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一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1 [2026河北邯郸期中]下列y关于x的函数中,是二次函数的是(
A.$y=\frac{1}{2}x^2$
B.$y=2^2 -2x$
C.$y=\frac{1}{x^2}$
D.$y=(x+2)^2 -x^2$
1 [2026河北邯郸期中]下列y关于x的函数中,是二次函数的是(
A
)A.$y=\frac{1}{2}x^2$
B.$y=2^2 -2x$
C.$y=\frac{1}{x^2}$
D.$y=(x+2)^2 -x^2$
答案
1.A 【解析】$y=\frac{1}{2}x^2$是二次函数,故A选项符合题意;$y=2^2-2x$中$x$的最高次数是1,不是二次函数,故B选项不符合题意;$y=\frac{1}{x^2}$中$x$的次数为-2,不是二次函数,故C选项不符合题意;$y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$,$x$的最高次数是1,不是二次函数,故D选项不符合题意.故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①是关于$x$的整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来逐个分析选项，对照判定标准筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一判断：
A选项：$y=\frac{1}{2}x^2$符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项符合题意；
B选项：$y=2^2-2x$中$x$的最高次数是1，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C选项：$y=\frac{1}{x^2}$中$x$的次数为-2，不是整式，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意；
D选项：对函数化简可得$y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，$x$的最高次数是1，不是二次函数，故该选项不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
这道题属于基础概念考查题，易错点在于判断时容易忽略先化简函数表达式、或者忽略二次函数必须是整式的要求，只要牢记二次函数的判定要点，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①是关于$x$的整式函数；②自变量$x$的最高次数为2；③二次项系数不为0。接下来逐个分析选项，对照判定标准筛选出符合要求的选项即可。
【解析】
根据二次函数的定义逐一判断：
A选项：$y=\frac{1}{2}x^2$符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项符合题意；
B选项：$y=2^2-2x$中$x$的最高次数是1，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C选项：$y=\frac{1}{x^2}$中$x$的次数为-2，不是整式，不符合二次函数定义，故该选项不符合题意；
D选项：对函数化简可得$y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，$x$的最高次数是1，不是二次函数，故该选项不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
这道题属于基础概念考查题，易错点在于判断时容易忽略先化简函数表达式、或者忽略二次函数必须是整式的要求，只要牢记二次函数的判定要点，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
2 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的$x$与$y$的部分对应值如表，则当$x=4$时，$y$的值为（
A.15
B.10
C.7
D.6
B
）A.15
B.10
C.7
D.6
答案
2.B 【解析】由表格可知,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的对称轴是直线$x=\frac{1+3}{2}=2$,
∴$x=4$时对应的$y$值和$x=0$时对应的$y$值相等,
∵$x=0$时,$y=10$,
∴$x=4$时,$y=10$,故选 B.
∴$x=4$时对应的$y$值和$x=0$时对应的$y$值相等,
∵$x=0$时,$y=10$,
∴$x=4$时,$y=10$,故选 B.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次函数的轴对称性质：抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值。首先观察表格中y值相同的对应x值，确定抛物线的对称轴，再找到x=4关于对称轴的对称点，该对称点对应的y值就是x=4时的y值，这种方法比代入三点求解析式再计算x=4的y值更简便。
【解析】
由表格数据可知，当x=1和x=3时，y的值均为7，因此这两个点是抛物线上的对称点，二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
根据二次函数的对称性，横坐标关于对称轴对称的点纵坐标相等，计算得x=4关于直线x=2的对称点为$2×2-4=0$，即x=4和x=0关于对称轴对称。
已知x=0时，y=10，因此x=4时，y=10，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数图象性质
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，无需通过待定系数法求解函数解析式，利用对称性即可快速得到结果，能有效简化计算。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用二次函数的轴对称性质：抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值。首先观察表格中y值相同的对应x值，确定抛物线的对称轴，再找到x=4关于对称轴的对称点，该对称点对应的y值就是x=4时的y值，这种方法比代入三点求解析式再计算x=4的y值更简便。
【解析】
由表格数据可知，当x=1和x=3时，y的值均为7，因此这两个点是抛物线上的对称点，二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$。
根据二次函数的对称性，横坐标关于对称轴对称的点纵坐标相等，计算得x=4关于直线x=2的对称点为$2×2-4=0$，即x=4和x=0关于对称轴对称。
已知x=0时，y=10，因此x=4时，y=10，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数图象性质
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，无需通过待定系数法求解函数解析式，利用对称性即可快速得到结果，能有效简化计算。
【难度系数】
0.7
3[2025广东珠海期中]二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）满足以下三个条件：①$ac＞0$；②$b^2＞4ac$；③$a-b+c＜0$，则它的图象可能是（
C
）答案
3.C 【解析】由$ac＞0$可知$a,c$同号,故排除D选项.由$b^2＞4ac$,即$b^2-4ac＞0$可知,抛物线与$x$轴有两个不同的交点,故排除A选项.由$a-b+c＜0$可知,当$x=-1$时,$y＜0$,故排除B选项.故满足条件的图象可能是C选项.故选 C.
