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12 如图，抛物线 $ y=ax^2 + c $ 与直线 $ y=mx + n $ 交于 $ A(-1,p), B(3,q) $ 两点，则不等式 $ ax^2 + mx + c ＞ n $ 的解为
（第12题图）
（第13题图）
$x＜-3或x＞1$
。（第12题图）
（第13题图）
答案
12.$x＜-3或x＞1$ 【解析】
∵抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p),B(3,q)$两点,
∴抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=-mx+n$交于$(1,p),(-3,q)$两点,如图,观察函数图象可知,当$x＜-3$或$x＞1$时,抛物线$y=ax^2+c$在直线$y=-mx+n$的上方,
∴不等式$ax^2+mx+c＞n$的解集为$x＜-3$或$x＞1$,即不等式$ax^2+mx+c＞n$的解集是$x＜-3$或$x＞1$.故答案为$x＜-3$或$x＞1$.
解析
【分析】
要解不等式$ax^2 + mx + c ＞ n$，首先对不等式变形为$ax^2 + c ＞ -mx + n$，即需要找到抛物线$y=ax^2+c$在直线$y=-mx+n$上方时$x$的取值范围。已知抛物线与原直线$y=mx+n$交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$，直线$y=-mx+n$是$y=mx+n$关于$y$轴对称的直线，因此原交点关于$y$轴的对称点就是抛物线与$y=-mx+n$的交点，找到交点后结合图象即可确定不等式的解集。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p), B(3,q)$两点，
∴将$x=-1$代入$y=mx+n$得$p=-m+n$，将$x=3$代入得$q=3m+n$。
对于直线$y=-mx+n$：当$x=1$时，$y=-m×1 +n = -m+n =p$，即点$(1,p)$在直线$y=-mx+n$上；当$x=-3$时，$y=-m×(-3)+n=3m+n=q$，即点$(-3,q)$在直线$y=-mx+n$上。
因此抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=-mx+n$交于$(1,p),(-3,q)$两点，观察函数图象可知：当$x＜-3$或$x＞1$时，抛物线$y=ax^2+c$在直线$y=-mx+n$的上方，即满足$ax^2 + c ＞ -mx + n$，也就是$ax^2 + mx + c ＞ n$。
∴不等式$ax^2 + mx + c ＞ n$的解集为$x＜-3$或$x＞1$。
【答案】
$x＜-3或x＞1$
【知识点】
二次函数与不等式，一次函数对称性，数形结合
【点评】
本题考查利用函数图象求解不等式的解集，解题的关键是对不等式进行合理变形，结合一次函数的对称性找到抛物线与对应直线的交点，再通过观察图象得到解集，有效考查了数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.4
要解不等式$ax^2 + mx + c ＞ n$，首先对不等式变形为$ax^2 + c ＞ -mx + n$，即需要找到抛物线$y=ax^2+c$在直线$y=-mx+n$上方时$x$的取值范围。已知抛物线与原直线$y=mx+n$交于$A(-1,p)$、$B(3,q)$，直线$y=-mx+n$是$y=mx+n$关于$y$轴对称的直线，因此原交点关于$y$轴的对称点就是抛物线与$y=-mx+n$的交点，找到交点后结合图象即可确定不等式的解集。
【解析】
∵抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=mx+n$交于$A(-1,p), B(3,q)$两点，
∴将$x=-1$代入$y=mx+n$得$p=-m+n$，将$x=3$代入得$q=3m+n$。
对于直线$y=-mx+n$：当$x=1$时，$y=-m×1 +n = -m+n =p$，即点$(1,p)$在直线$y=-mx+n$上；当$x=-3$时，$y=-m×(-3)+n=3m+n=q$，即点$(-3,q)$在直线$y=-mx+n$上。
因此抛物线$y=ax^2+c$与直线$y=-mx+n$交于$(1,p),(-3,q)$两点，观察函数图象可知：当$x＜-3$或$x＞1$时，抛物线$y=ax^2+c$在直线$y=-mx+n$的上方，即满足$ax^2 + c ＞ -mx + n$，也就是$ax^2 + mx + c ＞ n$。
∴不等式$ax^2 + mx + c ＞ n$的解集为$x＜-3$或$x＞1$。
【答案】
$x＜-3或x＞1$
【知识点】
二次函数与不等式，一次函数对称性，数形结合
【点评】
本题考查利用函数图象求解不等式的解集，解题的关键是对不等式进行合理变形，结合一次函数的对称性找到抛物线与对应直线的交点，再通过观察图象得到解集，有效考查了数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.4
13 如图,点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$在抛物线$y=x^2$上,点$B_1,B_2,B_3,\dots,B_n$在$y$轴上.若$△ A_1B_0B_1$,$△ A_2B_1B_2,\dots,△ A_nB_{n-1}B_n$都为等腰直角三角形(点$B_0$与坐标原点重合),则$△ A_{2024}B_{2023}B_{2024}$的腰长为
$2024\sqrt{2}$
.答案
13.$2024\sqrt{2}$ 【解析】如图,作$A_1C⊥y$轴,$A_2E⊥y$轴,垂足分别为$C,E$,作$A_1D⊥x$轴,$A_2F⊥x$轴,垂足分别为$D,F$.
