登录
1[中]如图,已知抛物线过点$O(0,0),A(5,5)$,其对称轴为直线$x=2$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限.
①当$△ OAB$的面积为$15$时,求点$B$的坐标;
②在①的条件下,$P$是抛物线上的动点,当$PA-PB$取得最大值时,求点$P$的坐标.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$B$是抛物线对称轴上的一点,且点$B$在第一象限.
①当$△ OAB$的面积为$15$时,求点$B$的坐标;
②在①的条件下,$P$是抛物线上的动点,当$PA-PB$取得最大值时,求点$P$的坐标.
答案
(1)
∵ 抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为直线x=2,
∴ 抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(4,0).
设抛物线表达式为y=ax(x-4).
把A(5,5)代入,得5a=5,解得a=1,
∴ 此抛物线的表达式为y=x²-4x.
(2)①
,点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,∴ 设B(2,m)(m＞0),直线OA的表达式为y=kx,则5k=5,解得k=1,
∴ 直线OA的表达式为y=x.
设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),
∴ BH=|m-2|.
∵ S△OAB=15,
∴ $\frac{1}{2}$×|m-2|×5=15,解得m=8或m=-4(舍去),
∴ 点B的坐标为(2,8).
②设直线AB的表达式为y=cx+d.把A(5,5),B(2,8)代入得$\begin{cases}5c+d=5,\\2c+d=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-1,\\d=10,\end{cases}$
∴ 直线AB的表达式为y=-x+10.
,当PA-PB的值最大时,点A,B,P在同一条直线上.∵ P是抛物线上的动点,
∴ 联立得$\begin{cases}y=-x+10,\\y=x²-4x,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_1=-2,\\y_1=12,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=5,\\y_2=5,\end{cases}$(舍去),
∴ P(-2,12).
关键点拨
(2)② 当 P,B,A 共线时,PA-PB 的值最大.
解析
【分析】
(1)求抛物线表达式：已知抛物线过原点$O(0,0)$，对称轴为直线$x=2$，根据抛物线的对称性可推出它与$x$轴的另一个交点坐标为$(4,0)$，因此可设交点式$y=ax(x-4)$，再将点$A(5,5)$代入求解即可得到$a$的值，整理得到抛物线表达式。
(2)①求点$B$的坐标：点$B$在对称轴$x=2$上，可设$B(2,m)$（$m＞0$，因为$B$在第一象限），先求出直线$OA$的解析式，找到$OA$与对称轴$x=2$的交点$H$，$△ OAB$的面积可表示为$\frac{1}{2} × BH ×$点$O$到点$A$的水平距离$5$，代入面积值$15$即可求解$m$，舍去不符合要求的负值得到$B$的坐标。
②求$P$点坐标：根据三角形三边关系，对于任意不共线的三点$P、A、B$，都有$PA-PB＜AB$，当三点共线时$PA-PB=AB$，此时$PA-PB$取得最大值，因此只需求出直线$AB$的解析式，与抛物线解析式联立求解，舍去与$A$点重合的解，即可得到$P$点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(4,0)$，
设抛物线表达式为$y=ax(x-4)$，
把$A(5,5)$代入表达式，得$5a=5$，解得$a=1$，
∴ 此抛物线的表达式为$y=x(x-4)=x^2-4x$。
(2)①，点$B$是抛物线对称轴上的点，且在第一象限，
设$B(2,m)(m＞0)$，设直线$OA$的表达式为$y=kx$，
将$A(5,5)$代入得$5k=5$，解得$k=1$，
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$，
设直线$OA$与抛物线对称轴$x=2$交于点$H$，将$x=2$代入$y=x$得$y=2$，即$H(2,2)$，
∴ $BH=|m-2|$，
∵ $S_{△ OAB}=15$，
∴ $\frac{1}{2} × |m-2| × 5 = 15$，解得$m=8$或$m=-4$（不符合$m＞0$舍去），
∴ 点$B$的坐标为$(2,8)$。
②设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$，把$A(5,5)$、$B(2,8)$代入得：
$\begin{cases}5c+d=5\\2c+d=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}c=-1\\d=10\end{cases}$，
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$，
，根据三角形三边关系可知，当$P、B、A$三点共线时，$PA-PB$的值最大，
∵ $P$是抛物线上的动点，联立直线$AB$与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=-x+10\\y=x^2-4x\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=-2\\y_1=12\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=5\\y_2=5\end{cases}$（为点$A$，舍去），