解析
【分析】
本题是二次函数图象与性质的综合判断题，解题时可结合给出的三个条件，采用排除法逐一筛选错误选项：第一步先根据$ac＞0$判断$a$、$c$的符号关系，结合开口方向和抛物线与$y$轴的交点位置排除不符合的选项；第二步根据判别式$b^2-4ac＞0$的几何意义，排除与$x$轴交点个数不符合的选项；第三步根据$a-b+c$的几何意义（即$x=-1$时的函数值），排除剩余不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 根据条件①$ac＞0$，可知二次项系数$a$和常数项$c$同号：若抛物线开口向上（$a＞0$），则抛物线与$y$轴交于正半轴（$c＞0$）；若开口向下（$a＜0$），则与$y$轴交于负半轴（$c＜0$）。选项D开口向上但与y轴交于负半轴，$ac＜0$不符合条件，排除D。
2. 根据条件②$b^2＞4ac$，即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，说明抛物线与$x$轴有两个不同的交点。选项A的抛物线与x轴无交点，不符合条件，排除A。
3. 根据条件③$a-b+c＜0$：当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，即$x=-1$时对应的函数值小于0，该点应在x轴下方。选项B中$x=-1$对应的点在x轴上方，$y＞0$，不符合条件，排除B。
综上，只有选项C满足所有条件。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数判别式；二次函数函数值计算
【点评】
本题是二次函数图象类的典型题型，核心是将代数条件和图象特征一一对应，通过逐步排除法快速锁定正确答案，能有效考察学生对二次函数性质的综合运用能力，熟练掌握特殊点的函数值含义和系数对应的图象特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数图象与性质的综合判断题，解题时可结合给出的三个条件，采用排除法逐一筛选错误选项：第一步先根据$ac＞0$判断$a$、$c$的符号关系，结合开口方向和抛物线与$y$轴的交点位置排除不符合的选项；第二步根据判别式$b^2-4ac＞0$的几何意义，排除与$x$轴交点个数不符合的选项；第三步根据$a-b+c$的几何意义（即$x=-1$时的函数值），排除剩余不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 根据条件①$ac＞0$，可知二次项系数$a$和常数项$c$同号：若抛物线开口向上（$a＞0$），则抛物线与$y$轴交于正半轴（$c＞0$）；若开口向下（$a＜0$），则与$y$轴交于负半轴（$c＜0$）。选项D开口向上但与y轴交于负半轴，$ac＜0$不符合条件，排除D。
2. 根据条件②$b^2＞4ac$，即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，说明抛物线与$x$轴有两个不同的交点。选项A的抛物线与x轴无交点，不符合条件，排除A。
3. 根据条件③$a-b+c＜0$：当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，即$x=-1$时对应的函数值小于0，该点应在x轴下方。选项B中$x=-1$对应的点在x轴上方，$y＞0$，不符合条件，排除B。
综上，只有选项C满足所有条件。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数判别式；二次函数函数值计算
【点评】
本题是二次函数图象类的典型题型，核心是将代数条件和图象特征一一对应，通过逐步排除法快速锁定正确答案，能有效考察学生对二次函数性质的综合运用能力，熟练掌握特殊点的函数值含义和系数对应的图象特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4[2026安徽合肥质检]已知二次函数$y=ax^2 -2ax +c$中$x$和$y$的部分对应值如下表所示.
则方程$ax^2 -2ax +c=0$的较大的根的取值范围是
(
A.$-0.5＜x＜-0.4$
B.$-0.6＜x＜-0.5$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$
则方程$ax^2 -2ax +c=0$的较大的根的取值范围是
(
C
)A.$-0.5＜x＜-0.4$
B.$-0.6＜x＜-0.5$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$
答案
4.C 【解析】由题意可知,二次函数$y=ax^2-2ax+c$的图象的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,由题表数据可得,当$x=-0.5$时,$y=0.25＞0$,当$x=-0.4$时,$y=-0.04＜0$,
∴$ax^2-2ax+c=0$的较小的根的取值范围为$-0.5＜x＜-0.4$.
∵二次函数$y=ax^2-2ax+c$的图象的对称轴为直线$x=1$,则$1-(-0.4)+1=2.4$,$1-(-0.5)+1=2.5$,
∴方程$ax^2-2ax+c=0$的较大的根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$.故选 C.
∴$ax^2-2ax+c=0$的较小的根的取值范围为$-0.5＜x＜-0.4$.
∵二次函数$y=ax^2-2ax+c$的图象的对称轴为直线$x=1$,则$1-(-0.4)+1=2.4$,$1-(-0.5)+1=2.5$,
∴方程$ax^2-2ax+c=0$的较大的根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$.故选 C.
