1[2025浙江杭州质检]木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置(斜边与水平面平行,直角顶点在横梁上),直角顶点处用线系着一个铅锤,若铅锤线恰好经过斜边中点,则可以判断横梁水平,能解释这一现象的数学知识是 ()

A.等边对等角
B.垂线段最短
C.三角形具有稳定性
D.等腰三角形三线合一

1.D 【解析】若铅锤线恰好经过斜边中点,则可以判断横梁水平,能解释这一现象的数学知识是等腰三角形三线合一.故选 D.

2[2024浙江绍兴期末]如图,$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$BF ⊥ AC$于点$F$,$DE=2$,则$BF$的长为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

2.B 【解析】因为$△ABC$中,$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,所以$AD$是$△ABC$的中线,所以$S_{△ABC}=2S_{△ABD}=2×\frac{1}{2}AB · DE=AB · DE=2AB$. 因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · BF$,所以$\frac{1}{2}AC · BF=2AB$. 因为$AC=AB$,所以$\frac{1}{2}BF=2$,所以$BF=4$. 故选 B.

3 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的中线,点$E$在边$AB$上,且$BD=BE$.若$∠ BAC=100°$,则$∠ ADE$为度.

3.20 【解析】因为$AB=AC$,$∠BAC=100°$,所以$∠B=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=40°$. 因为$BD=BE$,所以$∠BDE=∠BED=\frac{1}{2}(180°-∠B)=70°$. 因为$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的中线,所以$AD ⊥ BC$,所以$∠ADB=90°$,所以$∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70°=20°$,故答案为 20.

4[2026北京海淀区期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,DB=DC$.求证:
(1)$∠ BAD=∠ CAD$;
(2)$AD⊥ BC$.

4.【证明】(1)在$△ABD$和$△ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ DB=DC,\\ AD=AD, \end{cases}$所以$△ABD≌△ACD(\mathrm{SSS})$,所以$∠BAD=∠CAD$.
(2)延长$AD$交$BC$于点$E$. 因为$AB=AC$,所以$△ABC$是等腰三角形. 又因为$∠BAD=∠CAD$,所以$AE ⊥ BC$(等腰三角形三线合一),即$AD ⊥ BC$.

5[2024山东威海期中]如图，$∠ ADC = 90°$，$DC // AB$，$BA = BC$，$AE ⊥ BC$，垂足为点$E$，点$F$为$AC$的中点.
(1)求证：$∠ AFB = 90°$；
(2)求证：$△ ADC ≌ △ AEC$；
(3)连结$DE$，试判断$DE$与$BF$的位置关系，并证明.

5.(1)【证明】因为$BA=BC$,$F$是$AC$的中点,所以$BF ⊥ AC$,所以$∠AFB=90°$.
(2)【证明】因为$AE ⊥ BC$,所以$∠AEC=90°$. 因为$∠ADC=90°$,所以$∠ADC=∠AEC$. 因为$DC// AB$,所以$∠DCA=∠CAB$. 因为$BA=BC$,所以$∠ECA=∠CAB$,所以$∠DCA=∠ECA$.
在$△ADC$和$△AEC$中,$\begin{cases} ∠ADC=∠AEC,\\ ∠DCA=∠ECA,\\ AC=AC, \end{cases}$所以$△ADC≌△AEC(\mathrm{AAS})$.
(3)【解】$DE$与$BF$平行. 证明:设$DE$交$AC$于点$H$. 因为$△ADC≌△AEC$,所以$AD=AE$,$∠DAH=∠EAH$,所以$AH ⊥ DE$,所以$∠AHE=90°$. 因为$∠AFB=90°$,所以$∠AFB=∠AHE$,所以$DE// BF$.

6[2026江苏盐城质检]如图，已知线段$a,b$，用直尺和圆规作等腰三角形$ABC$，使底边长为$a$，底边上的中线长为$b$(保留作图痕迹，不写作法)。

6.【解】如图,等腰三角形$ABC$即为所求.

7[2026江苏南京期末]如图,已知线段a,∠AOB,用直尺和圆规作等腰△COD,使得点C,D分别在OA,OB上,且底边CD上的高线长为3a(保留作图痕迹,不写作法).

7.【解】如图,等腰$△OCD$即为所求.