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1[2026山西吕梁期末,中]某镇黄金梨种植基地迎来丰收季,黄澄澄的梨果挂满枝头,果农们忙碌采摘,洋溢着喜悦.该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路,立足资源禀赋,优化农业结构,发展特色林果经济,创新“合作社+基地+种植户”模式,带动农户抱团发展.某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨,如果以20元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克;如果以25元/千克的价格销售,那么每天可售出200千克.根据销售经验可知,每天的销售量y(单位:千克)与销售价格x(x≥20,且x为整数,单位:元/千克)之间为一次函数关系.
(1)y与x之间的函数关系式为
(不用写出自变量的取值范围)
(2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w(元),则当销售价格为多少时,每天获得的利润w最大?最大利润是多少?
(3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%,而该合作社销售黄金梨每天获得的利润为2520元,请直接写出x的值.
(1)y与x之间的函数关系式为
y=-20x+700
.(不用写出自变量的取值范围)
(2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w(元),则当销售价格为多少时,每天获得的利润w最大?最大利润是多少?
(3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%,而该合作社销售黄金梨每天获得的利润为2520元,请直接写出x的值.
答案
【解】(1)设每天的销售量$y$与销售价格$x$之间的函数关系式为$y=kx+b$.
由题意可得$\begin{cases}20k+b=300,\\25k+b=200,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-20,\\b=700,\end{cases}$
∴ $y=-20x+700$. 故答案为$y=-20x+700$.
(2)依题意,得 $w=(x-12)y=(x-12)(-20x+700) = -20x^2+940x-8400 = -20(x-23.5)^2+2645$.
∵ $x≥20$,且$x$为整数,
∴ 当$x=23$或24时,每天获得的利润$w$最大,最大利润为$(23-12)(-20×23+700)=11×240=2640$(元).
答:当销售价格为23元/千克或24元/千克时,每天获得的利润$w$最大,最大利润为2640元.
(3)$x=21$. 依题意,得$(x-12)(-20x+700)=2520$,解得$x=21$或$x=26$.
∵ 物价局规定商品的利润率不能高于100%,
∴ $x≤2×12$,即$x≤24$,
∴ $x=21$.
由题意可得$\begin{cases}20k+b=300,\\25k+b=200,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-20,\\b=700,\end{cases}$
∴ $y=-20x+700$. 故答案为$y=-20x+700$.
(2)依题意,得 $w=(x-12)y=(x-12)(-20x+700) = -20x^2+940x-8400 = -20(x-23.5)^2+2645$.
∵ $x≥20$,且$x$为整数,
∴ 当$x=23$或24时,每天获得的利润$w$最大,最大利润为$(23-12)(-20×23+700)=11×240=2640$(元).
答:当销售价格为23元/千克或24元/千克时,每天获得的利润$w$最大,最大利润为2640元.
(3)$x=21$. 依题意,得$(x-12)(-20x+700)=2520$,解得$x=21$或$x=26$.
∵ 物价局规定商品的利润率不能高于100%,
∴ $x≤2×12$,即$x≤24$,
∴ $x=21$.
