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1 下列各式中，运算正确的是(
A.$(2\sqrt{10} - \sqrt{5}) ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{2} - 1$
B.$\sqrt{(-4) · (-9)} = \sqrt{-4} · \sqrt{-9} = (-2) · (-3) = 6$
C.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{5^2} - \sqrt{4^2} = 1$
A
)。A.$(2\sqrt{10} - \sqrt{5}) ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{2} - 1$
B.$\sqrt{(-4) · (-9)} = \sqrt{-4} · \sqrt{-9} = (-2) · (-3) = 6$
C.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
D.$\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{5^2} - \sqrt{4^2} = 1$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题思路是逐个分析每个选项，结合二次根式的运算法则、有意义的条件、合并规则逐一判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据二次根式的除法分配律，$(2\sqrt{10} - \sqrt{5}) ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{10}÷\sqrt{5} - \sqrt{5}÷\sqrt{5}$，计算得$2\sqrt{10÷5} - 1 = 2\sqrt{2} - 1$，运算正确。
B选项：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$无意义，正确计算应为$\sqrt{(-4)·(-9)}=\sqrt{36}=6$，选项运算过程错误。
C选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并相加，运算错误。
D选项：二次根式没有$\sqrt{a^2 - b^2}=\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}$的运算性质，正确计算应为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，运算错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质，同类二次根式合并
【点评】
本题侧重考查二次根式基础规则的应用，解题时需注意二次根式有意义的前提，以及运算律的适用范围，不能随意套用运算规则到不符合条件的式子中。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的相关运算与性质，解题思路是逐个分析每个选项，结合二次根式的运算法则、有意义的条件、合并规则逐一判断对错，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：根据二次根式的除法分配律，$(2\sqrt{10} - \sqrt{5}) ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{10}÷\sqrt{5} - \sqrt{5}÷\sqrt{5}$，计算得$2\sqrt{10÷5} - 1 = 2\sqrt{2} - 1$，运算正确。
B选项：二次根式的被开方数必须为非负数，$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$无意义，正确计算应为$\sqrt{(-4)·(-9)}=\sqrt{36}=6$，选项运算过程错误。
C选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，无法直接合并相加，运算错误。
D选项：二次根式没有$\sqrt{a^2 - b^2}=\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}$的运算性质，正确计算应为$\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，运算错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质，同类二次根式合并
【点评】
本题侧重考查二次根式基础规则的应用，解题时需注意二次根式有意义的前提，以及运算律的适用范围，不能随意套用运算规则到不符合条件的式子中。
【难度系数】
0.7
2 使等式$\sqrt{\dfrac{3a - 1}{a - 2}}=\dfrac{\sqrt{3a - 1}}{\sqrt{a - 2}}$成立的实数$a$的取值范围是（
A.$a≠2$
B.$a≥\dfrac{1}{3}$且$a≠2$
C.$a＞2$
D.$a≥\dfrac{1}{3}$
C
）。A.$a≠2$
B.$a≥\dfrac{1}{3}$且$a≠2$
C.$a＞2$
D.$a≥\dfrac{1}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要使等式$\sqrt{\dfrac{3a - 1}{a - 2}}=\dfrac{\sqrt{3a - 1}}{\sqrt{a - 2}}$成立，需依据二次根式除法性质的成立条件推导：商的算术平方根等于算术平方根的商的前提是，分子的被开方数为非负数，分母的被开方数为正数（因为分母不能为0，且根号下的数不能为负）。我们只需列出对应的不等式组，求解后取公共解集即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$成立的条件为$\begin{cases}x≥0 \\ y＞0 \end{cases}$，
代入本题可得不等式组：