解析
【分析】
要确定方程$ax^2 -2ax +c=0$的较大根的取值范围，首先明确一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：第一步，先根据二次函数的一般式求出图象的对称轴；第二步，结合表格中x对应的y值的正负变化，确定函数与x轴的一个交点（对应较小根）的取值范围；第三步，利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，计算得到另一个交点（对应较大根）的取值范围。
【解析】
首先计算二次函数$y=ax^2 -2ax +c$的对称轴：
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴为直线$x=-\frac{B}{2A}$，本题中$A=a$，$B=-2a$，因此对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
观察表格数据：当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$；当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$，说明当y=0时，对应的x值（即方程的较小根）在$-0.5＜x＜-0.4$范围内。
由于二次函数图象关于对称轴$x=1$对称，因此方程的两个根关于$x=1$对称，设较大根为$x_2$，较小根为$x_1$，则$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。
结合$x_1$的范围：
当$x_1＞-0.5$时，$x_2＜2-(-0.5)=2.5$；
当$x_1＜-0.4$时，$x_2＞2-(-0.4)=2.4$。
因此较大根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，无需计算函数解析式，只需利用对称轴、函数值符号变化和对称性即可求解，核心是理解二次函数与对应一元二次方程根的关系，熟练运用对称性能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
要确定方程$ax^2 -2ax +c=0$的较大根的取值范围，首先明确一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：第一步，先根据二次函数的一般式求出图象的对称轴；第二步，结合表格中x对应的y值的正负变化，确定函数与x轴的一个交点（对应较小根）的取值范围；第三步，利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，计算得到另一个交点（对应较大根）的取值范围。
【解析】
首先计算二次函数$y=ax^2 -2ax +c$的对称轴：
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴为直线$x=-\frac{B}{2A}$，本题中$A=a$，$B=-2a$，因此对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
观察表格数据：当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$；当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$，说明当y=0时，对应的x值（即方程的较小根）在$-0.5＜x＜-0.4$范围内。
由于二次函数图象关于对称轴$x=1$对称，因此方程的两个根关于$x=1$对称，设较大根为$x_2$，较小根为$x_1$，则$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。
结合$x_1$的范围：
当$x_1＞-0.5$时，$x_2＜2-(-0.5)=2.5$；
当$x_1＜-0.4$时，$x_2＞2-(-0.4)=2.4$。
因此较大根的取值范围是$2.4＜x＜2.5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，无需计算函数解析式，只需利用对称轴、函数值符号变化和对称性即可求解，核心是理解二次函数与对应一元二次方程根的关系，熟练运用对称性能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
5[2026湖北孝感质检]已知二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$（$x$是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数$a$的取值范围为（
A.$1≤a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤a＜\frac{3}{2}$
A
）A.$1≤a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤a＜\frac{3}{2}$
答案
5.A 【解析】
∵二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$的图象经过第一、二、四象限,
∴$\begin{cases}a＞0,\\-\frac{2a-3}{2a}＞0,\\a-1≥0,\\Δ=(2a-3)^2-4a(a-1)＞0,\end{cases}$解得$1≤a＜\frac{9}{8}$,
∴$a$的取值范围为$1≤a＜\frac{9}{8}$.故选 A.
∵二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$的图象经过第一、二、四象限,
∴$\begin{cases}a＞0,\\-\frac{2a-3}{2a}＞0,\\a-1≥0,\\Δ=(2a-3)^2-4a(a-1)＞0,\end{cases}$解得$1≤a＜\frac{9}{8}$,
∴$a$的取值范围为$1≤a＜\frac{9}{8}$.故选 A.
解析
【分析】
要确定二次函数图象经过第一、二、四象限时a的取值范围，需结合二次函数的图象性质逐一推导系数满足的条件：①首先二次函数开口必须向上，否则无法同时经过第一、二、四象限，可得a＞0；②对称轴需在y轴右侧，保证函数在x正半轴存在下降区间，才会经过第四象限，可列关于对称轴的不等式；③函数与y轴的交点不能在y轴负半轴，否则图象会经过第三象限，可得x=0时的函数值≥0；④函数需与x轴有两个不同交点，才能保证图象能同时经过第一、四象限，可得判别式Δ＞0。最后联立所有不等式求解，取交集即可得到a的取值范围。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$的图象经过第一、二、四象限，
∴需同时满足以下条件：
1. 开口向上：$a＞0$；
2. 对称轴在x轴正半轴：$-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-3}{2a}＞0$，
结合$a＞0$，可得$-(2a-3)＞0$，解得$a＜\frac{3}{2}$；
3. 与y轴交点非负（避免经过第三象限）：当$x=0$时，$y=a-1≥0$，解得$a≥1$；
4. 与x轴有两个不同交点：判别式$\Delta=b^2-4ac=(2a-3)^2-4a(a-1)＞0$，
展开化简得：$4a^2-12a+9-4a^2+4a＞0$，即$-8a+9＞0$，解得$a＜\frac{9}{8}$。
联立以上所有不等式，取交集得$1≤a＜\frac{9}{8}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数关系，解一元一次不等式组，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型综合题，解题关键是结合象限特征准确推导每个系数、对称轴、判别式需要满足的约束条件，注意不要漏判交点相关的限制，求解不等式组后要正确取公共解集。
【难度系数】
0.6
要确定二次函数图象经过第一、二、四象限时a的取值范围，需结合二次函数的图象性质逐一推导系数满足的条件：①首先二次函数开口必须向上，否则无法同时经过第一、二、四象限，可得a＞0；②对称轴需在y轴右侧，保证函数在x正半轴存在下降区间，才会经过第四象限，可列关于对称轴的不等式；③函数与y轴的交点不能在y轴负半轴，否则图象会经过第三象限，可得x=0时的函数值≥0；④函数需与x轴有两个不同交点，才能保证图象能同时经过第一、四象限，可得判别式Δ＞0。最后联立所有不等式求解，取交集即可得到a的取值范围。