解析
【分析】
(1) 已知销售量y与销售价格x为一次函数关系，因此先设函数解析式为$y=kx+b$，将题目给出的两组对应值（$x=20，y=300$；$x=25，y=200$）代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到y与x的函数关系式。
(2) 根据“总利润=每千克利润×销售量”的数量关系，每千克利润为$(x-12)$元，销售量为(1)中所求的y，代入可得w关于x的函数关系式，整理为二次函数顶点式后，结合$x≥20$且x为整数的限制，选取距离顶点横坐标最近的整数值代入，即可求出最大利润及对应的售价。
(3) 令$w=2520$，列一元二次方程求解，再根据“利润率不高于100%”的规定，计算出最高售价为$12×(1+100\%)=24$元，舍去超出范围的解，即可得到符合要求的x值。
【解析】
(1) 设每天的销售量$y$与销售价格$x$之间的函数关系式为$y=kx+b$，
由题意可得$\begin{cases}20k+b=300,\\25k+b=200,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-20,\\b=700,\end{cases}$
∴ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=-20x+700$。
(2) 依题意，得：
$w=(x-12)y=(x-12)(-20x+700) = -20x^2+940x-8400 = -20(x-23.5)^2+2645$，
∵ $x≥20$，且$x$为整数，
∴ 当$x=23$或24时，$w$取得最大值，
最大利润为$(23-12)(-20×23+700)=11×240=2640$（元）。
答：当销售价格为23元/千克或24元/千克时，每天获得的利润$w$最大，最大利润是2640元。
(3) 依题意，得$(x-12)(-20x+700)=2520$，
解得$x=21$或$x=26$，
∵ 物价局规定商品的利润率不能高于100%，
∴ $x≤12×(1+100\%)=24$，
∴ 舍去$x=26$，即$x=21$。
【答案】
(1) $y=-20x+700$
(2) 当销售价格为23元/千克或24元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润为2640元
(3) $x=21$
【知识点】
一次函数解析式的确定；二次函数的最值应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合特色农产品销售的实际背景，综合考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的相关知识，解题时需注意题目中自变量的隐藏限制条件，如x为整数、利润率上限等，避免出现多解、错解，是销售利润类问题的典型考法，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知销售量y与销售价格x为一次函数关系，因此先设函数解析式为$y=kx+b$，将题目给出的两组对应值（$x=20，y=300$；$x=25，y=200$）代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到y与x的函数关系式。
(2) 根据“总利润=每千克利润×销售量”的数量关系，每千克利润为$(x-12)$元，销售量为(1)中所求的y，代入可得w关于x的函数关系式，整理为二次函数顶点式后，结合$x≥20$且x为整数的限制，选取距离顶点横坐标最近的整数值代入，即可求出最大利润及对应的售价。
(3) 令$w=2520$，列一元二次方程求解，再根据“利润率不高于100%”的规定，计算出最高售价为$12×(1+100\%)=24$元，舍去超出范围的解，即可得到符合要求的x值。
【解析】
(1) 设每天的销售量$y$与销售价格$x$之间的函数关系式为$y=kx+b$，
由题意可得$\begin{cases}20k+b=300,\\25k+b=200,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-20,\\b=700,\end{cases}$
∴ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=-20x+700$。
(2) 依题意，得：
$w=(x-12)y=(x-12)(-20x+700) = -20x^2+940x-8400 = -20(x-23.5)^2+2645$，
∵ $x≥20$，且$x$为整数，
∴ 当$x=23$或24时，$w$取得最大值，
最大利润为$(23-12)(-20×23+700)=11×240=2640$（元）。
答：当销售价格为23元/千克或24元/千克时，每天获得的利润$w$最大，最大利润是2640元。
(3) 依题意，得$(x-12)(-20x+700)=2520$，
解得$x=21$或$x=26$，
∵ 物价局规定商品的利润率不能高于100%，
∴ $x≤12×(1+100\%)=24$，
∴ 舍去$x=26$，即$x=21$。
【答案】
(1) $y=-20x+700$
(2) 当销售价格为23元/千克或24元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润为2640元
(3) $x=21$
【知识点】
一次函数解析式的确定；二次函数的最值应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合特色农产品销售的实际背景，综合考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的相关知识，解题时需注意题目中自变量的隐藏限制条件，如x为整数、利润率上限等，避免出现多解、错解，是销售利润类问题的典型考法，能有效考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
2[中]某商店销售一种商品,经市场调查发现,在实际销售中,售价x为整数,且该商品的日销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数,其售价x(元/件)、日销售量y(件)、日销售利润w(元)的部分对应值如下表:
注:日销售利润=日销售量×(售价-进价)
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当该商品的售价是多少时,日销售利润最大?并求出最大利润.
