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18[2026广西南宁质检]请根据以下素材,完成探究任务.
飞行汽车
背景
飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具,旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式.它被视为未来城市交通的重要解决方案之一,尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力
建模
某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车的飞行过程.如图,以飞行汽车的地面起飞点为原点O,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系.它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状,当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B,此时点B距离地面0.4千米,保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C,切换到直线下降飞行模式降落至地面点D.得到抛物线$y=ax^2+2x(a＜0)$,直线$y=0.4$和直线$y=-0.4x+b$
任务
(1)若仪表监测到水平飞行时间为0.08小时,此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米,求a和b的值
(2)若飞行汽车在最高点A时,距离起飞点O的水平距离为0.49千米.水平飞行了$t(0.08≤t≤0.1)$小时到达点C后降落,求b的取值范围
飞行汽车
背景
飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具,旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式.它被视为未来城市交通的重要解决方案之一,尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力
建模
某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车的飞行过程.如图,以飞行汽车的地面起飞点为原点O,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系.它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状,当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B,此时点B距离地面0.4千米,保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C,切换到直线下降飞行模式降落至地面点D.得到抛物线$y=ax^2+2x(a＜0)$,直线$y=0.4$和直线$y=-0.4x+b$
任务
(1)若仪表监测到水平飞行时间为0.08小时,此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米,求a和b的值
(2)若飞行汽车在最高点A时,距离起飞点O的水平距离为0.49千米.水平飞行了$t(0.08≤t≤0.1)$小时到达点C后降落,求b的取值范围
答案
18.【解】(1)$100×0.08=8$(千米).
∵$10-8=2$,
∴$B(2,0.4),C(10,0.4)$.把$B(2,0.4)$代入$y=ax^2+2x(a＜0)$得$0.4=a·2^2+2×2$,解得$a=-0.9$.把$C(10,0.4)$代入$y=-0.4x+b$得$0.4=-0.4×10+b$,解得$b=4.4$.(2)由题意可得抛物线对称轴为直线$x=0.49$,
∴$-\frac{2}{2a}=0.49$,
∴$a=-\frac{100}{49}$,
∴抛物线表达式为$y=-\frac{100}{49}x^2+2x$.在$y=-\frac{100}{49}x^2+2x$中,当$y=0.4$时,$-\frac{100}{49}x^2+2x=0.4$,解得$x=0.7$或$x=0.28$,
∴$B(0.7,0.4)$,
∴$C(0.7+100t,0.4)$.将$C(0.7+100t,0.4)$代入直线$y=-0.4x+b$,得$0.4=-0.4(0.7+100t)+b$,
∴$t=\frac{b-0.68}{40}$.
∵$0.08≤t≤0.1$,
∴$0.08≤\frac{b-0.68}{40}≤0.1$,
∴$3.88≤b≤4.68$.
∵$10-8=2$,
∴$B(2,0.4),C(10,0.4)$.把$B(2,0.4)$代入$y=ax^2+2x(a＜0)$得$0.4=a·2^2+2×2$,解得$a=-0.9$.把$C(10,0.4)$代入$y=-0.4x+b$得$0.4=-0.4×10+b$,解得$b=4.4$.(2)由题意可得抛物线对称轴为直线$x=0.49$,
∴$-\frac{2}{2a}=0.49$,
∴$a=-\frac{100}{49}$,
∴抛物线表达式为$y=-\frac{100}{49}x^2+2x$.在$y=-\frac{100}{49}x^2+2x$中,当$y=0.4$时,$-\frac{100}{49}x^2+2x=0.4$,解得$x=0.7$或$x=0.28$,
∴$B(0.7,0.4)$,
∴$C(0.7+100t,0.4)$.将$C(0.7+100t,0.4)$代入直线$y=-0.4x+b$,得$0.4=-0.4(0.7+100t)+b$,
∴$t=\frac{b-0.68}{40}$.
∵$0.08≤t≤0.1$,
∴$0.08≤\frac{b-0.68}{40}≤0.1$,
∴$3.88≤b≤4.68$.