∴ 点$P$的坐标为$(-2,12)$。
【答案】
(1)抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-4x}$；
(2)①点$B$的坐标为$\boldsymbol{(2,8)}$；②点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,12)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数面积计算，线段差最值问题
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了抛物线对称性的应用、待定系数法求函数解析式、三角形面积的计算、线段差的最值求解，解题的关键是掌握“三点共线时线段差取得最大值”这一常用结论，是二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1)求抛物线表达式：已知抛物线过原点$O(0,0)$，对称轴为直线$x=2$，根据抛物线的对称性可推出它与$x$轴的另一个交点坐标为$(4,0)$，因此可设交点式$y=ax(x-4)$，再将点$A(5,5)$代入求解即可得到$a$的值，整理得到抛物线表达式。
(2)①求点$B$的坐标：点$B$在对称轴$x=2$上，可设$B(2,m)$（$m＞0$，因为$B$在第一象限），先求出直线$OA$的解析式，找到$OA$与对称轴$x=2$的交点$H$，$△ OAB$的面积可表示为$\frac{1}{2} × BH ×$点$O$到点$A$的水平距离$5$，代入面积值$15$即可求解$m$，舍去不符合要求的负值得到$B$的坐标。
②求$P$点坐标：根据三角形三边关系，对于任意不共线的三点$P、A、B$，都有$PA-PB＜AB$，当三点共线时$PA-PB=AB$，此时$PA-PB$取得最大值，因此只需求出直线$AB$的解析式，与抛物线解析式联立求解，舍去与$A$点重合的解，即可得到$P$点坐标。
【解析】
(1)
∵ 抛物线过点$O(0,0)$，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标为$(4,0)$，
设抛物线表达式为$y=ax(x-4)$，
把$A(5,5)$代入表达式，得$5a=5$，解得$a=1$，
∴ 此抛物线的表达式为$y=x(x-4)=x^2-4x$。
(2)①
，点$B$是抛物线对称轴上的点，且在第一象限，设$B(2,m)(m＞0)$，设直线$OA$的表达式为$y=kx$，
将$A(5,5)$代入得$5k=5$，解得$k=1$，
∴ 直线$OA$的表达式为$y=x$，
设直线$OA$与抛物线对称轴$x=2$交于点$H$，将$x=2$代入$y=x$得$y=2$，即$H(2,2)$，
∴ $BH=|m-2|$，
∵ $S_{△ OAB}=15$，
∴ $\frac{1}{2} × |m-2| × 5 = 15$，解得$m=8$或$m=-4$（不符合$m＞0$舍去），
∴ 点$B$的坐标为$(2,8)$。
②设直线$AB$的表达式为$y=cx+d$，把$A(5,5)$、$B(2,8)$代入得：
$\begin{cases}5c+d=5\\2c+d=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}c=-1\\d=10\end{cases}$，
∴ 直线$AB$的表达式为$y=-x+10$，
，根据三角形三边关系可知，当$P、B、A$三点共线时，$PA-PB$的值最大，∵ $P$是抛物线上的动点，联立直线$AB$与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=-x+10\\y=x^2-4x\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=-2\\y_1=12\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=5\\y_2=5\end{cases}$（为点$A$，舍去），
∴ 点$P$的坐标为$(-2,12)$。
【答案】
(1)抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-4x}$；
(2)①点$B$的坐标为$\boldsymbol{(2,8)}$；②点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,12)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数面积计算，线段差最值问题
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了抛物线对称性的应用、待定系数法求函数解析式、三角形面积的计算、线段差的最值求解，解题的关键是掌握“三点共线时线段差取得最大值”这一常用结论，是二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.6
2[中]如图,抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,$OA=2,OC=8$,连接AC和BC.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点D在抛物线的对称轴上,当$△ ACD$的周长最小时,求点D的坐标.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点D在抛物线的对称轴上,当$△ ACD$的周长最小时,求点D的坐标.