∵$△A_1B_0B_1$,$△A_2B_1B_2$都是等腰直角三角形,
∴$B_1C=B_0C=DB_0=A_1D$,$B_2E=B_1E$.设$A_1(a,b)$,则$a=b$,将其代入表达式$y=x^2$,得$a=a^2$,解得$a=0$(不符合题意,舍去)或$a=1$,
∴$B_1B_0=2$.由勾股定理得$A_1B_0=\sqrt{2}$.过$B_1$作$B_1N⊥A_2F$于$N$.设点$A_2(x_2,y_2)$,可得$A_2N=y_2-2$,易得$B_1N=x_2=y_2-2$.又
∵点$A_2$在抛物线上,
∴$y_2=x_2^2$,
∴$x_2+2=x_2^2$,解得$x_2=2$或$x_2=-1$(不合题意,舍去),
∴$A_2B_1=2\sqrt{2}$.同理可得$A_3B_2=3\sqrt{2}$,$A_4B_3=4\sqrt{2}$,…,
∴$A_{2024}B_{2023}=2024\sqrt{2}$,
∴$△A_{2024}B_{2023}B_{2024}$的腰长为$2024\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这是一道二次函数与等腰直角三角形结合的规律探究题，解题时先从第一个等腰直角三角形入手，利用等腰直角三角形两条直角边相等的性质，得到抛物线上点的横坐标与纵坐标的等量关系，代入抛物线解析式求出第一个三角形的腰长；再用同样的方法求出第二个、第三个三角形的腰长，归纳得出第n个三角形腰长的通用规律，最后代入n=2024即可得到结果。
【解析】
作$A_1C⊥y$轴，$A_2E⊥y$轴，垂足分别为$C,E$，作$A_1D⊥x$轴，$A_2F⊥x$轴，垂足分别为$D,F$。
∵$△A_1B_0B_1$，$△A_2B_1B_2$都是等腰直角三角形，
∴$B_1C=B_0C=DB_0=A_1D$，$B_2E=B_1E$。
设$A_1(a,b)$，由等腰直角三角形性质得$a=b$，将其代入$y=x^2$，得$a=a^2$，解得$a=0$（不符合题意，舍去）或$a=1$，
∴$B_1B_0=2$，由勾股定理得$A_1B_0=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
过$B_1$作$B_1N⊥A_2F$于$N$，设点$A_2(x_2,y_2)$，可得$A_2N=y_2-2$，易得$B_1N=x_2=y_2-2$。
又
∵点$A_2$在抛物线上，
∴$y_2=x_2^2$，
∴$x_2+2=x_2^2$，解得$x_2=2$或$x_2=-1$（不合题意，舍去），
∴$A_2B_1=\sqrt{2^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$。
同理可得$A_3B_2=3\sqrt{2}$，$A_4B_3=4\sqrt{2}$，…，
∴规律为第n个等腰直角三角形$△A_nB_{n-1}B_n$的腰长为$n\sqrt{2}$，
∴$△A_{2024}B_{2023}B_{2024}$的腰长为$2024\sqrt{2}$。
【答案】
$2024\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，规律探究
【点评】
本题将二次函数图象性质与等腰直角三角形结合，考查规律探究能力，解题的核心是利用等腰直角三角形的性质建立抛物线上点的横、纵坐标的等量关系，通过求解前几个特殊值归纳出通用规律，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.4
这是一道二次函数与等腰直角三角形结合的规律探究题，解题时先从第一个等腰直角三角形入手，利用等腰直角三角形两条直角边相等的性质，得到抛物线上点的横坐标与纵坐标的等量关系，代入抛物线解析式求出第一个三角形的腰长；再用同样的方法求出第二个、第三个三角形的腰长，归纳得出第n个三角形腰长的通用规律，最后代入n=2024即可得到结果。
【解析】
作$A_1C⊥y$轴，$A_2E⊥y$轴，垂足分别为$C,E$，作$A_1D⊥x$轴，$A_2F⊥x$轴，垂足分别为$D,F$。
∵$△A_1B_0B_1$，$△A_2B_1B_2$都是等腰直角三角形，
∴$B_1C=B_0C=DB_0=A_1D$，$B_2E=B_1E$。
设$A_1(a,b)$，由等腰直角三角形性质得$a=b$，将其代入$y=x^2$，得$a=a^2$，解得$a=0$（不符合题意，舍去）或$a=1$，
∴$B_1B_0=2$，由勾股定理得$A_1B_0=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
过$B_1$作$B_1N⊥A_2F$于$N$，设点$A_2(x_2,y_2)$，可得$A_2N=y_2-2$，易得$B_1N=x_2=y_2-2$。
又
∵点$A_2$在抛物线上，
∴$y_2=x_2^2$，
∴$x_2+2=x_2^2$，解得$x_2=2$或$x_2=-1$（不合题意，舍去），
∴$A_2B_1=\sqrt{2^2+(4-2)^2}=2\sqrt{2}$。
同理可得$A_3B_2=3\sqrt{2}$，$A_4B_3=4\sqrt{2}$，…，
∴规律为第n个等腰直角三角形$△A_nB_{n-1}B_n$的腰长为$n\sqrt{2}$，