解析
【分析】
（1）先根据水平飞行的速度和时间计算BC段的水平长度，结合点C的水平距离求出点B的横坐标，得到B、C两点坐标；再将B点坐标代入抛物线解析式求出a的值，将C点坐标代入下降直线解析式求出b的值。
（2）先根据抛物线最高点的水平距离得到抛物线的对称轴，利用二次函数对称轴公式求出a的值，得到完整的抛物线解析式；令抛物线解析式中y=0.4，解方程得到点B的横坐标，再结合水平飞行时间t得到点C的横坐标，将C点坐标代入下降直线解析式得到b与t的函数关系，最后根据t的取值范围列不等式组求解得到b的取值范围。
【解析】
(1) 水平飞行的速度为100千米/时，飞行时间为0.08小时，因此BC段的水平距离为：
$100×0.08=8$（千米）
已知点C距离O点的水平距离为10千米，因此点B的横坐标为$10-8=2$，即$B(2,0.4)$，$C(10,0.4)$。
将$B(2,0.4)$代入抛物线$y=ax^2+2x(a＜0)$得：
$0.4=a·2^2+2×2$
解得$a=-0.9$。
将$C(10,0.4)$代入直线$y=-0.4x+b$得：
$0.4=-0.4×10+b$
解得$b=4.4$。
(2) 由题意，抛物线最高点A的水平距离为0.49千米，即抛物线对称轴为直线$x=0.49$。
对于抛物线$y=ax^2+2x$，对称轴公式为$x=-\frac{2}{2a}$，因此：
$-\frac{2}{2a}=0.49$
解得$a=-\frac{100}{49}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{100}{49}x^2+2x$。
令$y=0.4$，代入抛物线解析式得：
$-\frac{100}{49}x^2+2x=0.4$
解得$x=0.7$或$x=0.28$（结合飞行路径，B点在最高点右侧，取$x=0.7$），即$B(0.7,0.4)$。
水平飞行t小时后到达C点，因此C点横坐标为$0.7+100t$，即$C(0.7+100t,0.4)$。
将C点坐标代入$y=-0.4x+b$得：
$0.4=-0.4(0.7+100t)+b$
整理得$t=\frac{b-0.68}{40}$。
已知$0.08≤t≤0.1$，因此：
$0.08≤\frac{b-0.68}{40}≤0.1$
解不等式得$3.88≤b≤4.68$。
【答案】
(1) $a=-0.9$，$b=4.4$；(2) $3.88≤b≤4.68$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，不等式组的应用
【点评】
本题以飞行汽车的飞行路径为真实情境，综合考查函数与不等式的结合应用，解题时需要结合行程的数量关系确定点坐标，再通过函数性质建立变量关联，最终通过不等式求解范围，既考查了基础公式的运用能力，也考查了将知识迁移到实际场景的应用能力。
【难度系数】
0.65
（1）先根据水平飞行的速度和时间计算BC段的水平长度，结合点C的水平距离求出点B的横坐标，得到B、C两点坐标；再将B点坐标代入抛物线解析式求出a的值，将C点坐标代入下降直线解析式求出b的值。
（2）先根据抛物线最高点的水平距离得到抛物线的对称轴，利用二次函数对称轴公式求出a的值，得到完整的抛物线解析式；令抛物线解析式中y=0.4，解方程得到点B的横坐标，再结合水平飞行时间t得到点C的横坐标，将C点坐标代入下降直线解析式得到b与t的函数关系，最后根据t的取值范围列不等式组求解得到b的取值范围。
【解析】
(1) 水平飞行的速度为100千米/时，飞行时间为0.08小时，因此BC段的水平距离为：
$100×0.08=8$（千米）
已知点C距离O点的水平距离为10千米，因此点B的横坐标为$10-8=2$，即$B(2,0.4)$，$C(10,0.4)$。
将$B(2,0.4)$代入抛物线$y=ax^2+2x(a＜0)$得：
$0.4=a·2^2+2×2$
解得$a=-0.9$。
将$C(10,0.4)$代入直线$y=-0.4x+b$得：
$0.4=-0.4×10+b$
解得$b=4.4$。
(2) 由题意，抛物线最高点A的水平距离为0.49千米，即抛物线对称轴为直线$x=0.49$。
对于抛物线$y=ax^2+2x$，对称轴公式为$x=-\frac{2}{2a}$，因此：
$-\frac{2}{2a}=0.49$
解得$a=-\frac{100}{49}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{100}{49}x^2+2x$。
令$y=0.4$，代入抛物线解析式得：
$-\frac{100}{49}x^2+2x=0.4$
解得$x=0.7$或$x=0.28$（结合飞行路径，B点在最高点右侧，取$x=0.7$），即$B(0.7,0.4)$。
水平飞行t小时后到达C点，因此C点横坐标为$0.7+100t$，即$C(0.7+100t,0.4)$。
将C点坐标代入$y=-0.4x+b$得：
$0.4=-0.4(0.7+100t)+b$
整理得$t=\frac{b-0.68}{40}$。
已知$0.08≤t≤0.1$，因此：
$0.08≤\frac{b-0.68}{40}≤0.1$
解不等式得$3.88≤b≤4.68$。
【答案】
(1) $a=-0.9$，$b=4.4$；(2) $3.88≤b≤4.68$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，不等式组的应用
【点评】
本题以飞行汽车的飞行路径为真实情境，综合考查函数与不等式的结合应用，解题时需要结合行程的数量关系确定点坐标，再通过函数性质建立变量关联，最终通过不等式求解范围，既考查了基础公式的运用能力，也考查了将知识迁移到实际场景的应用能力。
【难度系数】
0.65
19[2025四川成都二模]在平面直角坐标系中，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与y轴交于点$C(0,2)$，与x轴交于A,B两点(A在B的左边)，对称轴是直线$x=-\frac{3}{2}$，连接AC,BC.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求$MN+MQ$的最大值；
(3)若点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若以点A,D,C,E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图，若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求$MN+MQ$的最大值；
(3)若点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若以点A,D,C,E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标.
答案
19.【解】(1)