答案
(1)
∵ OA=2,OC=8,
∴ A(-2,0),C(0,-8).
将A(-2,0),C(0,-8)代入y=x²+bx+c,得$\begin{cases}4-2b+c=0,\\c=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-8,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为y=x²-2x-8.
(2)由y=x²-2x-8可知,抛物线对称轴为直线x=1.由抛物线的对称性可知,点A与点B关于对称轴对称.
,设BC交对称轴于点D,连接AD,则AD=BD.由两点之间线段最短可知,此时AD+CD最小,而AC的长度是定值,故此时△ACD的周长取得最小值.由y=x²-2x-8可知,点B的坐标为(4,0).
设直线BC的表达式为y=kx-8,将点B(4,0)代入,得k=2,
∴ 直线BC的表达式为y=2x-8,当x=1时,y=-6,
∴ 点D的坐标为(1,-6).
思路分析
(2) 设 BC 交对称轴于点 D, 由抛物线的对称性可知 AD=BD, 由两点之间线段最短可知, 此时 AD+CD 有最小值, 而 AC 的长度是定值, 故此时△ACD 的周长取得最小值, 求出直线 BC 的表达式, 即可得到答案.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式需先确定抛物线上两个已知点的坐标：根据OA=2、OC=8结合图像位置，可得A(-2,0)、C(0,-8)，再将两点坐标代入抛物线一般式，解关于b、c的二元一次方程组，即可求出系数得到解析式。
(2) △ACD的周长=AC+CD+AD，其中AC为定值，因此只需让CD+AD最小即可。根据抛物线对称性，点A与点B关于对称轴对称，故AD=BD，可将CD+AD转化为CD+BD，由两点之间线段最短可知，当B、D、C三点共线时，CD+BD最小，即D为直线BC与对称轴的交点。后续求出直线BC解析式，代入对称轴的x值即可得到D点坐标。
【解析】
(1) $\because OA=2,OC=8,$
$\therefore A(-2,0),C(0,-8).$
将$A(-2,0),C(0,-8)$代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}4-2b+c=0,\\c=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-8,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-8$.
(2) 由$y=x^2-2x-8$可知,抛物线对称轴为直线$x=1$.由抛物线的对称性可知,点A与点B关于对称轴对称.
,设BC交对称轴于点D,连接AD,则$AD=BD$.
由两点之间线段最短可知,此时$AD+CD$最小,而AC的长度是定值,故此时$△ ACD$的周长取得最小值.由$y=x^2-2x-8$可知,点B的坐标为$(4,0)$.
设直线BC的表达式为$y=kx-8$,将点$B(4,0)$代入,得$k=2$,
$\therefore$ 直线BC的表达式为$y=2x-8$,当$x=1$时,$y=-6$,
$\therefore$ 点D的坐标为$(1,-6)$.
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,-6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数最值类的典型题，第一问属于基础考点，考查二次函数解析式的求解方法；第二问借助抛物线对称性转化线段，结合两点之间线段最短的几何性质求最值，体现了转化思想的应用，要求学生能灵活结合几何性质解决函数类最值问题。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线表达式需先确定抛物线上两个已知点的坐标：根据OA=2、OC=8结合图像位置，可得A(-2,0)、C(0,-8)，再将两点坐标代入抛物线一般式，解关于b、c的二元一次方程组，即可求出系数得到解析式。
(2) △ACD的周长=AC+CD+AD，其中AC为定值，因此只需让CD+AD最小即可。根据抛物线对称性，点A与点B关于对称轴对称，故AD=BD，可将CD+AD转化为CD+BD，由两点之间线段最短可知，当B、D、C三点共线时，CD+BD最小，即D为直线BC与对称轴的交点。后续求出直线BC解析式，代入对称轴的x值即可得到D点坐标。
【解析】
(1) $\because OA=2,OC=8,$
$\therefore A(-2,0),C(0,-8).$
将$A(-2,0),C(0,-8)$代入$y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}4-2b+c=0,\\c=-8,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=-8,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=x^2-2x-8$.