∴$△A_{2024}B_{2023}B_{2024}$的腰长为$2024\sqrt{2}$。
【答案】
$2024\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，规律探究
【点评】
本题将二次函数图象性质与等腰直角三角形结合，考查规律探究能力，解题的核心是利用等腰直角三角形的性质建立抛物线上点的横、纵坐标的等量关系，通过求解前几个特殊值归纳出通用规律，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.4
14[2026广东广州期中]在平面直角坐标系中，已知点$A(1,2),B(2,3),C(2,1)$，直线$y=x+m$经过点$A$，抛物线$y=ax^2+bx+1$恰好经过$A,B,C$三点中的两点，则$a+b=$
$1$
.平移抛物线$y=ax^2+bx+1$，若平移后所得抛物线的顶点在直线$y=x+m$上，则平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标的最大值是$\frac{5}{4}$
.答案
14.$1\quad \frac{5}{4}$ 【解析】
∵直线$y=x+m$经过点$A(1,2)$,
∴$2=1+m$,解得$m=1$,
∴直线的表达式为$y=x+1$.把$x=0$代入$y=x+1$得$y=1$,把$x=2$代入$y=x+1$得$y=3$,
∴点$(0,1)$和点$B(2,3)$都在直线$y=x+1$上.把$x=0$代入$y=ax^2+bx+1$得$y=1$,
∴点$(0,1)$在抛物线$y=ax^2+bx+1$上.
∵抛物线$y=ax^2+bx+1$恰好经过$A,B,C$三点中的两点,且点$B$和点$C$的横坐标相同,
∴点$A$在抛物线$y=ax^2+bx+1$上,
∴点$(0,1),A(1,2)$为直线$y=x+1$和抛物线$y=ax^2+bx+1$的两个交点.
∵直线与抛物线不可能有三个交点,点$B$在直线$y=x+1$上,
∴点$B$不在抛物线$y=ax^2+bx+1$上,
∴抛物线$y=ax^2+bx+1$只能经过$A,C$两点.把$A(1,2),C(2,1)$代入$y=ax^2+bx+1$,得$\begin{cases}a+b+1=2,\\4a+2b+1=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴$a+b=-1+2=1$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+1$.设平移后的抛物线的表达式为$y=-x^2+px+q$,其顶点坐标为$(\frac{p}{2},\frac{p^2}{4}+q)$.
∵平移后所得抛物线的顶点在直线$y=x+1$上,
∴$\frac{p^2}{4}+q=\frac{p}{2}+1$,
∴$q=-\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}+1$.
∵抛物线$y=-x^2+px+q$与$y$轴交点的纵坐标为$q$,$q=-\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}+1=-\frac{1}{4}(p-1)^2+\frac{5}{4}$,
∴当$p=1$时,平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标取得最大值,最大值为$\frac{5}{4}$.故答案为$1$,$\frac{5}{4}$.
∵直线$y=x+m$经过点$A(1,2)$,
∴$2=1+m$,解得$m=1$,
∴直线的表达式为$y=x+1$.把$x=0$代入$y=x+1$得$y=1$,把$x=2$代入$y=x+1$得$y=3$,
∴点$(0,1)$和点$B(2,3)$都在直线$y=x+1$上.把$x=0$代入$y=ax^2+bx+1$得$y=1$,
∴点$(0,1)$在抛物线$y=ax^2+bx+1$上.
∵抛物线$y=ax^2+bx+1$恰好经过$A,B,C$三点中的两点,且点$B$和点$C$的横坐标相同,
∴点$A$在抛物线$y=ax^2+bx+1$上,
∴点$(0,1),A(1,2)$为直线$y=x+1$和抛物线$y=ax^2+bx+1$的两个交点.
∵直线与抛物线不可能有三个交点,点$B$在直线$y=x+1$上,
∴点$B$不在抛物线$y=ax^2+bx+1$上,
∴抛物线$y=ax^2+bx+1$只能经过$A,C$两点.把$A(1,2),C(2,1)$代入$y=ax^2+bx+1$,得$\begin{cases}a+b+1=2,\\4a+2b+1=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴$a+b=-1+2=1$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+1$.设平移后的抛物线的表达式为$y=-x^2+px+q$,其顶点坐标为$(\frac{p}{2},\frac{p^2}{4}+q)$.
∵平移后所得抛物线的顶点在直线$y=x+1$上,
∴$\frac{p^2}{4}+q=\frac{p}{2}+1$,
∴$q=-\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}+1$.