(3)现商店决定每销售1件商品就捐赠m元利润(m≤6)给“精准扶贫”对象,要求:在每件售价不超过52元时,每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大,求m的取值范围.
注:日销售利润=日销售量×(售价-进价)
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当该商品的售价是多少时,日销售利润最大?并求出最大利润.
(3)现商店决定每销售1件商品就捐赠m元利润(m≤6)给“精准扶贫”对象,要求:在每件售价不超过52元时,每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大,求m的取值范围.
答案
【解】(1)设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$.
根据题意,得$\begin{cases}40k+b=300,\\45k+b=250,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-10,\\b=700,\end{cases}$
∴ $y$关于$x$的函数表达式为$y=-10x+700$.
(2)由题表数据可知,每件商品进价为$\dfrac{300×40-3000}{300}=30$(元),
则该商品的日销售利润 $w=(x-30)y=(x-30)·(-10x+700) = -10x^2+1000x-21000 = -10(x-50)^2+4000$.
∵ $-10＜0$,
∴ 当$x=50$时,$w$有最大值,最大值为4000,
∴ 当该商品的售价是50元/件时,日销售利润最大,最大利润为4000元.
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为$w'$元.
根据题意,得 $w'=(x-30-m)(-10x+700) = -10x^2+(1000+10m)x-21000-700m$,
∴ 该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1000+10m}{2×(-10)}=50+\dfrac{m}{2}$.
∵ $-10＜0$,
∴ 当$x≤50+\dfrac{m}{2}$时,$w'$随$x$的增大而增大.
∵ 当$x≤52$时,每天扣除捐赠后的日销售利润随售价$x$的增大而增大,
∴ $52≤50+\dfrac{m}{2}$,解得$m≥4$.
∵ $m≤6$,
∴ $m$的取值范围为$4≤m≤6$.
根据题意,得$\begin{cases}40k+b=300,\\45k+b=250,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-10,\\b=700,\end{cases}$
∴ $y$关于$x$的函数表达式为$y=-10x+700$.
(2)由题表数据可知,每件商品进价为$\dfrac{300×40-3000}{300}=30$(元),
则该商品的日销售利润 $w=(x-30)y=(x-30)·(-10x+700) = -10x^2+1000x-21000 = -10(x-50)^2+4000$.
∵ $-10＜0$,
∴ 当$x=50$时,$w$有最大值,最大值为4000,
∴ 当该商品的售价是50元/件时,日销售利润最大,最大利润为4000元.
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为$w'$元.
根据题意,得 $w'=(x-30-m)(-10x+700) = -10x^2+(1000+10m)x-21000-700m$,
∴ 该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1000+10m}{2×(-10)}=50+\dfrac{m}{2}$.
∵ $-10＜0$,
∴ 当$x≤50+\dfrac{m}{2}$时,$w'$随$x$的增大而增大.
∵ 当$x≤52$时,每天扣除捐赠后的日销售利润随售价$x$的增大而增大,
∴ $52≤50+\dfrac{m}{2}$,解得$m≥4$.
∵ $m≤6$,
∴ $m$的取值范围为$4≤m≤6$.