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与y轴交于点$C(0,2)$,对称轴是直线$x=-\frac{3}{2}$,
∴$\begin{cases}-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴$\begin{cases}b=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴该抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$.(2)在$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$中,令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2=0$,解得$x_1=-4$,$x_2=1$,
∴$A(-4,0),B(1,0)$.设直线$AC$的表达式为$y=kx+b_1(k≠0)$.将$A(-4,0),C(0,2)$代入直线表达式可得$\begin{cases}-4k+b_1=0,\\b_1=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b_1=2,\end{cases}$
∴直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$.设$M(m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)(-4＜m＜0)$,则$N(m,\frac{1}{2}m+2)$,$Q(-m^2-3m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)$,
∴$MN=-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2-(\frac{1}{2}m+2)=-\frac{1}{2}m^2-2m$,$MQ=-m^2-3m-m=-m^2-4m$,
∴$MN+MQ=-\frac{1}{2}m^2-2m+(-m^2-4m)=-\frac{3}{2}m^2-6m=-\frac{3}{2}(m^2+4m)=-\frac{3}{2}(m+2)^2+6$.
∵$-\frac{3}{2}＜0$,
∴当$m=-2$时,$MN+MQ$的值最大,最大值为6.(3)由题意可设$E(t,-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2)$,$D(s,0)$.
∵平面内以点$A,D,C,E$为顶点的四边形是平行四边形,$A(-4,0),C(0,2)$,
∴当$AC$为对角线时,由平行四边形的性质可得$\begin{cases}t+s=-4+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-1\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(舍去),此时点$E$的坐标为$(-3,2)$.当$AC$为边,四边形$ADEC$为平行四边形时,由平行四边形的性质可得$\begin{cases}t+(-4)=s+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-7\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(舍去),此时点$E$的坐标为$(-3,2)$.当$AC$为边,四边形$AEDC$为平行四边形时,由平行四边形的性质可得$\begin{cases}t+0=-4+s,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+2=0+0,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=\frac{-3+\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}t=\frac{-3-\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5-\sqrt{41}}{2},\end{cases}$此时点$E$的坐标为$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$.综上所述,点$E$的坐标为$(-3,2)$或$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$.
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与y轴交于点$C(0,2)$,对称轴是直线$x=-\frac{3}{2}$,
∴$\begin{cases}-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴$\begin{cases}b=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴该抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$.(2)在$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$中,令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2=0$,解得$x_1=-4$,$x_2=1$,
∴$A(-4,0),B(1,0)$.设直线$AC$的表达式为$y=kx+b_1(k≠0)$.将$A(-4,0),C(0,2)$代入直线表达式可得$\begin{cases}-4k+b_1=0,\\b_1=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b_1=2,\end{cases}$
∴直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$.设$M(m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)(-4＜m＜0)$,则$N(m,\frac{1}{2}m+2)$,$Q(-m^2-3m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)$,
∴$MN=-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2-(\frac{1}{2}m+2)=-\frac{1}{2}m^2-2m$,$MQ=-m^2-3m-m=-m^2-4m$,
∴$MN+MQ=-\frac{1}{2}m^2-2m+(-m^2-4m)=-\frac{3}{2}m^2-6m=-\frac{3}{2}(m^2+4m)=-\frac{3}{2}(m+2)^2+6$.
