1[2026 黑龙江大庆期中,中]等腰三角形的顶角是$n°$,那么它的一腰上的高与底边的夹角的度数为（）

A.$\dfrac{90° -n°}{2}$
B.$90° -\dfrac{n°}{2}$
C.$\dfrac{n°}{2}$
D.$90° -n°$

1.C 【解析】分两种情况: 当 $0＜n＜90$ 时, 如图 所示. 在 $△ABC$ 中, $AB=AC$, $∠A=n°$, $BD ⊥ AC$, 所以 $∠ABC=∠C=\frac{180°-n°}{2}=90°-\frac{n°}{2}$. 因为 $BD ⊥ AC$, 所以 $∠BDC=90°$, 所以 $∠DBC=90°- ∠C=\frac{n°}{2}$.
当 $90＜n＜180$ 时, 如图 所示. 在 $△ABC$ 中, $AB=AC$, $∠BAC=n°$, $BD ⊥ AC$, 所以 $∠C= \frac{180°-n°}{2}=90°-\frac{n°}{2}$. 因为 $BD ⊥ AC$, 所以 $∠BDC= 90°$,所以$∠DBC=90°-∠C=\frac{n°}{2}$. 综上所述,若等腰三角形的顶角为 $n°$, 则它一腰上的高与底边的夹角的度数为 $\frac{n°}{2}$. 故选 C.

2[2025江苏无锡质检,较难]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=2α,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,若点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数为 ()

A.$1.5α$
B.$2α$
C.$4α$
D.$3α$

(第2题图)
(第3题图)

2.C 【解析】如图, 连结 $BO$, $CO$. 因为 $∠BAC=2α$,$AO$ 平分 $∠BAC$, 所以 $∠OAB = ∠OAC=α$. 因为 $OD$ 是 $AB$ 的垂直平分线, 所以 $OA=OB$, 所以 $∠OAB=∠ABO=α$. 因为 $AB=AC$, 所以 $∠ABC=∠ACB$, 所以 $∠ABC= ∠ACB=\frac{1}{2}(180°-2α)=90°-α$, 所以 $∠OBC= ∠ABC-∠ABO=90°-2α$. 在 $△ABO$ 和 $△ACO$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠OAB=∠OAC, \\ AO=AO, \end{cases}$ 所以 $△ABO≌△ACO(SAS)$, 所以 $BO=CO$, 所以 $∠OBC=∠OCB=90°-2α$. 由折叠的性质得 $EO=EC$, $∠CEF=∠FEO$, 所以 $∠EOC=∠OCE=∠OBC=90°-2α$, 所以 $∠OEC= 180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×(90°-2α)=4α$, 故选 C.

3[2026 浙江温州期中,中]如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ ABC=∠ ADE=72°$,$∠ ECD=45°$,则$∠ BEC$的度数为.

3.9° 【解析】如图, 延长 $DC$ 交 $BE$ 于点 $P$, 设 $AE$ 与 $CD$ 交于点 $O$. 因为 $AB = AC$, $AD = AE$, $∠ABC=∠ADE=72°$,所以 $∠ABC=∠ACB=72°$, $∠ADE=∠AED=72°$,所以 $∠CAB=∠DAE=36°$, 所以 $∠CAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE$, 即 $∠BAE= ∠CAD$. 因为 $AB=AC$, $AE=AD$, 所以 $△BAE≌ △CAD$ ( SAS ), 所以 $∠AEB = ∠ADC$. 因为 $∠AOD=∠EOP$, 所以 $∠EPO=∠EAD=36°$. 又因为 $∠ECD=∠EPC+∠BEC$, 所以 $∠BEC=45°- 36°=9°$. 故答案为 $9°$.

4[2026 江苏南京期中,较难]
如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC＞BC$,$∠ ACB = 70°$,若点$D,E$都在直线$AB$上,且$AD=AC$,$BE=BC$,则$∠ DCE$的度数为.