∵抛物线$y=-x^2+px+q$与$y$轴交点的纵坐标为$q$,$q=-\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}+1=-\frac{1}{4}(p-1)^2+\frac{5}{4}$,
∴当$p=1$时,平移后所得抛物线与$y$轴交点纵坐标取得最大值,最大值为$\frac{5}{4}$.故答案为$1$,$\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
解题分两步推进：第一步先求直线解析式，再确定抛物线经过的两点：首先将点A代入直线方程求出m，再观察抛物线恒过点(0,1)，结合B、C横坐标相同（抛物线不能同时过横坐标相同的两点）、直线与抛物线最多2个交点的限制，可判断抛物线只能经过A、C两点，代入即可求a、b的值，得到a+b；第二步求平移后抛物线与y轴交点纵坐标的最大值：平移不改变二次项系数，设出平移后抛物线的解析式，利用顶点在直线上的条件得到y轴交点纵坐标的表达式，配方求最大值即可。
【解析】
1. 求直线解析式：
∵直线$y=x+m$经过点$A(1,2)$，代入得$2=1+m$，解得$m=1$，
∴直线解析式为$y=x+1$，验证可知点$(0,1)$、$A(1,2)$、$B(2,3)$均在该直线上。
2. 确定抛物线经过的点：
抛物线$y=ax^2+bx+1$当$x=0$时$y=1$，即恒过点$(0,1)$；
又
∵B、C横坐标均为2，二次函数一个x仅对应一个y，故抛物线不可能同时过B、C两点；
∵直线与抛物线最多有2个交点，若抛物线过B点，则会出现$(0,1)、A、B$三个共线点在抛物线上，不符合交点限制，故抛物线只能过A、C两点。
3. 求$a+b$的值：
将$A(1,2)、C(2,1)$代入$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}a+b+1=2\\4a+2b+1=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$，故$a+b=-1+2=1$，原抛物线解析式为$y=-x^2+2x+1$。
4. 求平移后抛物线与y轴交点纵坐标的最大值：
抛物线平移不改变二次项系数，设平移后解析式为$y=-x^2+px+q$，其顶点坐标为$(\frac{p}{2},\frac{p^2}{4}+q)$，
∵顶点在直线$y=x+1$上，代入得：$\frac{p^2}{4}+q=\frac{p}{2}+1$，整理得$q=-\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}+1$，
抛物线与y轴交点纵坐标即为q，对q配方：
$q=-\frac{1}{4}(p-1)^2+\frac{5}{4}$，
∵$-\frac{1}{4}＜0$，
∴当$p=1$时，q取最大值$\frac{5}{4}$。
【答案】
$1$；$\frac{5}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移；二次函数最值
【点评】
本题综合考察一次函数、二次函数的核心性质，解题的关键是利用直线与抛物线的交点限制、抛物线的函数特征确定经过的两点，再结合平移性质转化为最值问题，能较好锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题分两步推进：第一步先求直线解析式，再确定抛物线经过的两点：首先将点A代入直线方程求出m，再观察抛物线恒过点(0,1)，结合B、C横坐标相同（抛物线不能同时过横坐标相同的两点）、直线与抛物线最多2个交点的限制，可判断抛物线只能经过A、C两点，代入即可求a、b的值，得到a+b；第二步求平移后抛物线与y轴交点纵坐标的最大值：平移不改变二次项系数，设出平移后抛物线的解析式，利用顶点在直线上的条件得到y轴交点纵坐标的表达式，配方求最大值即可。
【解析】
1. 求直线解析式：
∵直线$y=x+m$经过点$A(1,2)$，代入得$2=1+m$，解得$m=1$，
∴直线解析式为$y=x+1$，验证可知点$(0,1)$、$A(1,2)$、$B(2,3)$均在该直线上。
2. 确定抛物线经过的点：
抛物线$y=ax^2+bx+1$当$x=0$时$y=1$，即恒过点$(0,1)$；
又
∵B、C横坐标均为2，二次函数一个x仅对应一个y，故抛物线不可能同时过B、C两点；
∵直线与抛物线最多有2个交点，若抛物线过B点，则会出现$(0,1)、A、B$三个共线点在抛物线上，不符合交点限制，故抛物线只能过A、C两点。
3. 求$a+b$的值：
将$A(1,2)、C(2,1)$代入$y=ax^2+bx+1$，得：
$\begin{cases}a+b+1=2\\4a+2b+1=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$，故$a+b=-1+2=1$，原抛物线解析式为$y=-x^2+2x+1$。
4. 求平移后抛物线与y轴交点纵坐标的最大值：
抛物线平移不改变二次项系数，设平移后解析式为$y=-x^2+px+q$，其顶点坐标为$(\frac{p}{2},\frac{p^2}{4}+q)$，
∵顶点在直线$y=x+1$上，代入得：$\frac{p^2}{4}+q=\frac{p}{2}+1$，整理得$q=-\frac{p^2}{4}+\frac{p}{2}+1$，
抛物线与y轴交点纵坐标即为q，对q配方：
$q=-\frac{1}{4}(p-1)^2+\frac{5}{4}$，
∵$-\frac{1}{4}＜0$，
∴当$p=1$时，q取最大值$\frac{5}{4}$。
【答案】
$1$；$\frac{5}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移；二次函数最值
【点评】
本题综合考察一次函数、二次函数的核心性质，解题的关键是利用直线与抛物线的交点限制、抛物线的函数特征确定经过的两点，再结合平移性质转化为最值问题，能较好锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共5小题,共44分)
15[2026安徽合肥质检]如图,已知二次函数$y=-x^2+2x+3$的图象与x轴分别交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求AB的长；
(2)求$△ ABC$的面积.