【解析】
∵二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$的图象经过第一、二、四象限，
∴需同时满足以下条件：
1. 开口向上：$a＞0$；
2. 对称轴在x轴正半轴：$-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-3}{2a}＞0$，
结合$a＞0$，可得$-(2a-3)＞0$，解得$a＜\frac{3}{2}$；
3. 与y轴交点非负（避免经过第三象限）：当$x=0$时，$y=a-1≥0$，解得$a≥1$；
4. 与x轴有两个不同交点：判别式$\Delta=b^2-4ac=(2a-3)^2-4a(a-1)＞0$，
展开化简得：$4a^2-12a+9-4a^2+4a＞0$，即$-8a+9＞0$，解得$a＜\frac{9}{8}$。
联立以上所有不等式，取交集得$1≤a＜\frac{9}{8}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数关系，解一元一次不等式组，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型综合题，解题关键是结合象限特征准确推导每个系数、对称轴、判别式需要满足的约束条件，注意不要漏判交点相关的限制，求解不等式组后要正确取公共解集。
【难度系数】
0.6
6[2025四川泸州质检]已知二次函数$y=(x-a-1)(x-a+1)-2a+9$（$a$是常数）的图象与$x$轴没有公共点，且当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$的取值范围是（
A.$a＞-2$
B.$a＜4$
C.$-2≤ a＜4$
D.$-2＜a≤4$
C
）A.$a＞-2$
B.$a＜4$
C.$-2≤ a＜4$
D.$-2＜a≤4$
答案
6.C 【解析】$y=(x-a-1)(x-a+1)-2a+9=x^2-2ax+a^2-2a+8$.令$y=0$,得$x^2-2ax+a^2-2a+8=0$.由题意得,$Δ=(-2a)^2-4(a^2-2a+8)＜0$,解得$a＜4$.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2}=a$,抛物线开口向上,且当$x＜-2$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴$a≥-2$,
∴实数$a$的取值范围是$-2≤a＜4$.故选 C.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2}=a$,抛物线开口向上,且当$x＜-2$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴$a≥-2$,
∴实数$a$的取值范围是$-2≤a＜4$.故选 C.
解析
【分析】
本题考查二次函数相关知识，解题分三步展开：第一步先将给出的二次函数表达式整理为一般形式，图象与x轴没有公共点说明对应的一元二次方程无实根，即根的判别式Δ＜0，据此列不等式求出a的第一个取值范围；第二步先判断抛物线开口方向，再求出对称轴，二次函数开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，要满足x＜-2时y随x增大而减小，说明x=-2在对称轴上或对称轴左侧，即对称轴≥-2，求出a的第二个取值范围；第三步取两个范围的公共部分即可得到a的最终取值范围。
【解析】
先将二次函数展开整理为一般式：
$y=(x-a-1)(x-a+1)-2a+9$
$=(x-a)^2 - 1 - 2a +9$
$=x^2 -2ax +a^2 -2a +8$
1. 由图象与x轴没有公共点可知，令y=0得到的一元二次方程$x^2 -2ax +a^2 -2a +8=0$无实根，因此判别式Δ＜0：
$\Delta=(-2a)^2 -4×1×(a^2 -2a +8) ＜ 0$
化简得：$4a^2 -4a^2 +8a -32 ＜ 0$
即$8a ＜ 32$，解得$a＜4$。
2. 该二次函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2a}{2}=a$；
开口向上的二次函数在对称轴左侧y随x的增大而减小，已知$x＜-2$时y随x增大而减小，因此对称轴满足$a≥-2$。
综合两个条件，实数a的取值范围是$-2≤ a ＜4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；根的判别式；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，需要结合图象与x轴交点的判定条件、增减性与对称轴的关系分别列不等式求解，解题时要注意端点值的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数相关知识，解题分三步展开：第一步先将给出的二次函数表达式整理为一般形式，图象与x轴没有公共点说明对应的一元二次方程无实根，即根的判别式Δ＜0，据此列不等式求出a的第一个取值范围；第二步先判断抛物线开口方向，再求出对称轴，二次函数开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，要满足x＜-2时y随x增大而减小，说明x=-2在对称轴上或对称轴左侧，即对称轴≥-2，求出a的第二个取值范围；第三步取两个范围的公共部分即可得到a的最终取值范围。
【解析】
先将二次函数展开整理为一般式：
$y=(x-a-1)(x-a+1)-2a+9$
$=(x-a)^2 - 1 - 2a +9$
$=x^2 -2ax +a^2 -2a +8$
1. 由图象与x轴没有公共点可知，令y=0得到的一元二次方程$x^2 -2ax +a^2 -2a +8=0$无实根，因此判别式Δ＜0：
$\Delta=(-2a)^2 -4×1×(a^2 -2a +8) ＜ 0$
化简得：$4a^2 -4a^2 +8a -32 ＜ 0$
即$8a ＜ 32$，解得$a＜4$。
2. 该二次函数二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2a}{2}=a$；
开口向上的二次函数在对称轴左侧y随x的增大而减小，已知$x＜-2$时y随x增大而减小，因此对称轴满足$a≥-2$。
综合两个条件，实数a的取值范围是$-2≤ a ＜4$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；根的判别式；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，需要结合图象与x轴交点的判定条件、增减性与对称轴的关系分别列不等式求解，解题时要注意端点值的取舍，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7[2025贵州遵义期末]如图，将$\mathrm{Rt}△ EFG$与正方形$ABCD$按如图所示的方式摆放，边$FG$在直线$BC$上，$∠ EGF=90°$，$EG=FG=4\ \mathrm{cm}$，$AB=8\ \mathrm{cm}$。若$\mathrm{Rt}△ EFG$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿着射线$BC$方向运动，初始时点$G$与点$B$重合，当点$F$与点$C$重合时停止运动。在运动过程中，$\mathrm{Rt}△ EFG$与正方形重叠部分面积$y(\mathrm{cm}^2)$与运动时间$t(\mathrm{s})$之间的函数关系图象大致是（
A
）答案
7.A 【解析】当点$F$与点$B$重合时,$t=4÷2=2$,当点$G$与点$C$重合时,$t=8÷2=4$,当点$F$与点$C$重合时,$t=(4+8)÷2=6$.分情况讨论:①当$0≤t＜2$时,如图(1),设$EF$与$AB$交于点$H$,则重叠部分为梯形$BGEH$.由题意得,$Rt△EFG$是等腰直角三角形,
∴$∠F=45°$,
∴$BF=BH$.