∵$-\frac{3}{2}＜0$,
∴当$m=-2$时,$MN+MQ$的值最大,最大值为6.(3)由题意可设$E(t,-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2)$,$D(s,0)$.
∵平面内以点$A,D,C,E$为顶点的四边形是平行四边形,$A(-4,0),C(0,2)$,
∴当$AC$为对角线时,由平行四边形的性质可得$\begin{cases}t+s=-4+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-1\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(舍去),此时点$E$的坐标为$(-3,2)$.当$AC$为边,四边形$ADEC$为平行四边形时,由平行四边形的性质可得$\begin{cases}t+(-4)=s+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-7\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(舍去),此时点$E$的坐标为$(-3,2)$.当$AC$为边,四边形$AEDC$为平行四边形时,由平行四边形的性质可得$\begin{cases}t+0=-4+s,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+2=0+0,\end{cases}$解得$\begin{cases}t=\frac{-3+\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}t=\frac{-3-\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5-\sqrt{41}}{2},\end{cases}$此时点$E$的坐标为$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$.综上所述,点$E$的坐标为$(-3,2)$或$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式：已知抛物线与y轴交点$C(0,2)$可直接得$c$的值，再结合抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a$和已知对称轴的值即可求出$b$，进而得到抛物线解析式。
(2) 求$MN+MQ$的最大值：先令抛物线解析式$y=0$求出点$A$坐标，用待定系数法求出直线$AC$的解析式；设点$M$的横坐标为$m$，根据$MN$平行$y$轴、$MQ$平行$x$轴的性质，用含$m$的代数式分别表示$M、N、Q$三点坐标，用纵坐标差求$MN$长度、横坐标差求$MQ$长度，将$MN+MQ$整理为关于$m$的二次函数，结合二次函数开口方向和自变量取值范围求最大值即可。
(3) 求平行四边形顶点$E$的坐标：分两类讨论，①$AC$为平行四边形的对角线：根据平行四边形对角线互相平分的性质，即两组对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程求解；②$AC$为平行四边形的边：分两种平行四边形构成情况，同样利用顶点坐标的等量关系列方程求解，注意舍去与点$C$重合的无效解，最终得到所有符合条件的$E$点坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与y轴交于点$C(0,2)$，对称轴是直线$x=-\frac{3}{2}$，
∴$\begin{cases}-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴该抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$。
(2) 在$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$中，令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=1$，
∴$A(-4,0),B(1,0)$。
设直线$AC$的表达式为$y=kx+b_1(k≠0)$，将$A(-4,0),C(0,2)$代入得$\begin{cases}-4k+b_1=0,\\b_1=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b_1=2,\end{cases}$
∴直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
设$M(m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)(-4＜m＜0)$，则$N(m,\frac{1}{2}m+2)$，$Q(-m^2-3m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)$，
∴$MN=-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2-(\frac{1}{2}m+2)=-\frac{1}{2}m^2-2m$，
$MQ=-m^2-3m-m=-m^2-4m$，
∴$MN+MQ=-\frac{1}{2}m^2-2m+(-m^2-4m)=-\frac{3}{2}m^2-6m=-\frac{3}{2}(m+2)^2+6$。
∵$-\frac{3}{2}＜0$，
∴当$m=-2$时，$MN+MQ$的值最大，最大值为6。
(3) 设$E(t,-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2)$，$D(s,0)$，已知$A(-4,0),C(0,2)$，分情况讨论：
①当$AC$为对角线时，由平行四边形对角线互相平分得：
$\begin{cases}t+s=-4+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-1\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(与点$C$重合，舍去)，此时$E(-3,2)$。
②当$AC$为边，四边形$ADEC$为平行四边形时：
$\begin{cases}t+(-4)=s+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-7\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(舍去)，此时$E(-3,2)$。
③当$AC$为边，四边形$AEDC$为平行四边形时：
$\begin{cases}t+0=-4+s,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+2=0+0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=\frac{-3+\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}t=\frac{-3-\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5-\sqrt{41}}{2},\end{cases}$