15[2026安徽合肥质检]如图,已知二次函数$y=-x^2+2x+3$的图象与x轴分别交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求AB的长；
(2)求$△ ABC$的面积.
答案
15.【解】(1)对于$y=-x^2+2x+3$,当$y=0$时,$-x^2+2x+3=0$,解得$x=-1$或$x=3$,
∴$A(-1,0),B(3,0)$,
∴$AB=3-(-1)=4$.(2)对于$y=-x^2+2x+3$,当$x=0$时,$y=3$,
∴点$C(0,3)$,
∴$OC=3$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$.
∴$A(-1,0),B(3,0)$,
∴$AB=3-(-1)=4$.(2)对于$y=-x^2+2x+3$,当$x=0$时,$y=3$,
∴点$C(0,3)$,
∴$OC=3$,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$.
解析
【分析】
(1)求AB的长需先得到A、B两点的坐标：A、B是二次函数与x轴的交点，令函数中y=0，解对应的一元二次方程可得两点横坐标，结合点A在点B左侧确定两点坐标，用右侧点横坐标减去左侧点横坐标即可得到AB的长度。(2)求△ABC的面积，AB为底，只需得到AB边上的高：C是二次函数与y轴的交点，令函数中x=0可得点C的纵坐标，该纵坐标的绝对值就是AB边上的高，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1)对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，令$y=0$，得：
$-x^2+2x+3=0$
因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x=-1$或$x=3$
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴$AB=3-(-1)=4$
(2)对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，令$x=0$，得$y=3$，
∴点$C(0,3)$，即AB边上的高$OC=3$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$
【答案】
(1)$AB=4$；(2)$△ ABC$的面积为$6$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、两点间距离计算、三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合坐标特征计算线段长度和图形面积，解题思路清晰，掌握基础方法即可快速作答。
【难度系数】
0.85
(1)求AB的长需先得到A、B两点的坐标：A、B是二次函数与x轴的交点，令函数中y=0，解对应的一元二次方程可得两点横坐标，结合点A在点B左侧确定两点坐标，用右侧点横坐标减去左侧点横坐标即可得到AB的长度。(2)求△ABC的面积，AB为底，只需得到AB边上的高：C是二次函数与y轴的交点，令函数中x=0可得点C的纵坐标，该纵坐标的绝对值就是AB边上的高，代入三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1)对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，令$y=0$，得：
$-x^2+2x+3=0$
因式分解得$-(x+1)(x-3)=0$，解得$x=-1$或$x=3$
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$
∴$AB=3-(-1)=4$
(2)对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，令$x=0$，得$y=3$，
∴点$C(0,3)$，即AB边上的高$OC=3$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×4×3=6$
【答案】
(1)$AB=4$；(2)$△ ABC$的面积为$6$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、两点间距离计算、三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合坐标特征计算线段长度和图形面积，解题思路清晰，掌握基础方法即可快速作答。
【难度系数】
0.85
16 已知二次函数$y=x^2 -2ax +1 -a$.
(1)若图象过点$(3,3)$,求抛物线的顶点坐标.
(2)若图象与坐标轴有两个交点,求$a$的值.
(3)若函数图象上有两个不同的点$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$,且$x_1 +x_2 = -1$,求$y_1 + y_2$的取值范围.
(1)若图象过点$(3,3)$,求抛物线的顶点坐标.
(2)若图象与坐标轴有两个交点,求$a$的值.
(3)若函数图象上有两个不同的点$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$,且$x_1 +x_2 = -1$,求$y_1 + y_2$的取值范围.
答案
16.【解】(1)把点$(3,3)$代入$y=x^2-2ax+1-a$,解得$a=1$,
∴二次函数表达式是$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.(2)当二次函数图象与坐标轴有两个交点时,抛物线顶点在$x$轴上或者抛物线经过原点.①抛物线顶点在$x$轴上,即抛物线与$x$轴有唯一交点,
∴对于方程$x^2-2ax+1-a=0$,$Δ=(-2a)^2-4(1-a)=0$,解得$a=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$.②抛物线经过原点,即$1-a=0$,解得$a=1$.当$a=1$时,对于方程$x^2-2x=0$,$Δ=4＞0$,满足题意.综上所述,$a$的值为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或$1$.(3)
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是函数$y=x^2-2ax+1-a$图象上的两个点,
∴$y_1=x_1^2-2ax_1+1-a$,$y_2=x_2^2-2ax_2+1-a$,
∴$y_1+y_2=x_1^2+x_2^2-2a(x_1+x_2)+2-2a$.
∵$x_1+x_2=-1$,
∴$x_2=-1-x_1$,
∴$y_1+y_2=x_1^2+(-1-x_1)^2+2a-2a+2=2x_1^2+2x_1+3=2(x_1+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{2}≥\frac{5}{2}$.