∵$BG=2t$,
∴$BF=BH=FG-BG=4-2t$,
∴$y=\frac{1}{2}(BH+EG)·BG=\frac{1}{2}(4-2t+4)·2t=-2t^2+8t$.此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分.②当$2≤t≤4$时,如图(2),重叠部分为$△EGF$,
∴$y=\frac{1}{2}EG·FG=\frac{1}{2}×4×4=8$,为定值,此时函数图象为直线的一部分.③当$4＜t≤6$时,如图(3),设$EF$与$CD$交于点$K$,则重叠部分为$△FCK$,此时$CF=CK=4-(2t-8)=12-2t$,
∴$y=\frac{1}{2}FC·CK=\frac{1}{2}(12-2t)^2=2(6-t)^2$,此时函数图象为开口向上的抛物线的一部分.综上,符合题意的只有选项A.故选 A.
解析
【分析】
这是动态几何与函数图象结合的问题，解题思路如下：首先找到运动过程中的关键分界点，计算各分界点对应的时间，将运动过程划分为不同阶段；其次对每个阶段的重叠部分图形形状进行判断，结合等腰直角三角形和正方形的性质，表示出对应图形的边长，再用面积公式推导面积y关于t的函数表达式；最后根据函数的类型（二次函数的开口方向、常函数的特征）判断对应图象，即可选出正确选项。
【解析】
先计算运动过程的关键时间点：
当点F与点B重合时，$t=4÷2=2\ \mathrm{s}$；
当点G与点C重合时，$t=8÷2=4\ \mathrm{s}$；
当点F与点C重合时，$t=(4+8)÷2=6\ \mathrm{s}$。
分三种情况讨论：
①当$0≤t＜2$时，如图(1)，设$EF$与$AB$交于点$H$，重叠部分为梯形$BGEH$。
∵$\mathrm{Rt}△EFG$是等腰直角三角形，
∴$∠F=45°$，则$△FBH$为等腰直角三角形，即$BF=BH$。
由运动规律得$BG=2t$，
∴$BF=BH=FG-BG=4-2t$，
重叠面积$y=\frac{1}{2}(BH+EG)·BG=\frac{1}{2}(4-2t+4)·2t=-2t^2+8t$，此段函数图象是开口向下的抛物线的一部分。
②当$2≤t≤4$时，如图(2)，$\mathrm{Rt}△EFG$完全在正方形内部，重叠部分为$△EGF$，
∴$y=\frac{1}{2}EG·FG=\frac{1}{2}×4×4=8$，面积为定值，此段函数图象是平行于横轴的线段。
③当$4＜t≤6$时，如图(3)，设$EF$与$CD$交于点$K$，重叠部分为$△FCK$，$△FCK$为等腰直角三角形，
此时$FC=CK=BC+FG-2t=8+4-2t=12-2t$，
∴$y=\frac{1}{2}FC·CK=\frac{1}{2}(12-2t)^2=2(6-t)^2$，此段函数图象是开口向上的抛物线的一部分。
综上，只有选项A的图象符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图象；等腰直角三角形性质；分段函数
【点评】
本题属于动态几何的分段函数问题，核心是分类讨论不同运动阶段的重叠图形形状，需要准确找到运动的分界点，结合几何性质推导各段的函数解析式，考查分类讨论思想和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
这是动态几何与函数图象结合的问题，解题思路如下：首先找到运动过程中的关键分界点，计算各分界点对应的时间，将运动过程划分为不同阶段；其次对每个阶段的重叠部分图形形状进行判断，结合等腰直角三角形和正方形的性质，表示出对应图形的边长，再用面积公式推导面积y关于t的函数表达式；最后根据函数的类型（二次函数的开口方向、常函数的特征）判断对应图象，即可选出正确选项。
【解析】
先计算运动过程的关键时间点：
当点F与点B重合时，$t=4÷2=2\ \mathrm{s}$；
当点G与点C重合时，$t=8÷2=4\ \mathrm{s}$；
当点F与点C重合时，$t=(4+8)÷2=6\ \mathrm{s}$。
分三种情况讨论：
①当$0≤t＜2$时，如图(1)，设$EF$与$AB$交于点$H$，重叠部分为梯形$BGEH$。
∵$\mathrm{Rt}△EFG$是等腰直角三角形，
∴$∠F=45°$，则$△FBH$为等腰直角三角形，即$BF=BH$。
由运动规律得$BG=2t$，
∴$BF=BH=FG-BG=4-2t$，
重叠面积$y=\frac{1}{2}(BH+EG)·BG=\frac{1}{2}(4-2t+4)·2t=-2t^2+8t$，此段函数图象是开口向下的抛物线的一部分。
②当$2≤t≤4$时，如图(2)，$\mathrm{Rt}△EFG$完全在正方形内部，重叠部分为$△EGF$，
∴$y=\frac{1}{2}EG·FG=\frac{1}{2}×4×4=8$，面积为定值，此段函数图象是平行于横轴的线段。
③当$4＜t≤6$时，如图(3)，设$EF$与$CD$交于点$K$，重叠部分为$△FCK$，$△FCK$为等腰直角三角形，
此时$FC=CK=BC+FG-2t=8+4-2t=12-2t$，
∴$y=\frac{1}{2}FC·CK=\frac{1}{2}(12-2t)^2=2(6-t)^2$，此段函数图象是开口向上的抛物线的一部分。
综上，只有选项A的图象符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图象；等腰直角三角形性质；分段函数
【点评】