4.125°或35°或55° 【解析】①当点 $D,E$ 都在线段 $AB$ 上时, 如图. 因为 $AD=AC$, $BE=BC$, $∠ACB=70°$, 所以 $∠ACD=∠ADC$, $∠BCE=∠BEC$, $∠CAB+∠CBA=110°$, 所以 $∠CDA+ ∠BEC=\frac{180°-∠CAB}{2}+\frac{180°-∠CBA}{2}=180°- \frac{1}{2}(∠CAB+∠CBA)=125°$, 所以 $∠DCE=180°- 125°=55°$.
②当点 $D$ 在线段 $AB$ 上, 点 $E$ 在 $AB$ 延长线上时, 如图. 因为 $AD=AC$,$BE=BC$, 所以 $∠ACD= ∠ADC$, $∠BCE=∠BEC$, 所以 $∠CEA=\frac{1}{2}∠ABC$, $∠ADC=\frac{180°-∠BAC}{2}$. 因为 $∠ACB=70°$, 所以 $∠CAB+∠CBA=110°$. 因为 $∠ADC=∠CEA+ ∠DCE$,所以$\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{1}{2}∠ABC+∠DCE$,所以 $∠DCE=90°-\frac{1}{2}∠BAC-\frac{1}{2}∠ABC=90°- \frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=90°-\frac{1}{2}×110°=35°$.
③当点 $E$ 在线段 $AB$ 上, 点 $D$ 在 $BA$ 延长线上时, 如图. 因为 $AD=AC$, $BE=BC$, 所以 $∠ACD=∠ADC$, $∠BCE=∠BEC$, 所以 $∠CDB=\frac{1}{2}∠CAB$, $∠CEB=\frac{180°-∠CBA}{2}$. 因为 $∠ACB=70°$, 所以 $∠CAB+∠CBA=110°$. 因为 $∠CEB=∠CDB+ ∠DCE$,所以$\frac{180°-∠CBA}{2}=\frac{1}{2}∠CAB+∠DCE$,所以 $∠DCE=90°-\frac{1}{2}∠CBA-\frac{1}{2}∠CAB=90°- \frac{1}{2}(∠CBA+∠CAB)=90°-\frac{1}{2}×110°=35°$.
④当点 $D$ 在 $BA$ 延长线上, 点 $E$ 在 $AB$ 延长线上时, 如图. 因为 $AD=AC$, $BE=BC$, 所以 $∠ACD=∠ADC$, $∠BCE=∠BEC$. 因为 $∠ACB=70°$, 所以 $∠CAB+ ∠CBA=110°$, 所以 $∠CDA+∠BEC=\frac{1}{2}(∠CAB+ ∠CBA)=55°$, 所以 $∠DCE=180°-55°=125°$. 综上所述, $∠DCE$ 的度数为 $125°$ 或 $35°$ 或 $55°$, 故答案为 $125°$ 或 $35°$ 或 $55°$.

5 新考法[2026浙江丽水期中,中]如图,在等边$△ ABC$的顶点$A,C$处各有一只小蚂蚁,它们同时出发,以相同速度分别由$A$向$B$和由$C$向$A$爬行,经过$t\ \mathrm{s}$后,它们分别爬行到了$D,E$处,设$DC$与$BE$的交点为$F$.
(1)证明:$CD=BE$.
(2)小蚂蚁在爬行过程中,$∠ BFC$的大小有无变化?请说明理由.

刷素养 ▶……………… 走向重高

5.(1)【证明】因为 $△ABC$ 是等边三角形, 所以 $∠A=∠ECB=60°$,$AC=BC$. 由题意可知 $AD=CE$. 在 $△ACD$ 和 $△CBE$ 中, $\begin{cases} AD=CE, \\ ∠A=∠ECB, \\ CA=BC, \end{cases}$ 所以 $△ACD≌△CBE(SAS)$, 所以 $CD=BE$.
(2)【解】$∠BFC$ 的大小没有变化, 理由如下: 由 (1) 可知 $△ACD≌△CBE$, 所以 $∠ACD=∠CBE$, 所以 $∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°$, 所以 $∠BFC=180°-(∠CBE+∠BCD)=180°-60°=120°$, 所以 $∠BFC$ 的大小没有变化.