∵点$A,B$是函数图象上两个不同的点,
∴$x_1≠x_2≠-\frac{1}{2}$,
∴$y_1+y_2＞\frac{5}{2}$.
∴二次函数表达式是$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.(2)当二次函数图象与坐标轴有两个交点时,抛物线顶点在$x$轴上或者抛物线经过原点.①抛物线顶点在$x$轴上,即抛物线与$x$轴有唯一交点,
∴对于方程$x^2-2ax+1-a=0$,$Δ=(-2a)^2-4(1-a)=0$,解得$a=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$.②抛物线经过原点,即$1-a=0$,解得$a=1$.当$a=1$时,对于方程$x^2-2x=0$,$Δ=4＞0$,满足题意.综上所述,$a$的值为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或$1$.(3)
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是函数$y=x^2-2ax+1-a$图象上的两个点,
∴$y_1=x_1^2-2ax_1+1-a$,$y_2=x_2^2-2ax_2+1-a$,
∴$y_1+y_2=x_1^2+x_2^2-2a(x_1+x_2)+2-2a$.
∵$x_1+x_2=-1$,
∴$x_2=-1-x_1$,
∴$y_1+y_2=x_1^2+(-1-x_1)^2+2a-2a+2=2x_1^2+2x_1+3=2(x_1+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{2}≥\frac{5}{2}$.
∵点$A,B$是函数图象上两个不同的点,
∴$x_1≠x_2≠-\frac{1}{2}$,
∴$y_1+y_2＞\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象过定点，首先将点坐标代入函数解析式求出参数a的值，再将二次函数化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 图象与坐标轴有两个交点需分类讨论：①抛物线顶点在x轴上，即与x轴仅有1个交点，此时对应一元二次方程的判别式Δ=0，解方程求a；②抛物线经过原点，此时与y轴的交点和x轴的一个交点重合，总交点数为2，令常数项为0求a，验证符合条件后汇总所有结果。
(3) 先将两点坐标代入函数式，相加得到y₁+y₂的表达式，再利用x₁+x₂=-1将表达式转化为仅含x₁的二次函数，结合二次函数最值性质，同时根据“两点不同”的条件排除取等的情况，即可得到取值范围。
【解析】
(1) 将点$(3,3)$代入$y=x^2 -2ax +1 -a$，得：
$3=3^2-6a+1-a$
解得$a=1$
∴二次函数解析式为$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 抛物线顶点在x轴上，与x轴仅有1个交点，对应方程$x^2 -2ax +1 -a=0$的判别式Δ=0：
$Δ=(-2a)^2-4(1-a)=0$
化简得$a^2+a-1=0$，解得$a=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。
② 抛物线经过原点，即x=0时y=0，得$1-a=0$，解得$a=1$。
验证：当a=1时，方程为$x^2-2x=0$，Δ=4＞0，与坐标轴共有2个交点，符合题意。
综上，a的值为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$、$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或1。
(3)
∵A、B在函数图象上
∴$y_1=x_1^2-2ax_1+1-a$，$y_2=x_2^2-2ax_2+1-a$
两式相加得：
$y_1+y_2=x_1^2+x_2^2-2a(x_1+x_2)+2-2a$
由$x_1+x_2=-1$得$x_2=-1-x_1$，代入上式化简：
$y_1+y_2=2x_1^2+2x_1+3=2(x_1+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{2}$
∵A、B是不同的点，
∴$x_1≠x_2$，即$x_1≠-\frac{1}{2}$
∴$2(x_1+\frac{1}{2})^2＞0$，即$y_1+y_2＞\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$、$\boldsymbol{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$或$\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{y_1+y_2＞\frac{5}{2}}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 根的判别式的应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解第二问中“过原点”的情况，同时要关注题干中“两个不同的点”的限制条件，防止第三问取值范围多写等号，对逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知二次函数图象过定点，首先将点坐标代入函数解析式求出参数a的值，再将二次函数化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 图象与坐标轴有两个交点需分类讨论：①抛物线顶点在x轴上，即与x轴仅有1个交点，此时对应一元二次方程的判别式Δ=0，解方程求a；②抛物线经过原点，此时与y轴的交点和x轴的一个交点重合，总交点数为2，令常数项为0求a，验证符合条件后汇总所有结果。
(3) 先将两点坐标代入函数式，相加得到y₁+y₂的表达式，再利用x₁+x₂=-1将表达式转化为仅含x₁的二次函数，结合二次函数最值性质，同时根据“两点不同”的条件排除取等的情况，即可得到取值范围。
【解析】
(1) 将点$(3,3)$代入$y=x^2 -2ax +1 -a$，得：
$3=3^2-6a+1-a$
解得$a=1$
∴二次函数解析式为$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 抛物线顶点在x轴上，与x轴仅有1个交点，对应方程$x^2 -2ax +1 -a=0$的判别式Δ=0：
$Δ=(-2a)^2-4(1-a)=0$
化简得$a^2+a-1=0$，解得$a=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$。
② 抛物线经过原点，即x=0时y=0，得$1-a=0$，解得$a=1$。
验证：当a=1时，方程为$x^2-2x=0$，Δ=4＞0，与坐标轴共有2个交点，符合题意。
综上，a的值为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$、$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$或1。
(3)
∵A、B在函数图象上
∴$y_1=x_1^2-2ax_1+1-a$，$y_2=x_2^2-2ax_2+1-a$
两式相加得：
$y_1+y_2=x_1^2+x_2^2-2a(x_1+x_2)+2-2a$
由$x_1+x_2=-1$得$x_2=-1-x_1$，代入上式化简：
$y_1+y_2=2x_1^2+2x_1+3=2(x_1+\frac{1}{2})^2+\frac{5}{2}$
∵A、B是不同的点，
∴$x_1≠x_2$，即$x_1≠-\frac{1}{2}$
∴$2(x_1+\frac{1}{2})^2＞0$，即$y_1+y_2＞\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$、$\boldsymbol{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}$或$\boldsymbol{1}$
(3) $\boldsymbol{y_1+y_2＞\frac{5}{2}}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 根的判别式的应用
3. 二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的相关应用，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解第二问中“过原点”的情况，同时要关注题干中“两个不同的点”的限制条件，防止第三问取值范围多写等号，对逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
17[2026江苏扬州期中]如图,在三角形ABC中,BC=12,AD是BC边上的高,AD=8,P,N分别是AB,AC上的点,Q,M是BC上的点,连接PQ,MN,PN,PN交AD于点E.