解析
【分析】
(1)已知y是x的一次函数，因此采用待定系数法求解析式：将表格中两组x、y的对应值代入一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到y关于x的函数表达式。
(2)首先根据日销售利润的计算公式，代入表格中的第一组数据求出商品进价；再根据“日销售利润=单件利润×日销售量”，将单件利润$(x-进价)$和已求得的y的表达式代入，得到w关于x的二次函数，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出最大利润及对应的售价。
(3)扣除捐赠后，单件利润变为$(x-进价-m)$，据此列出扣除捐赠后的日销售利润$w'$关于x的二次函数表达式；由于二次项系数为负，函数图象开口向下，在对称轴左侧$w'$随x的增大而增大，结合题目“x≤52时$w'$随x增大而增大”的要求，可得到对称轴与52的大小关系，解不等式并结合$m≤6$的限制，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意代入两组对应值，得$\begin{cases}40k+b=300\\45k+b=250\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-10\\b=700\end{cases}$，
∴$y$关于$x$的函数表达式为$y=-10x+700$。
(2)根据日销售利润公式计算进价：
每件商品进价为$40-\dfrac{3000}{300}=30$（元），
则日销售利润 $w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)$，
整理得$w=-10x^2+1000x-21000=-10(x-50)^2+4000$，
∵$-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=50$时，$w$有最大值，最大值为4000元。
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为$w'$元，
根据题意得 $w'=(x-30-m)(-10x+700)$，
整理得$w'=-10x^2+(1000+10m)x-21000-700m$，
该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1000+10m}{2×(-10)}=50+\dfrac{m}{2}$，
∵$-10＜0$，开口向下，
∴当$x≤50+\dfrac{m}{2}$时，$w'$随$x$的增大而增大，
∵要求$x≤52$时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴$52≤50+\dfrac{m}{2}$，解得$m≥4$，
又
∵$m≤6$，
∴$m$的取值范围为$4≤m≤6$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-10x+700}$
(2)当该商品的售价是50元/件时，日销售利润最大，最大利润为4000元；
(3)$\boldsymbol{4≤m≤6}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的图象与性质
【点评】
本题是典型的销售类最值问题，将一次函数、二次函数的性质与实际场景结合，解题核心是理清售价、销量、单件利润、总利润之间的数量关系，正确列出函数表达式后结合函数性质求解最值和参数范围，能有效考查学生的运算能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
(1)已知y是x的一次函数，因此采用待定系数法求解析式：将表格中两组x、y的对应值代入一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，解二元一次方程组得到k、b的值，即可得到y关于x的函数表达式。
(2)首先根据日销售利润的计算公式，代入表格中的第一组数据求出商品进价；再根据“日销售利润=单件利润×日销售量”，将单件利润$(x-进价)$和已求得的y的表达式代入，得到w关于x的二次函数，结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，即可求出最大利润及对应的售价。
(3)扣除捐赠后，单件利润变为$(x-进价-m)$，据此列出扣除捐赠后的日销售利润$w'$关于x的二次函数表达式；由于二次项系数为负，函数图象开口向下，在对称轴左侧$w'$随x的增大而增大，结合题目“x≤52时$w'$随x增大而增大”的要求，可得到对称轴与52的大小关系，解不等式并结合$m≤6$的限制，即可求出m的取值范围。
【解析】
(1)设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
根据题意代入两组对应值，得$\begin{cases}40k+b=300\\45k+b=250\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-10\\b=700\end{cases}$，
∴$y$关于$x$的函数表达式为$y=-10x+700$。
(2)根据日销售利润公式计算进价：
每件商品进价为$40-\dfrac{3000}{300}=30$（元），
则日销售利润 $w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)$，
整理得$w=-10x^2+1000x-21000=-10(x-50)^2+4000$，
∵$-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=50$时，$w$有最大值，最大值为4000元。
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为$w'$元，
根据题意得 $w'=(x-30-m)(-10x+700)$，
整理得$w'=-10x^2+(1000+10m)x-21000-700m$，
该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1000+10m}{2×(-10)}=50+\dfrac{m}{2}$，
∵$-10＜0$，开口向下，
∴当$x≤50+\dfrac{m}{2}$时，$w'$随$x$的增大而增大，
∵要求$x≤52$时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，
∴$52≤50+\dfrac{m}{2}$，解得$m≥4$，
又
∵$m≤6$，
∴$m$的取值范围为$4≤m≤6$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-10x+700}$
(2)当该商品的售价是50元/件时，日销售利润最大，最大利润为4000元；
(3)$\boldsymbol{4≤m≤6}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的图象与性质
【点评】
本题是典型的销售类最值问题，将一次函数、二次函数的性质与实际场景结合，解题核心是理清售价、销量、单件利润、总利润之间的数量关系，正确列出函数表达式后结合函数性质求解最值和参数范围，能有效考查学生的运算能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
3 新素材[较难]2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会于2026年2月6日至22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举办.某网店顺势推出A、B两种纪念徽章.每个A种纪念徽章的进价比每个B种纪念徽章的进价高2元,用600元购进A种纪念徽章的数量与用500元购进B种纪念徽章的数量相同.