$\begin{cases}3a - 1≥0 \quad ①\\ a - 2＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：$3a≥1$，得$a≥\dfrac{1}{3}$；
解不等式②：得$a＞2$；
取两个解集的公共部分，可得$a＞2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的除法法则，解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是容易忽略分母不能为0的限制，误将$a-2$的取值范围写为$a-2≥0$，从而错选B。解题时需同时兼顾二次根式被开方数非负、分母不为0两个限制条件，准确列出不等式组求解。
【难度系数】
0.7
要使等式$\sqrt{\dfrac{3a - 1}{a - 2}}=\dfrac{\sqrt{3a - 1}}{\sqrt{a - 2}}$成立，需依据二次根式除法性质的成立条件推导：商的算术平方根等于算术平方根的商的前提是，分子的被开方数为非负数，分母的被开方数为正数（因为分母不能为0，且根号下的数不能为负）。我们只需列出对应的不等式组，求解后取公共解集即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$成立的条件为$\begin{cases}x≥0 \\ y＞0 \end{cases}$，
代入本题可得不等式组：
$\begin{cases}3a - 1≥0 \quad ①\\ a - 2＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：$3a≥1$，得$a≥\dfrac{1}{3}$；
解不等式②：得$a＞2$；
取两个解集的公共部分，可得$a＞2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的除法法则，解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是容易忽略分母不能为0的限制，误将$a-2$的取值范围写为$a-2≥0$，从而错选B。解题时需同时兼顾二次根式被开方数非负、分母不为0两个限制条件，准确列出不等式组求解。
【难度系数】
0.7
3 已知$x - y = 6$，$\sqrt{x^2 - xy} + \sqrt{xy - y^2} = 9$，则$\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2}$的值为（
A.3
B.4
C.$2\sqrt{6}$
D.15
B
）。A.3
B.4
C.$2\sqrt{6}$
D.15
答案
B [提示: 设 $\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2} = m$，则 $9m = (\sqrt{x^2 - xy}+\sqrt{xy - y^2})·(\sqrt{x^2 - xy}-\sqrt{xy - y^2})=(\sqrt{x^2 - xy})^2-(\sqrt{xy - y^2})^2=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2=36$,所以 $m=\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2} =4$。]
解析
【分析】
首先观察已知条件和待求式的结构：已知是两个二次根式的和，待求的是这两个二次根式的差，二者刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征。因此我们可以先设待求式的值为$m$，将两个式子相乘，利用平方差公式展开后，通过二次根式的性质消去根号，再将化简后的式子整理为与已知$x-y=6$相关的完全平方形式，代入数值即可求出结果，无需单独求解$x$和$y$的具体值，能大幅简化计算。
【解析】
解：设$\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2} = m$，
已知$\sqrt{x^2 - xy} + \sqrt{xy - y^2} = 9$，将两式相乘可得：
$9m = (\sqrt{x^2 - xy} + \sqrt{xy - y^2})(\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2})$
根据平方差公式展开右边：
$9m = (\sqrt{x^2 - xy})^2 - (\sqrt{xy - y^2})^2$
由二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$化简得：
$9m = (x^2 - xy) - (xy - y^2) = x^2 - 2xy + y^2$
根据完全平方公式，$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，代入$x-y=6$得：
$9m = 6^2 = 36$
解得$m=36÷9=4$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式的性质、完全平方公式
【点评】
本题侧重考查代数式的变形技巧，解题核心是抓住已知式与待求式的结构特点，巧用平方差公式简化运算，避免了直接求解$x$、$y$的繁琐过程，能有效考查学生的观察能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件和待求式的结构：已知是两个二次根式的和，待求的是这两个二次根式的差，二者刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征。因此我们可以先设待求式的值为$m$，将两个式子相乘，利用平方差公式展开后，通过二次根式的性质消去根号，再将化简后的式子整理为与已知$x-y=6$相关的完全平方形式，代入数值即可求出结果，无需单独求解$x$和$y$的具体值，能大幅简化计算。
【解析】
解：设$\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2} = m$，
已知$\sqrt{x^2 - xy} + \sqrt{xy - y^2} = 9$，将两式相乘可得：
