只有一个交点；②抛物线与y=4的两个交点仅有一个落在0≤x≤5范围内，此时需要计算抛物线经过M、N点时的k值，再结合二次函数的对称性判断交点是否在线段上，最终确定k的范围。
【解析】
先将原抛物线配方得：$y=-x^2+4x-2=-(x-2)^2+2$，
将抛物线向上平移$k(k＞0)$个单位长度后，得到的抛物线解析式为$y=-(x-2)^2+2+k$。
1. 当抛物线顶点恰好落在线段MN上时，顶点纵坐标等于4，即$2+k=4$，解得$k=2$，此时抛物线与MN仅有一个交点，符合题意。
2. 当平移后的抛物线经过点$M(0,4)$时，将坐标代入解析式得：$-(0-2)^2+2+k=4$，解得$k=6$。此时抛物线与直线y=4的另一个交点是M关于对称轴$x=2$的对称点$(4,4)$，该点在线段MN上，此时抛物线与MN有两个交点，不符合题意。
3. 当平移后的抛物线经过点$N(5,4)$时，将坐标代入解析式得：$-(5-2)^2+2+k=4$，解得$k=11$。此时抛物线与直线y=4的另一个交点是N关于对称轴$x=2$的对称点$(-1,4)$，该点不在线段MN上，此时抛物线与MN仅有一个交点，符合题意。
结合图象可知，当$6＜k≤11$时，平移后的抛物线与线段MN仅有一个交点。
【答案】
$k=2$或$6＜k≤11$
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数对称性，函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数图象交点的综合题，解题时需要分类讨论，既要考虑顶点与线段相切的特殊情况，也要结合二次函数的对称性判断交点是否落在线段范围内，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