(1)A、B两种纪念徽章每个进价各是多少元?
(2)网店某天共购进A、B两种纪念徽章共50个,当天全部销售完.销售A种纪念徽章的价格$y$(单位:元/个)与日销售量$x$(单位:个)之间的函数关系是$y=-2x+80$;销售B种纪念徽章日获利$m$(单位:元)与日销售量$n$(单位:个)之间的关系为$m=16n-260$.
①若该网店销售这50个纪念徽章日获利为300元,问B种纪念徽章的销售单价是多少?
②该网店购进的50个纪念徽章中,B种纪念徽章的数量不少于A种纪念徽章数量的4倍,网店想尽快售完,决定每个A种纪念徽章降价$a$($0＜a＜6$)元销售,B种纪念徽章的销售情况不变,若网店销售这50个纪念徽章日获利的最大值为820元,求$a$的值.
(1)A、B两种纪念徽章每个进价各是多少元?
(2)网店某天共购进A、B两种纪念徽章共50个,当天全部销售完.销售A种纪念徽章的价格$y$(单位:元/个)与日销售量$x$(单位:个)之间的函数关系是$y=-2x+80$;销售B种纪念徽章日获利$m$(单位:元)与日销售量$n$(单位:个)之间的关系为$m=16n-260$.
①若该网店销售这50个纪念徽章日获利为300元,问B种纪念徽章的销售单价是多少?
②该网店购进的50个纪念徽章中,B种纪念徽章的数量不少于A种纪念徽章数量的4倍,网店想尽快售完,决定每个A种纪念徽章降价$a$($0＜a＜6$)元销售,B种纪念徽章的销售情况不变,若网店销售这50个纪念徽章日获利的最大值为820元,求$a$的值.
答案
【解】(1)设每个B种纪念徽章的进价为$b$元,则每个A种纪念徽章的进价为$(b+2)$元.
由题意可知$\dfrac{600}{b+2}=\dfrac{500}{b}$,解得$b=10$,
经检验,$b=10$是原分式方程的解且符合题意,
∴ $b+2=12$.
故每个B种纪念徽章的进价为10元,每个A种纪念徽章的进价为12元.
(2)①设该网店销售这50个纪念徽章日获利为$w$元. 由题意可知$x+n=50$,
∴ $n=50-x$.
由题意可知 $w=(y-12)x+m = (-2x+80-12)x+16(50-x)-260 = -2x^2+52x+540$.
∵ 该网店销售这50个纪念徽章日获利为300元,
∴ $-2x^2+52x+540=300$,解得$x=30$或$x=-4$(舍去),
∴ $n=50-x=20$.
设此时B种纪念徽章的销售单价为$c$元/个,
∴ $m=16×20-260=(c-10)×20$,解得$c=13$,
∴ B种纪念徽章的销售单价是13元/个.
②设每个A种纪念徽章降价后,网店销售这50个纪念徽章的日获利为$w'$元.
根据题意可知 $w'=(y-12-a)x+m = (-2x+80-12-a)x+16(50-x)-260 = -2x^2+(52-a)x+540$,
∴ 该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{52-a}{2×(-2)}=13-\dfrac{a}{4}$.
∵ $0＜a＜6$,
∴ $11\dfrac{1}{2}＜13-\dfrac{a}{4}＜13$.