(2) 由$y=x^2-2x-8$可知,抛物线对称轴为直线$x=1$.由抛物线的对称性可知,点A与点B关于对称轴对称.
,设BC交对称轴于点D,连接AD,则$AD=BD$.由两点之间线段最短可知,此时$AD+CD$最小,而AC的长度是定值,故此时$△ ACD$的周长取得最小值.由$y=x^2-2x-8$可知,点B的坐标为$(4,0)$.
设直线BC的表达式为$y=kx-8$,将点$B(4,0)$代入,得$k=2$,
$\therefore$ 直线BC的表达式为$y=2x-8$,当$x=1$时,$y=-6$,
$\therefore$ 点D的坐标为$(1,-6)$.
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$；
(2) 点D的坐标为$\boldsymbol{(1,-6)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数最值类的典型题，第一问属于基础考点，考查二次函数解析式的求解方法；第二问借助抛物线对称性转化线段，结合两点之间线段最短的几何性质求最值，体现了转化思想的应用，要求学生能灵活结合几何性质解决函数类最值问题。
【难度系数】
0.65
3[中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^2-4x+c$与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点C的坐标为(0,5).
(1)求点A的坐标;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值.
(1)求点A的坐标;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值.
答案
(1)
∵ 点C(0,5)在抛物线y=-x²-4x+c上,
∴ c=5,
∴ y=-x²-4x+5,
令y=0,得0=-x²-4x+5,解得x=1或-5,
∴ 点A的坐标为(-5,0).
(2)由(1)知,B(1,0).
过P作PE⊥AC于点E,作PF⊥x轴于点F,交AC于点H,
.∵ A(-5,0),C(0,5),
∴ OA=OC,
∴ △AOC是等腰直角三角形,
∴ ∠CAO=45°.
∵ PF⊥x轴,
∴ ∠AHF=45°=∠PHE,
∴ △PHE是等腰直角三角形,
∴ 易得PE=$\frac{PH}{\sqrt{2}}$,
∴ 当PH取最大值时,PE取最大值.
设直线AC的表达式为y=kx+5,将A(-5,0)代入得0=-5k+5,
∴ k=1,
∴ 直线AC的表达式为y=x+5.
设P(m,-m²-4m+5)(-5＜m＜0),则H(m,m+5),
∴ PH=(-m²-4m+5)-(m+5)=$-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$.
∵ -1＜0,
∴ 当m=-$\frac{5}{2}$时,PH取得最大值,为$\frac{25}{4}$,
∴ PE=$\frac{25}{4\sqrt{2}}$=$\frac{25\sqrt{2}}{8}$,
∴ 点P到直线AC距离的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$.