(1)如图(1),若四边形PQMN是正方形,求PQ的长;
(2)如图(2),若四边形PQMN是矩形,且PQ:PN=1:2,求PQ,PN的长;
(3)若四边形PQMN是矩形,当矩形PQMN面积最大时,求其面积和此时PQ,PN的长.
(1)如图(1),若四边形PQMN是正方形,求PQ的长;
(2)如图(2),若四边形PQMN是矩形,且PQ:PN=1:2,求PQ,PN的长;
(3)若四边形PQMN是矩形,当矩形PQMN面积最大时,求其面积和此时PQ,PN的长.
答案
17.【解】(1)设正方形$PQMN$的边长为$x$.
∵四边形$PQMN$为正方形,
∴$PN//BC$,
∴易得$△APN∽△ABC$,
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$,解得$x=4.8$,
∴正方形$PQMN$的边长是4.8,
∴$PQ=4.8$.(2)设$PQ=y$,则$PN=2y$.由四边形$PQMN$是矩形易得$△APN∽△ABC$,
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{2y}{12}=\frac{8-y}{8}$,解得$y=\frac{24}{7}$,
∴$PQ=\frac{24}{7}$,$PN=\frac{48}{7}$.(3)
∵四边形$PQMN$是矩形,
∴$PN//BC$,$∠PQM=∠QPN=90°$,
∴易得$△APN∽△ABC$.
∵$AD$是$BC$边上的高,
∴$∠ADB=90°$,
∴四边形$PQDE$是矩形,
∴$PQ=DE$.
∵$△APN∽△ABC$,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$.设$AE=x(0＜x＜8)$,矩形$PQMN$的面积为$S$,则$\frac{x}{8}=\frac{PN}{12}$,$DE=8-x$,
∴$PN=\frac{3}{2}x$,$PQ=8-x$,
∴$S=PQ·PN=\frac{3}{2}x(8-x)=-\frac{3}{2}(x-4)^2+24$.
∵$-\frac{3}{2}＜0$,
∴当$x=4$时,$S$取得最大值24,即当$AE=4$时,矩形$PQMN$的面积最大,最大面积是24,此时$PQ=4$,$PN=6$.
∵四边形$PQMN$为正方形,
∴$PN//BC$,
∴易得$△APN∽△ABC$,
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$,解得$x=4.8$,
∴正方形$PQMN$的边长是4.8,
∴$PQ=4.8$.(2)设$PQ=y$,则$PN=2y$.由四边形$PQMN$是矩形易得$△APN∽△ABC$,
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{2y}{12}=\frac{8-y}{8}$,解得$y=\frac{24}{7}$,
∴$PQ=\frac{24}{7}$,$PN=\frac{48}{7}$.(3)
∵四边形$PQMN$是矩形,
∴$PN//BC$,$∠PQM=∠QPN=90°$,
∴易得$△APN∽△ABC$.
∵$AD$是$BC$边上的高,
∴$∠ADB=90°$,
∴四边形$PQDE$是矩形,
∴$PQ=DE$.
∵$△APN∽△ABC$,
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$.设$AE=x(0＜x＜8)$,矩形$PQMN$的面积为$S$,则$\frac{x}{8}=\frac{PN}{12}$,$DE=8-x$,
∴$PN=\frac{3}{2}x$,$PQ=8-x$,
∴$S=PQ·PN=\frac{3}{2}x(8-x)=-\frac{3}{2}(x-4)^2+24$.
∵$-\frac{3}{2}＜0$,
∴当$x=4$时,$S$取得最大值24,即当$AE=4$时,矩形$PQMN$的面积最大,最大面积是24,此时$PQ=4$,$PN=6$.