∵ B种纪念徽章的数量不少于A种纪念徽章数量的4倍,
∴ $n≥4x$,
∴ $50-x≥4x$,解得$x≤10$,
∴ 当$x=10$时,$w'$取得最大值,
∴ $-2×10^2+10(52-a)+540=820$,解得$a=4$,
∴ $a$的值为4.
由题意可知$\dfrac{600}{b+2}=\dfrac{500}{b}$,解得$b=10$,
经检验,$b=10$是原分式方程的解且符合题意,
∴ $b+2=12$.
故每个B种纪念徽章的进价为10元,每个A种纪念徽章的进价为12元.
(2)①设该网店销售这50个纪念徽章日获利为$w$元. 由题意可知$x+n=50$,
∴ $n=50-x$.
由题意可知 $w=(y-12)x+m = (-2x+80-12)x+16(50-x)-260 = -2x^2+52x+540$.
∵ 该网店销售这50个纪念徽章日获利为300元,
∴ $-2x^2+52x+540=300$,解得$x=30$或$x=-4$(舍去),
∴ $n=50-x=20$.
设此时B种纪念徽章的销售单价为$c$元/个,
∴ $m=16×20-260=(c-10)×20$,解得$c=13$,
∴ B种纪念徽章的销售单价是13元/个.
②设每个A种纪念徽章降价后,网店销售这50个纪念徽章的日获利为$w'$元.
根据题意可知 $w'=(y-12-a)x+m = (-2x+80-12-a)x+16(50-x)-260 = -2x^2+(52-a)x+540$,
∴ 该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{52-a}{2×(-2)}=13-\dfrac{a}{4}$.
∵ $0＜a＜6$,
∴ $11\dfrac{1}{2}＜13-\dfrac{a}{4}＜13$.
∵ B种纪念徽章的数量不少于A种纪念徽章数量的4倍,
∴ $n≥4x$,
∴ $50-x≥4x$,解得$x≤10$,
∴ 当$x=10$时,$w'$取得最大值,
∴ $-2×10^2+10(52-a)+540=820$,解得$a=4$,
∴ $a$的值为4.
解析
【分析】
(1) 求解进价问题时，优先设进价较低的B种纪念徽章进价为未知数，用含未知数的式子表示A种的进价，再抓住“用600元购进A的数量与用500元购进B的数量相同”这一等量关系列分式方程，解后需检验根是否符合实际意义。
(2) ① 总利润为A种徽章利润加B种徽章利润，根据总购进量为50可得B的销量和A的销量的关系，代入利润公式列出总利润关于A销量的函数，将总获利300代入求解出A的销量，再结合B的获利公式反推B的销售单价。
② 先写出降价后总利润的二次函数表达式，再根据“B种数量不少于A种的4倍”列不等式求出自变量x的取值范围，结合二次函数开口方向和对称轴位置判断出取最大值时x的取值，代入最大值求解a即可。
【解析】
(1) 设每个B种纪念徽章的进价为$b$元，则每个A种纪念徽章的进价为$(b+2)$元。
由题意得$\dfrac{600}{b+2}=\dfrac{500}{b}$，解得$b=10$，
经检验，$b=10$是原分式方程的解且符合题意，
$\therefore b+2=12$。
(2) ① 设该网店销售这50个纪念徽章日获利为$w$元，由题意得$x+n=50$，即$n=50-x$。
总利润$w=(y-12)x+m = (-2x+80-12)x+16(50-x)-260 = -2x^2+52x+540$，
当日获利为300元时，$-2x^2+52x+540=300$，解得$x=30$或$x=-4$（销量不能为负，舍去），
$\therefore n=50-30=20$，
设B种纪念徽章销售单价为$c$元/个，由B的获利公式得$16×20-260=(c-10)×20$，解得$c=13$。
② 设降价后日获利为$w'$元，
则$w'=(y-12-a)x+m = (-2x+80-12-a)x+16(50-x)-260 = -2x^2+(52-a)x+540$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\dfrac{52-a}{2×(-2)}=13-\dfrac{a}{4}$，