6 核心素养 几何直观 [2025 浙江宁波期末,较难]
【初步探究】
(1)如图(1),在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在边$BC,AB,AC$上,$∠ B = ∠ EDF$,这两个相等的角会使图形中出现其他的等角,请你写出其他等角(不添加其他辅助线),并说明理由.
【深入研究】
(2)如图(1),在(1)的条件下,若$∠ B = ∠ C$,请你再添加一个条件,使$△ BDE ≌ △ CFD$,先写出这个条件,再加以证明.
【变式探究】
(3)如图(2),等边三角形$ABC$中,$D,E$分别为$AB,AC$边上的动点,$BD = 2AE$,连结$DE$,以$DE$为边在$△ ABC$内作等边三角形$DEF$,连结$CF$,当$D$从点$A$向点$B$运动(不与点$B$重合)时,
①求$∠ FCE$的度数;
②若$AC = 2$,$△ ABC$的面积为$a$,点$M$为边$AC$上(不与$A,C$重合)的任意一点,连结$FA,FM$,直接写出$FA+FM$的最小值.(用含$a$的代数式表示)

备用图

6.【初步探究】
(1)$∠BED=∠CDF$. 理由如下: 在 $△BED$ 中, $∠BDE+∠B+∠BED=180°$. 因为点 $D$ 在边 $BC$ 上, 所以 $∠BDE+∠EDF+∠CDF= 180°$. 因为 $∠B=∠EDF$, 所以 $∠BED=∠CDF$.
【深入研究】
(2)(答案不唯一)添加条件:$BE=CD$. 证明:在 $△BDE$ 和 $△CFD$ 中, $\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BE=CD, \\ ∠BED=∠CDF, \end{cases}$ 所以 $△BDE≌△CFD(ASA)$.
【变式探究】
(3)①因为 $△ABC$ 是等边三角形, 所以 $∠A=∠B=∠ACB=60°$,$AB=AC=BC$. 因为 $△DEF$ 是等边三角形, 所以 $DE=EF$, $∠DEF=60°$, 所以 $∠DEF=∠A$. 同(1)可知 $∠CEF=∠ADE$. 如图, 在 $AC$ 上截取 $CH=AE$, 连结 $FH$. 因为 $BD=2AE$, 所以 $AE+CH=2AE=BD$. 又因为 $AB=AC$, 所以 $AD=EH$. 在 $△ADE$ 和 $△HEF$ 中, $\begin{cases} AD=EH, \\ ∠ADE=∠HEF, \\ DE=EF, \end{cases}$ 所以 $△ADE≌△HEF(SAS)$, 所以 $AE=FH$, $∠EHF=∠A=60°$, 所以 $FH=CH$, $∠FHC=120°$, 所以 $∠FCE=30°$.
②$FA+FM$ 的最小值是 $a$. 如图, 延长 $CF$ 交 $AB$ 于 $N$, 连结 $BF$, $BM$. 由 $∠FCE=30°$ 可知, 点 $F$ 在等边三角形 $ABC$ 的角平分线 $CN$ 上运动, 点 $A$ 关于 $CN$ 的对称点是点 $B$, 所以 $FA=FB$, 所以 $FA+FM=FB+FM≥BM$, 所以当点 $B$、点 $F$、点 $M$ 三点共线且 $BM⊥AC$ 时, $FA+FM$ 取最小值. 因为 $△ABC$ 的面积是 $a$, 所以 $\frac{1}{2}BM · AC = a$, 所以 $BM=a$, 即 $FA+FM$ 的最小值是 $a$.