1[2025 浙江丽水期中,中]如图,△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,E是AB上一点,且∠BDE=90°,DB=DE=AE,若BC=5,则AD的长是 ()

A.7
B.9.5
C.8
D.10

(第1题图)
(第2题图)

1.D 【解析】如图,过点$E$作$EF ⊥ AD$,垂足为 $F$, 所以 $∠EFD = 90°$, 所以$∠FED+ ∠EDF = 90°$. 因为$∠BDE = 90°$, 所以$∠BDC+ ∠EDF = 180°-∠BDE = 90°$, 所以 $∠BDC = ∠FED$. 因为$∠C=∠EFD=90°$,$BD=ED$,所以$△BDC≌△DEF(\mathrm{AAS})$,所以$BC=DF=5$. 因为$EA=ED$,$EF ⊥ AD$,所以$AD=2DF=10$,故选 D.

2[中]如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 ()

A.6
B.8
C.10
D.12

2.C 【解析】如图,连结$AD$. 因为$△ABC$是等腰三角形,点$D$是$BC$边的中点,所以$AD ⊥ BC$,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2}×4×AD=16$,解得$AD=8$. 因为$EF$是线段$AC$的垂直平分线,所以点$C$关于直线$EF$的对称点为点$A$,所以$AD$的长为$CM+MD$的最小值,所以$△CDM$的周长的最小值为$CM+MD+CD=AD+\frac{1}{2}BC=8+\frac{1}{2}×4=8+2=10$. 故选 C.

3[中]如图，△ABC中，AB=AC，BC=3，点E为BC边上的中线AD上一点，已知△ABE和△CDE的面积分别为1.5和2，则AD的长度为。

3.$\frac{14}{3}$ 【解析】因为$AB=AC$,点$E$为$BC$边上的中线$AD$上一点,所以$AD ⊥ BC$,$S_{△CDE}=S_{△BDE}$,$S_{△ACD}=S_{△ABD}$,所以$S_{△ABE}=S_{△ACE}$. 因为$△ABE$和$△CDE$的面积分别为 1.5 和 2,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=2(S_{△ABE}+S_{△CDE})=2×(1.5+2)=7$. 因为$BC=3$,所以$AD=\frac{14}{3}$,故答案为$\frac{14}{3}$.

4 新考法[2026江苏苏州调研,中](1)如图(1),已知$∠α$($∠α$为锐角)和线段$a$,用直尺和圆规作一个等腰三角形,使其一个内角为$∠α$,腰长为$a$.
(2)将(1)中的$∠α$变成钝角,其他条件不变,如图(2),求作这个等腰三角形.

4.【解】(1)如图(1)所示,$△ABC$(或$△DEF$)即为所求.（选择其中一种情况作答即可）
(2)如图(2)所示,$△MNH$即为所求作.
关键点拨
注意(1)中$∠α$是锐角,故有$∠α$是顶角和底角两种情况,而(2)中$∠α$是钝角,故$∠α$只能是顶角.

5[2025安徽安庆期末,中]如图,在△ABC中,D,E是BC上两点,且AB=BD,CA=CE,BF,CG分别平分∠ABC和∠ACB,BF,CG交于O点,求证:点O到△ADE的三个顶点的距离相等.

刷素养 走向重高

思路分析
连结$OA$,$OD$,$OE$,设$AD$与$BF$相交于点$M$,$AE$与$CG$相交于点$N$,由等腰三角形的性质可得$BF$是$AD$的垂直平分线,得到$OA=OD$,同理可得$OA=OE$,可得$OA=OD=OE$,据此即可求证.
5.【证明】如图,连结$OA$,$OD$,$OE$,设$AD$与$BF$相交于点$M$,$AE$与$CG$相交于点$N$.
因为$AB=BD$,所以$△ABD$为等腰三角形.
因为$BF$平分$∠ABC$,所以$AM=DM$,$BF ⊥ AD$,所以$BF$是$AD$的垂直平分线,所以$OA=OD$,同理可得$OA=OE$,所以$OA=OD=OE$,即点$O$到$△ADE$的三个顶点的距离相等.

6 核心素养推理能力[较难]在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)如图(1)，若$∠ BAD=30°$，$AD$是$BC$上的高线，$AD=AE$，则$∠ EDC=$$°$.
(2)如图(2)，若$∠ BAD=40°$，$AD$是$BC$上的高线，$AD=AE$，则$∠ EDC=$$°$.
(3)思考:通过以上两题，你发现$∠ BAD$与$∠ EDC$之间有什么数量关系？请直接写出结果.
(4)如图(3)，如果$AD$不是$BC$上的高线，$AD=AE$，是否仍有上述关系？若有，请你写出来，并说明理由.

6.【解】(1)因为在$△ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$上的高线,所以$∠BAD=∠CAD$,$∠ADC=90°$. 因为$∠BAD=30°$,所以$∠CAD=30°$. 因为$AD=AE$,所以$∠ADE=∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠CAD)=75°$,所以$∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°$. 故答案为 15.
(2)因为在$△ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$上的高线,所以$∠BAD=∠CAD$,$∠ADC=90°$. 因为$∠BAD=40°$,所以$∠CAD=40°$. 因为$AD=AE$,所以$∠ADE=∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠CAD)=70°$,所以$∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°$. 故答案为 20.
(3)$∠BAD=2∠EDC(\mathrm{或}∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD)$.
(4)仍有上述关系,$∠BAD=2∠EDC$. 理由如下:
因为$AD=AE$,所以$∠ADE=∠AED$,所以$∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠EDC+∠C+∠EDC=2∠EDC+∠C$. 又因为$AB=AC$,所以$∠B=∠C$,所以$∠BAD=2∠EDC$.