解析
【分析】
本题围绕三角形内接矩形、正方形的边长及面积计算展开，核心解题思路如下：
(1) 正方形中PN平行于BC，可得△APN∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形边长为x，列方程即可求解；
(2) 矩形长宽比为1:2，设PQ为y，PN为2y，同理利用相似三角形的比例关系列方程求解；
(3) 设AE的长度为自变量，用自变量表示出矩形的长和宽，得到面积关于自变量的二次函数表达式，通过配方求二次函数的最大值即可。
【解析】
(1) 设正方形$PQMN$的边长为$x$。
∵四边形$PQMN$为正方形，
∴$PN//BC$，
∴$△APN∽△ABC$，相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$。
其中$PN=x$，$BC=12$，$AE=AD-ED=8-x$，$AD=8$，代入得$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$，
解得$x=4.8$，故$PQ=4.8$。
(2) 设$PQ=y$，由$PQ:PN=1:2$得$PN=2y$。
∵四边形$PQMN$是矩形，
∴$PN//BC$，
同理得$△APN∽△ABC$，$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，其中$AE=8-y$，
代入得$\frac{2y}{12}=\frac{8-y}{8}$，
解得$y=\frac{24}{7}$，故$PQ=\frac{24}{7}$，$PN=2×\frac{24}{7}=\frac{48}{7}$。
(3) 设$AE=x(0＜x＜8)$，矩形$PQMN$的面积为$S$。
∵四边形$PQMN$是矩形，
∴$PN//BC$，$∠PQD=90°$，
又$AD⊥BC$，
∴四边形$PQDE$是矩形，故$PQ=DE=8-x$。
由$△APN∽△ABC$得$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$，即$\frac{x}{8}=\frac{PN}{12}$，解得$PN=\frac{3}{2}x$，
∴面积$S=PQ·PN=(8-x)×\frac{3}{2}x=-\frac{3}{2}(x-4)^2+24$。
∵$-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$x=4$时，$S$取得最大值24，此时$PQ=8-4=4$，$PN=\frac{3}{2}×4=6$。
【答案】
(1) $PQ=4.8$；
(2) $PQ=\frac{24}{7}$，$PN=\frac{48}{7}$；
(3) 矩形最大面积为24，此时$PQ=4$，$PN=6$。
【知识点】
相似三角形的性质，特殊四边形的性质，二次函数最值应用
【点评】
本题是三角形内接多边形的典型题型，将几何性质与方程、二次函数知识结合，解题核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，求最值时需熟练掌握二次函数配方法。
【难度系数】
0.6
本题围绕三角形内接矩形、正方形的边长及面积计算展开，核心解题思路如下：
(1) 正方形中PN平行于BC，可得△APN∽△ABC，利用相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形边长为x，列方程即可求解；
(2) 矩形长宽比为1:2，设PQ为y，PN为2y，同理利用相似三角形的比例关系列方程求解；
(3) 设AE的长度为自变量，用自变量表示出矩形的长和宽，得到面积关于自变量的二次函数表达式，通过配方求二次函数的最大值即可。
【解析】
(1) 设正方形$PQMN$的边长为$x$。
∵四边形$PQMN$为正方形，
∴$PN//BC$，
∴$△APN∽△ABC$，相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$。
其中$PN=x$，$BC=12$，$AE=AD-ED=8-x$，$AD=8$，代入得$\frac{x}{12}=\frac{8-x}{8}$，
解得$x=4.8$，故$PQ=4.8$。
(2) 设$PQ=y$，由$PQ:PN=1:2$得$PN=2y$。
∵四边形$PQMN$是矩形，
∴$PN//BC$，
同理得$△APN∽△ABC$，$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，其中$AE=8-y$，
代入得$\frac{2y}{12}=\frac{8-y}{8}$，
解得$y=\frac{24}{7}$，故$PQ=\frac{24}{7}$，$PN=2×\frac{24}{7}=\frac{48}{7}$。
(3) 设$AE=x(0＜x＜8)$，矩形$PQMN$的面积为$S$。
∵四边形$PQMN$是矩形，
∴$PN//BC$，$∠PQD=90°$，
又$AD⊥BC$，
∴四边形$PQDE$是矩形，故$PQ=DE=8-x$。
由$△APN∽△ABC$得$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$，即$\frac{x}{8}=\frac{PN}{12}$，解得$PN=\frac{3}{2}x$，
∴面积$S=PQ·PN=(8-x)×\frac{3}{2}x=-\frac{3}{2}(x-4)^2+24$。
∵$-\frac{3}{2}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$x=4$时，$S$取得最大值24，此时$PQ=8-4=4$，$PN=\frac{3}{2}×4=6$。
【答案】
(1) $PQ=4.8$；
(2) $PQ=\frac{24}{7}$，$PN=\frac{48}{7}$；
(3) 矩形最大面积为24，此时$PQ=4$，$PN=6$。
【知识点】
相似三角形的性质，特殊四边形的性质，二次函数最值应用
【点评】
本题是三角形内接多边形的典型题型，将几何性质与方程、二次函数知识结合，解题核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，求最值时需熟练掌握二次函数配方法。
【难度系数】
0.6