$9m = (\sqrt{x^2 - xy} + \sqrt{xy - y^2})(\sqrt{x^2 - xy} - \sqrt{xy - y^2})$
根据平方差公式展开右边：
$9m = (\sqrt{x^2 - xy})^2 - (\sqrt{xy - y^2})^2$
由二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$化简得：
$9m = (x^2 - xy) - (xy - y^2) = x^2 - 2xy + y^2$
根据完全平方公式，$x^2 - 2xy + y^2=(x-y)^2$，代入$x-y=6$得：
$9m = 6^2 = 36$
解得$m=36÷9=4$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、二次根式的性质、完全平方公式
【点评】
本题侧重考查代数式的变形技巧，解题核心是抓住已知式与待求式的结构特点，巧用平方差公式简化运算，避免了直接求解$x$、$y$的繁琐过程，能有效考查学生的观察能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.6
④ 计算：$a\sqrt{\dfrac{3}{a}} + \sqrt{9a} - \dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}} =$
$3\sqrt{a}$
。答案
$3\sqrt{a}$
解析
【分析】
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为三步：第一步先根据二次根式有意义的条件确定字母$a$的取值范围（$a＞0$），保证后续化简的符号正确；第二步将每一项都化为最简二次根式，涉及到根号内去分母、分母有理化、开方化简等操作；第三步合并同类二次根式，即可得到最终结果。
【解析】
要使原式有意义，则$\dfrac{3}{a}＞0$，即$a＞0$，据此逐项化简：
1. 化简第一项：$a\sqrt{\dfrac{3}{a}} = a·\sqrt{\dfrac{3a}{a^2}} = a·\dfrac{\sqrt{3a}}{a} = \sqrt{3a}$；
2. 化简第二项：$\sqrt{9a} = \sqrt{9}·\sqrt{a} = 3\sqrt{a}$；
3. 化简第三项：$\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{a}·\sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3a}}{3} = \sqrt{3a}$。
将化简后的结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3a} + 3\sqrt{a} - \sqrt{3a}\\&=3\sqrt{a}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{a}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是先把每一项二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，解题时需注意先挖掘题目中隐含的字母取值范围，避免化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为三步：第一步先根据二次根式有意义的条件确定字母$a$的取值范围（$a＞0$），保证后续化简的符号正确；第二步将每一项都化为最简二次根式，涉及到根号内去分母、分母有理化、开方化简等操作；第三步合并同类二次根式，即可得到最终结果。
【解析】
要使原式有意义，则$\dfrac{3}{a}＞0$，即$a＞0$，据此逐项化简：
1. 化简第一项：$a\sqrt{\dfrac{3}{a}} = a·\sqrt{\dfrac{3a}{a^2}} = a·\dfrac{\sqrt{3a}}{a} = \sqrt{3a}$；
2. 化简第二项：$\sqrt{9a} = \sqrt{9}·\sqrt{a} = 3\sqrt{a}$；
3. 化简第三项：$\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{a}·\sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3a}}{3} = \sqrt{3a}$。
将化简后的结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3a} + 3\sqrt{a} - \sqrt{3a}\\&=3\sqrt{a}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{a}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；分母有理化
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题核心是先把每一项二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，解题时需注意先挖掘题目中隐含的字母取值范围，避免化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
5 若$a = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，则$a + \frac{1}{a} = \_\_\_\_\_\_$，$a^2 + a^{-2} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$2\sqrt{3}, 10$
解析
【分析】