本题属于动态几何的分段函数问题，核心是分类讨论不同运动阶段的重叠图形形状，需要准确找到运动的分界点，结合几何性质推导各段的函数解析式，考查分类讨论思想和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
8[2026福建漳州质检]已知抛物线$y=x^2+4mx+4m-3$的对称轴为直线$x=-2$.当$a≤x≤a+3$时，$y$的最小值为$a^2+6a-2$，则$a$的值为（
A.$-6$或$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$6$
D.$-\frac{3}{2}$
A
）A.$-6$或$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$6$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
8.A 【解析】
∵抛物线$y=x^2+4mx+4m-3$的对称轴为直线$x=-2$,
∴$-\frac{4m}{2}=-2$,
∴$m=1$,
∴$y=x^2+4x+1$.
∵抛物线的开口向上,当$a≤x≤a+3$时,$y$的最小值为$a^2+6a-2$,
∴若$a≤-2≤a+3$,即$-5≤a≤-2$,此时当$x=-2$时,$y$有最小值,则$a^2+6a-2=(-2)^2+4×(-2)+1$,解得$a=-3±2\sqrt{2}$,不符合题意,舍去;若$a+3＜-2$,即$a＜-5$,此时当$x=a+3$时,$y$有最小值,则$(a+3)^2+4(a+3)+1=a^2+6a-2$,解得$a=-6$,符合题意;若$a＞-2$,此时当$x=a$时,$y$有最小值,则$a^2+4a+1=a^2+6a-2$,解得$a=\frac{3}{2}$,符合题意.综上,$a$的值为$-6$或$\frac{3}{2}$.故选 A.
∵抛物线$y=x^2+4mx+4m-3$的对称轴为直线$x=-2$,
∴$-\frac{4m}{2}=-2$,
∴$m=1$,
∴$y=x^2+4x+1$.
∵抛物线的开口向上,当$a≤x≤a+3$时,$y$的最小值为$a^2+6a-2$,
∴若$a≤-2≤a+3$,即$-5≤a≤-2$,此时当$x=-2$时,$y$有最小值,则$a^2+6a-2=(-2)^2+4×(-2)+1$,解得$a=-3±2\sqrt{2}$,不符合题意,舍去;若$a+3＜-2$,即$a＜-5$,此时当$x=a+3$时,$y$有最小值,则$(a+3)^2+4(a+3)+1=a^2+6a-2$,解得$a=-6$,符合题意;若$a＞-2$,此时当$x=a$时,$y$有最小值,则$a^2+4a+1=a^2+6a-2$,解得$a=\frac{3}{2}$,符合题意.综上,$a$的值为$-6$或$\frac{3}{2}$.故选 A.
解析
【分析】
首先利用二次函数对称轴公式求出参数m的值，得到确定的抛物线解析式。由于抛物线开口向上，给定区间[a,a+3]上的最小值需分三类讨论：①区间包含对称轴x=-2时，最小值在对称轴处取得；②区间整体在对称轴左侧时，函数单调递减，最小值在区间右端点x=a+3处取得；③区间整体在对称轴右侧时，函数单调递增，最小值在区间左端点x=a处取得。每种情况列方程求解后，需检验解是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的解，最终得到正确的a值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+4mx+4m-3$的对称轴为直线$x=-2$，
∴根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$-\frac{4m}{2}=-2$，
解得$m=1$，
∴抛物线解析式为$y=x^2+4x+1$，该抛物线开口向上。
分三种情况讨论区间$[a,a+3]$上的最小值：
1. 若$a≤-2≤a+3$，即$-5≤a≤-2$时，最小值在对称轴$x=-2$处取得，最小值为$(-2)^2+4×(-2)+1=-3$，
根据题意得$a^2+6a-2=-3$，解得$a=-3±2\sqrt{2}$，均不在$-5≤a≤-2$范围内，舍去；
2. 若$a+3＜-2$，即$a＜-5$时，函数在区间上单调递减，最小值在$x=a+3$处取得，
代入得$(a+3)^2+4(a+3)+1=a^2+6a-2$，
化简得$4a=-24$，解得$a=-6$，符合$a＜-5$的条件；
3. 若$a＞-2$时，函数在区间上单调递增，最小值在$x=a$处取得，
代入得$a^2+4a+1=a^2+6a-2$，
化简得$-2a=-3$，解得$a=\frac{3}{2}$，符合$a＞-2$的条件。
综上，a的值为$-6$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴公式，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数的性质应用，解题核心是明确区间与对称轴的位置关系对最值点的影响，求解后要注意检验结果是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先利用二次函数对称轴公式求出参数m的值，得到确定的抛物线解析式。由于抛物线开口向上，给定区间[a,a+3]上的最小值需分三类讨论：①区间包含对称轴x=-2时，最小值在对称轴处取得；②区间整体在对称轴左侧时，函数单调递减，最小值在区间右端点x=a+3处取得；③区间整体在对称轴右侧时，函数单调递增，最小值在区间左端点x=a处取得。每种情况列方程求解后，需检验解是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的解，最终得到正确的a值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+4mx+4m-3$的对称轴为直线$x=-2$，