解析
【分析】
(1) 求解点A坐标，首先利用点C在抛物线上的条件，代入抛物线解析式求出参数c，得到完整的二次函数表达式；再令y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴交点的横坐标，结合A在B左侧的位置特征，即可确定A的坐标。
(2) 求点P到直线AC的最大距离，首先用待定系数法求出直线AC的解析式；观察到△AOC为等腰直角三角形，过P作x轴垂线交AC于H后，可得点P到AC的距离与线段PH成固定比例，因此只需先求PH的最大值即可。设点P横坐标为m，用含m的代数式表示PH的长度，得到关于m的二次函数，利用二次函数性质求出PH的最大值，再转化为点P到AC的最大距离。
【解析】
(1)
∵ 点C(0,5)在抛物线$y=-x^2-4x+c$上，
∴ 代入得$c=5$，
∴ 抛物线解析式为$y=-x^2-4x+5$，
令$y=0$，得$0=-x^2-4x+5$，解得$x=1$或$x=-5$，
∵ 点A在点B左侧，
∴ 点A的坐标为$(-5,0)$。
(2) 由(1)知，点B的坐标为$(1,0)$，
过P作$PE⊥ AC$于点E，作$PF⊥ x$轴于点F，交AC于点H，
∵ $A(-5,0)$，$C(0,5)$，
∴ $OA=OC=5$，$△ AOC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ CAO=45°$，
∵ $PF⊥ x$轴，
∴ $∠ AHF=45°=∠ PHE$，$△ PHE$是等腰直角三角形，
∴ $PE=\frac{PH}{\sqrt{2}}$，即当PH取最大值时，PE取最大值。
设直线AC的表达式为$y=kx+5$，将$A(-5,0)$代入得$0=-5k+5$，解得$k=1$，
∴ 直线AC的表达式为$y=x+5$。
设$P(m,-m^2-4m+5)$（$-5＜m＜0$），则$H(m,m+5)$，
∴ $PH=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$，
∵ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$m=-\frac{5}{2}$时，PH取得最大值$\frac{25}{4}$，
此时$PE=\frac{\frac{25}{4}}{\sqrt{2}}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$；
(2) 点P到直线AC距离的最大值为$\boldsymbol{\frac{25\sqrt{2}}{8}}$。
【知识点】
二次函数的性质，一次函数解析式，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的综合题型，核心解题思路是将点到直线的距离转化为易于表示的铅垂线段最值，再利用二次函数的性质求解，是二次函数最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1) 求解点A坐标，首先利用点C在抛物线上的条件，代入抛物线解析式求出参数c，得到完整的二次函数表达式；再令y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴交点的横坐标，结合A在B左侧的位置特征，即可确定A的坐标。
(2) 求点P到直线AC的最大距离，首先用待定系数法求出直线AC的解析式；观察到△AOC为等腰直角三角形，过P作x轴垂线交AC于H后，可得点P到AC的距离与线段PH成固定比例，因此只需先求PH的最大值即可。设点P横坐标为m，用含m的代数式表示PH的长度，得到关于m的二次函数，利用二次函数性质求出PH的最大值，再转化为点P到AC的最大距离。
【解析】
(1)
∵ 点C(0,5)在抛物线$y=-x^2-4x+c$上，
∴ 代入得$c=5$，
∴ 抛物线解析式为$y=-x^2-4x+5$，
令$y=0$，得$0=-x^2-4x+5$，解得$x=1$或$x=-5$，
∵ 点A在点B左侧，
∴ 点A的坐标为$(-5,0)$。
(2) 由(1)知，点B的坐标为$(1,0)$，
过P作$PE⊥ AC$于点E，作$PF⊥ x$轴于点F，交AC于点H，
∵ $A(-5,0)$，$C(0,5)$，
∴ $OA=OC=5$，$△ AOC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ CAO=45°$，
∵ $PF⊥ x$轴，
∴ $∠ AHF=45°=∠ PHE$，$△ PHE$是等腰直角三角形，
∴ $PE=\frac{PH}{\sqrt{2}}$，即当PH取最大值时，PE取最大值。
设直线AC的表达式为$y=kx+5$，将$A(-5,0)$代入得$0=-5k+5$，解得$k=1$，
∴ 直线AC的表达式为$y=x+5$。
设$P(m,-m^2-4m+5)$（$-5＜m＜0$），则$H(m,m+5)$，
∴ $PH=(-m^2-4m+5)-(m+5)=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$，
∵ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当$m=-\frac{5}{2}$时，PH取得最大值$\frac{25}{4}$，
此时$PE=\frac{\frac{25}{4}}{\sqrt{2}}=\frac{25\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(-5,0)}$；
(2) 点P到直线AC距离的最大值为$\boldsymbol{\frac{25\sqrt{2}}{8}}$。
【知识点】
二次函数的性质，一次函数解析式，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的综合题型，核心解题思路是将点到直线的距离转化为易于表示的铅垂线段最值，再利用二次函数的性质求解，是二次函数最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