解题时先处理第一个空：已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，要计算$a+\frac{1}{a}$，首先需要化简$\frac{1}{a}$，由于$a$的分母是带根式的减法形式，用分母有理化的方法即可求出$\frac{1}{a}$的最简形式，再和$a$相加就能得到结果。再处理第二个空：$a^2+a^{-2}$就是$a^2+\frac{1}{a^2}$，不需要直接计算$a$的平方，可利用完全平方公式的变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，将第一问求出的$a+\frac{1}{a}$整体代入计算，能简化运算步骤。
【解析】
1. 计算$\frac{1}{a}$：
已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，对$\frac{1}{a}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
2. 计算$a+\frac{1}{a}$：
$a+\frac{1}{a}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
3. 计算$a^2+a^{-2}$：
由完全平方公式变形可得$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，将$a+\frac{1}{a}=2\sqrt{3}$代入：
$a^2+a^{-2}=(2\sqrt{3})^2-2=12-2=10$
【答案】
$2\sqrt{3},10$
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题考察二次根式的运算技巧，通过分母有理化化简根式倒数、结合完全平方公式变形做整体代入，能避免高次运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时先处理第一个空：已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，要计算$a+\frac{1}{a}$，首先需要化简$\frac{1}{a}$，由于$a$的分母是带根式的减法形式，用分母有理化的方法即可求出$\frac{1}{a}$的最简形式，再和$a$相加就能得到结果。再处理第二个空：$a^2+a^{-2}$就是$a^2+\frac{1}{a^2}$，不需要直接计算$a$的平方，可利用完全平方公式的变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，将第一问求出的$a+\frac{1}{a}$整体代入计算，能简化运算步骤。
【解析】
1. 计算$\frac{1}{a}$：
已知$a=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，对$\frac{1}{a}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$：
$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
2. 计算$a+\frac{1}{a}$：
$a+\frac{1}{a}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
3. 计算$a^2+a^{-2}$：
由完全平方公式变形可得$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，将$a+\frac{1}{a}=2\sqrt{3}$代入：
$a^2+a^{-2}=(2\sqrt{3})^2-2=12-2=10$
【答案】
$2\sqrt{3},10$
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，二次根式运算
【点评】
本题考察二次根式的运算技巧，通过分母有理化化简根式倒数、结合完全平方公式变形做整体代入，能避免高次运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
⑥ 已知$(1+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}(a、b为有理数)，则a+b=$
$5$
。答案
$5$
解析
【分析】
解题的核心思路是先利用完全平方公式展开左侧的二次根式平方运算，再根据等式两边有理数部分和含$\sqrt{2}$部分分别对应相等的原则求出$a$、$b$的值，最后代入$a+b$计算即可。具体思考步骤：第一步运用完全平方公式展开$(1+\sqrt{2})^2$，第二步合并化简展开后的结果，第三步对比$a+b\sqrt{2}$的形式确定$a$、$b$的取值，第四步计算$a+b$的和。
【解析】
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(1+\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(1+\sqrt{2})^2&=1^2 + 2×1×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=1 + 2\sqrt{2} + 2\\&=3 + 2\sqrt{2}\end{aligned}$
已知$(1+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}$，且$a$、$b$为有理数，对比等式两边可得：$a=3$，$b=2$。
因此$a+b=3+2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查完全平方公式的应用和二次根式的化简计算，解题时注意区分有理数部分和无理数部分的对应关系，避免展开时漏项或计算错误。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是先利用完全平方公式展开左侧的二次根式平方运算，再根据等式两边有理数部分和含$\sqrt{2}$部分分别对应相等的原则求出$a$、$b$的值，最后代入$a+b$计算即可。具体思考步骤：第一步运用完全平方公式展开$(1+\sqrt{2})^2$，第二步合并化简展开后的结果，第三步对比$a+b\sqrt{2}$的形式确定$a$、$b$的取值，第四步计算$a+b$的和。
【解析】