此时$E(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$。
综上，点$E$的坐标为$(-3,2)$或$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$；
(2) $6$；
(3) $(-3,2)$或$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，覆盖了二次函数基本性质、一次函数求解和平行四边形存在性核心考点，解题时需注意分类讨论$AC$作为边和对角线的不同情况，避免漏解，同时用坐标表示线段长度时要结合点的位置保证结果为正。
【难度系数】
0.4
(1) 求抛物线表达式：已知抛物线与y轴交点$C(0,2)$可直接得$c$的值，再结合抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a$和已知对称轴的值即可求出$b$，进而得到抛物线解析式。
(2) 求$MN+MQ$的最大值：先令抛物线解析式$y=0$求出点$A$坐标，用待定系数法求出直线$AC$的解析式；设点$M$的横坐标为$m$，根据$MN$平行$y$轴、$MQ$平行$x$轴的性质，用含$m$的代数式分别表示$M、N、Q$三点坐标，用纵坐标差求$MN$长度、横坐标差求$MQ$长度，将$MN+MQ$整理为关于$m$的二次函数，结合二次函数开口方向和自变量取值范围求最大值即可。
(3) 求平行四边形顶点$E$的坐标：分两类讨论，①$AC$为平行四边形的对角线：根据平行四边形对角线互相平分的性质，即两组对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程求解；②$AC$为平行四边形的边：分两种平行四边形构成情况，同样利用顶点坐标的等量关系列方程求解，注意舍去与点$C$重合的无效解，最终得到所有符合条件的$E$点坐标。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与y轴交于点$C(0,2)$，对称轴是直线$x=-\frac{3}{2}$，
∴$\begin{cases}-\frac{b}{2×(-\frac{1}{2})}=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-\frac{3}{2},\\c=2,\end{cases}$
∴该抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$。
(2) 在$y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$中，令$y=0$，则$-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=1$，
∴$A(-4,0),B(1,0)$。
设直线$AC$的表达式为$y=kx+b_1(k≠0)$，将$A(-4,0),C(0,2)$代入得$\begin{cases}-4k+b_1=0,\\b_1=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b_1=2,\end{cases}$
∴直线$AC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
设$M(m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)(-4＜m＜0)$，则$N(m,\frac{1}{2}m+2)$，$Q(-m^2-3m,-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2)$，
∴$MN=-\frac{1}{2}m^2-\frac{3}{2}m+2-(\frac{1}{2}m+2)=-\frac{1}{2}m^2-2m$，
$MQ=-m^2-3m-m=-m^2-4m$，
∴$MN+MQ=-\frac{1}{2}m^2-2m+(-m^2-4m)=-\frac{3}{2}m^2-6m=-\frac{3}{2}(m+2)^2+6$。
∵$-\frac{3}{2}＜0$，
∴当$m=-2$时，$MN+MQ$的值最大，最大值为6。
(3) 设$E(t,-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2)$，$D(s,0)$，已知$A(-4,0),C(0,2)$，分情况讨论：
①当$AC$为对角线时，由平行四边形对角线互相平分得：
$\begin{cases}t+s=-4+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-1\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(与点$C$重合，舍去)，此时$E(-3,2)$。
②当$AC$为边，四边形$ADEC$为平行四边形时：
$\begin{cases}t+(-4)=s+0,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+0=0+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=-3,\\s=-7\end{cases}$或$\begin{cases}t=0,\\s=-4\end{cases}$(舍去)，此时$E(-3,2)$。
③当$AC$为边，四边形$AEDC$为平行四边形时：
$\begin{cases}t+0=-4+s,\\-\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}t+2+2=0+0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=\frac{-3+\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5+\sqrt{41}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}t=\frac{-3-\sqrt{41}}{2},\\s=\frac{5-\sqrt{41}}{2},\end{cases}$
此时$E(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$。
综上，点$E$的坐标为$(-3,2)$或$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+2$；
(2) $6$；
(3) $(-3,2)$或$(\frac{-3+\sqrt{41}}{2},-2)$或$(\frac{-3-\sqrt{41}}{2},-2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，覆盖了二次函数基本性质、一次函数求解和平行四边形存在性核心考点，解题时需注意分类讨论$AC$作为边和对角线的不同情况，避免漏解，同时用坐标表示线段长度时要结合点的位置保证结果为正。
【难度系数】
0.4