∴根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$-\frac{4m}{2}=-2$，
解得$m=1$，
∴抛物线解析式为$y=x^2+4x+1$，该抛物线开口向上。
分三种情况讨论区间$[a,a+3]$上的最小值：
1. 若$a≤-2≤a+3$，即$-5≤a≤-2$时，最小值在对称轴$x=-2$处取得，最小值为$(-2)^2+4×(-2)+1=-3$，
根据题意得$a^2+6a-2=-3$，解得$a=-3±2\sqrt{2}$，均不在$-5≤a≤-2$范围内，舍去；
2. 若$a+3＜-2$，即$a＜-5$时，函数在区间上单调递减，最小值在$x=a+3$处取得，
代入得$(a+3)^2+4(a+3)+1=a^2+6a-2$，
化简得$4a=-24$，解得$a=-6$，符合$a＜-5$的条件；
3. 若$a＞-2$时，函数在区间上单调递增，最小值在$x=a$处取得，
代入得$a^2+4a+1=a^2+6a-2$，
化简得$-2a=-3$，解得$a=\frac{3}{2}$，符合$a＞-2$的条件。
综上，a的值为$-6$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数对称轴公式，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数的性质应用，解题核心是明确区间与对称轴的位置关系对最值点的影响，求解后要注意检验结果是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
9 [2026河南郑州质检]如果抛物线$y=(m-1)x^2$的开口向上,那么m的取值范围是
9 [2026河南郑州质检]如果抛物线$y=(m-1)x^2$的开口向上,那么m的取值范围是
$m＞1$
.答案
9.$m＞1$ 【解析】由题意得$m-1＞0$,解得$m＞1$,故答案为$m＞1$.
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握二次函数$y=ax^2$的开口方向与二次项系数的关系。首先，题目明确给出是抛物线，说明这是二次函数，二次项系数不能为0；其次，抛物线开口向上的条件是二次项系数大于0，据此列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其开口方向由二次项系数$a$的符号决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
本题中抛物线$y=(m-1)x^2$开口向上，因此二次项系数满足：
$m-1＞0$
解这个不等式，移项可得$m＞1$，此时$m-1≠0$，符合二次函数的定义。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
二次函数图象性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，只要牢记相关性质即可快速解题，是二次函数部分的常见考点。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是掌握二次函数$y=ax^2$的开口方向与二次项系数的关系。首先，题目明确给出是抛物线，说明这是二次函数，二次项系数不能为0；其次，抛物线开口向上的条件是二次项系数大于0，据此列出不等式求解即可得到m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其开口方向由二次项系数$a$的符号决定：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
本题中抛物线$y=(m-1)x^2$开口向上，因此二次项系数满足：
$m-1＞0$
解这个不等式，移项可得$m＞1$，此时$m-1≠0$，符合二次函数的定义。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
二次函数图象性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数开口方向和二次项系数的对应关系，只要牢记相关性质即可快速解题，是二次函数部分的常见考点。
【难度系数】
0.9
10 如图,抛物线$L_1:y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴只有一个公共点$A(1,0)$,与y轴交于点$B(0,2)$,虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移2个单位长度得抛物线$L_2$,则图中两个阴影部分的面积和为
2
.答案
10.2 【解析】如图,过抛物线$L_2$的顶点$D$作$CD//x$轴,与$y$轴交于点$C$.根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形$OCDA$的面积,
∴$S_{阴影部分}=S_{矩形OCDA}=OA·AD=1×2=2$.