$\because 0＜a＜6$，$\therefore 11\dfrac{1}{2}＜13-\dfrac{a}{4}＜13$，
由B种数量不少于A种的4倍得$n≥4x$，即$50-x≥4x$，解得$x≤10$，
$\therefore$在$x≤10$范围内，$w'$随$x$的增大而增大，当$x=10$时$w'$取最大值820，
代入得$-2×10^2+10(52-a)+540=820$，解得$a=4$。
【答案】
(1)A种纪念徽章每个进价12元，B种纪念徽章每个进价10元；
(2)①B种纪念徽章的销售单价是13元/个；
②$a$的值为4。
【知识点】
分式方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合时事热点考查方程、函数、不等式的综合应用，解题核心是理清各数量间的逻辑关系，尤其要注意实际问题中自变量的取值范围会影响二次函数最值的取值点，需结合函数增减性判断最值位置。
【难度系数】
0.6
(1) 求解进价问题时，优先设进价较低的B种纪念徽章进价为未知数，用含未知数的式子表示A种的进价，再抓住“用600元购进A的数量与用500元购进B的数量相同”这一等量关系列分式方程，解后需检验根是否符合实际意义。
(2) ① 总利润为A种徽章利润加B种徽章利润，根据总购进量为50可得B的销量和A的销量的关系，代入利润公式列出总利润关于A销量的函数，将总获利300代入求解出A的销量，再结合B的获利公式反推B的销售单价。
② 先写出降价后总利润的二次函数表达式，再根据“B种数量不少于A种的4倍”列不等式求出自变量x的取值范围，结合二次函数开口方向和对称轴位置判断出取最大值时x的取值，代入最大值求解a即可。
【解析】
(1) 设每个B种纪念徽章的进价为$b$元，则每个A种纪念徽章的进价为$(b+2)$元。
由题意得$\dfrac{600}{b+2}=\dfrac{500}{b}$，解得$b=10$，
经检验，$b=10$是原分式方程的解且符合题意，
$\therefore b+2=12$。
(2) ① 设该网店销售这50个纪念徽章日获利为$w$元，由题意得$x+n=50$，即$n=50-x$。
总利润$w=(y-12)x+m = (-2x+80-12)x+16(50-x)-260 = -2x^2+52x+540$，
当日获利为300元时，$-2x^2+52x+540=300$，解得$x=30$或$x=-4$（销量不能为负，舍去），
$\therefore n=50-30=20$，
设B种纪念徽章销售单价为$c$元/个，由B的获利公式得$16×20-260=(c-10)×20$，解得$c=13$。
② 设降价后日获利为$w'$元，
则$w'=(y-12-a)x+m = (-2x+80-12-a)x+16(50-x)-260 = -2x^2+(52-a)x+540$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\dfrac{52-a}{2×(-2)}=13-\dfrac{a}{4}$，
$\because 0＜a＜6$，$\therefore 11\dfrac{1}{2}＜13-\dfrac{a}{4}＜13$，
由B种数量不少于A种的4倍得$n≥4x$，即$50-x≥4x$，解得$x≤10$，
$\therefore$在$x≤10$范围内，$w'$随$x$的增大而增大，当$x=10$时$w'$取最大值820，
代入得$-2×10^2+10(52-a)+540=820$，解得$a=4$。
【答案】
(1)A种纪念徽章每个进价12元，B种纪念徽章每个进价10元；
(2)①B种纪念徽章的销售单价是13元/个；
②$a$的值为4。
【知识点】
分式方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合时事热点考查方程、函数、不等式的综合应用，解题核心是理清各数量间的逻辑关系，尤其要注意实际问题中自变量的取值范围会影响二次函数最值的取值点，需结合函数增减性判断最值位置。
【难度系数】
0.6