解析
【分析】
本题所求阴影部分为不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此考虑转化思想求解。首先整理已知条件：抛物线$L_1$与x轴只有一个公共点$A(1,0)$，说明$L_1$的顶点为$A$，对称轴为直线$x=1$；$L_1$向下平移2个单位得到$L_2$，平移距离为2。结合平移的性质（平移前后图形形状、大小不变，对应点平移距离相等）和抛物线的轴对称性，可将两个阴影部分拼接为规则矩形，通过计算矩形面积得到阴影面积和。
【解析】
过抛物线$L_2$的顶点$D$作$CD// x$轴，与$y$轴交于点$C$。根据平移的性质及抛物线的对称性可得，阴影部分的面积等于矩形$OCDA$的面积。
已知$OA=1$，抛物线向下平移的距离为2，即矩形竖直方向的边长为2，因此：
$S_{阴影部分}=S_{矩形OCDA}=OA· AD=1×2=2$
【答案】
2
【知识点】
抛物线的对称性；平移的性质；割补法求面积
【点评】
本题考查二次函数相关的面积求解，核心是运用转化思想，将不规则阴影的面积转化为规则矩形的面积，是求解此类图形面积题的常用思路，解题时要注意结合平移、轴对称的性质找到等价的规则图形。
【难度系数】
0.7
本题所求阴影部分为不规则图形，无法直接用公式计算面积，因此考虑转化思想求解。首先整理已知条件：抛物线$L_1$与x轴只有一个公共点$A(1,0)$，说明$L_1$的顶点为$A$，对称轴为直线$x=1$；$L_1$向下平移2个单位得到$L_2$，平移距离为2。结合平移的性质（平移前后图形形状、大小不变，对应点平移距离相等）和抛物线的轴对称性，可将两个阴影部分拼接为规则矩形，通过计算矩形面积得到阴影面积和。
【解析】
过抛物线$L_2$的顶点$D$作$CD// x$轴，与$y$轴交于点$C$。根据平移的性质及抛物线的对称性可得，阴影部分的面积等于矩形$OCDA$的面积。
已知$OA=1$，抛物线向下平移的距离为2，即矩形竖直方向的边长为2，因此：
$S_{阴影部分}=S_{矩形OCDA}=OA· AD=1×2=2$
【答案】
2
【知识点】
抛物线的对称性；平移的性质；割补法求面积
【点评】
本题考查二次函数相关的面积求解，核心是运用转化思想，将不规则阴影的面积转化为规则矩形的面积，是求解此类图形面积题的常用思路，解题时要注意结合平移、轴对称的性质找到等价的规则图形。
【难度系数】
0.7
11[2025山东威海期中]某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品的进价为40元，规定每个纪念品的售价不低于44元，且不高于52元.某商户在销售期间发现，当每个纪念品的售价定为44元时，每天可售出300个，每个纪念品的售价每上涨2元，每天销量减少20个.将每个纪念品的售价定为
52
元时，商户每天销售纪念品获得的利润最大.答案
11.52 【解析】设商户每天销售纪念品获得的利润为$w$元,每个纪念品的售价为$x$元,则$w=(x-40)·(300-\frac{x-44}{2}×20)=(x-40)(-10x+740)=-10x^2+1140x-29600=-10(x-57)^2+2890$.
∵$-10＜0$,$44≤x≤52$,
∴当$x=52$时,$w$有最大值.故答案为52.
∵$-10＜0$,$44≤x≤52$,
∴当$x=52$时,$w$有最大值.故答案为52.
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决销售利润最值的问题，解题思路如下：第一步，明确利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售数量；第二步，设出总利润和售价两个变量，分别用含售价的式子表示单个利润、销售数量，进而列出总利润关于售价的函数关系式；第三步，将函数关系式整理为二次函数顶点式，结合二次函数的增减性，再根据题目给出的售价取值范围，确定取得最大利润时的售价。
【解析】
设商户每天销售纪念品获得的利润为$w$元，每个纪念品的售价为$x$元。
单个纪念品的利润为$(x-40)$元，
售价从44元上涨了$(x-44)$元，每上涨2元销量减少20个，因此减少的销量为$\frac{x-44}{2}×20$个，
则每天的销量为$300-\frac{x-44}{2}×20 = -10x + 740$个，
因此总利润：
$w=(x-40)(-10x+740)$
展开整理得：$w=-10x^2+1140x-29600$
配方为顶点式：$w=-10(x-57)^2+2890$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，在对称轴$x=57$左侧，$w$随$x$的增大而增大，
又$\because$售价范围为$44≤ x≤52$，属于对称轴左侧的递增区间，
$\therefore$当$x=52$时，$w$取得最大值。
【答案】
52
【知识点】
二次函数的应用，销售利润计算，二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常见题型，解题的核心是准确根据题意列出利润的函数表达式，需要特别注意自变量有实际取值范围时，不能直接将顶点横坐标作为最值点，要结合函数增减性和取值范围综合判断。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决销售利润最值的问题，解题思路如下：第一步，明确利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售数量；第二步，设出总利润和售价两个变量，分别用含售价的式子表示单个利润、销售数量，进而列出总利润关于售价的函数关系式；第三步，将函数关系式整理为二次函数顶点式，结合二次函数的增减性，再根据题目给出的售价取值范围，确定取得最大利润时的售价。
【解析】
设商户每天销售纪念品获得的利润为$w$元，每个纪念品的售价为$x$元。
单个纪念品的利润为$(x-40)$元，
售价从44元上涨了$(x-44)$元，每上涨2元销量减少20个，因此减少的销量为$\frac{x-44}{2}×20$个，
则每天的销量为$300-\frac{x-44}{2}×20 = -10x + 740$个，
因此总利润：
$w=(x-40)(-10x+740)$
展开整理得：$w=-10x^2+1140x-29600$
配方为顶点式：$w=-10(x-57)^2+2890$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，在对称轴$x=57$左侧，$w$随$x$的增大而增大，
又$\because$售价范围为$44≤ x≤52$，属于对称轴左侧的递增区间，
$\therefore$当$x=52$时，$w$取得最大值。
【答案】
52
【知识点】
二次函数的应用，销售利润计算，二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数实际应用的常见题型，解题的核心是准确根据题意列出利润的函数表达式，需要特别注意自变量有实际取值范围时，不能直接将顶点横坐标作为最值点，要结合函数增减性和取值范围综合判断。
【难度系数】
0.7