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(1+\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(1+\sqrt{2})^2&=1^2 + 2×1×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=1 + 2\sqrt{2} + 2\\&=3 + 2\sqrt{2}\end{aligned}$
已知$(1+\sqrt{2})^2=a+b\sqrt{2}$，且$a$、$b$为有理数，对比等式两边可得：$a=3$，$b=2$。
因此$a+b=3+2=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查完全平方公式的应用和二次根式的化简计算，解题时注意区分有理数部分和无理数部分的对应关系，避免展开时漏项或计算错误。
【难度系数】
0.8
7 已知$x+\dfrac{1}{x}=7(0＜ x＜ 1)$，则$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$的值为
$-\sqrt{5}$
。答案
$-\sqrt{5}$
解析
【分析】
观察所求代数式$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$的结构，直接求$x$的取值计算量较大，因此考虑先对所求式子平方，平方后可出现已知条件中的$x+\dfrac{1}{x}$，代入已知值计算出平方后的结果，再结合$x$的取值范围判断所求式子的符号，最终开方得到结果。
【解析】
设$m=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，根据完全平方公式计算$m^2$：
$\begin{aligned}m^2&=(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\\&=(\sqrt{x})^2-2·\sqrt{x}·\dfrac{1}{\sqrt{x}}+(\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\\&=x-2+\dfrac{1}{x}\end{aligned}$
已知$x+\dfrac{1}{x}=7$，代入上式得：
$m^2=7-2=5$，因此$m=\pm\sqrt{5}$。
再判断符号：因为$0＜x＜1$，所以$\sqrt{x}＜\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，即$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}＜0$，因此$m=-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题核心是利用整体代入的思想解题，通过平方运算建立所求式子和已知条件的联系，解题时要注意根据未知数的取值范围判断结果的符号，避免漏判符号导致错解。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$的结构，直接求$x$的取值计算量较大，因此考虑先对所求式子平方，平方后可出现已知条件中的$x+\dfrac{1}{x}$，代入已知值计算出平方后的结果，再结合$x$的取值范围判断所求式子的符号，最终开方得到结果。
【解析】
设$m=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，根据完全平方公式计算$m^2$：
$\begin{aligned}m^2&=(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\\&=(\sqrt{x})^2-2·\sqrt{x}·\dfrac{1}{\sqrt{x}}+(\dfrac{1}{\sqrt{x}})^2\\&=x-2+\dfrac{1}{x}\end{aligned}$
已知$x+\dfrac{1}{x}=7$，代入上式得：
$m^2=7-2=5$，因此$m=\pm\sqrt{5}$。
再判断符号：因为$0＜x＜1$，所以$\sqrt{x}＜\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，即$\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}＜0$，因此$m=-\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，代数式求值
【点评】
本题核心是利用整体代入的思想解题，通过平方运算建立所求式子和已知条件的联系，解题时要注意根据未知数的取值范围判断结果的符号，避免漏判符号导致错解。
【难度系数】
0.7
⑧ 若两个最简二次根式$\sqrt[x-y]{5}$与$\sqrt{3x+y}$可以合并，则$\sqrt{(x+y)(x-y)}$的值为
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆两个最简二次根式可以合并的条件：一是根指数相同，二是被开方数相同。首先观察两个根式，第二个根式是二次根式，根指数为2，因此第一个根式的根指数$x-y$也必须等于2；其次它们的被开方数要相等，即$3x+y=5$。由此得到关于$x$和$y$的二元一次方程组，解出$x$、$y$的值后，代入要求的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ 最简二次根式$\sqrt[x-y]{5}$与$\sqrt{3x+y}$可以合并
∴ 二者是同类二次根式，满足：
$\begin{cases}x-y=2 \quad \mathrm{（根指数相等，均为2）} \\3x+y=5 \quad \mathrm{（被开方数相等）}\end{cases}$
将两个方程相加得：$4x=7$，解得$x=\frac{7}{4}$
把$x=\frac{7}{4}$代入$x-y=2$，得：$\frac{7}{4}-y=2$，解得$y=-\frac{1}{4}$
将$x=\frac{7}{4}$、$y=-\frac{1}{4}$代入$\sqrt{(x+y)(x-y)}$：
$x+y=\frac{7}{4}+(-\frac{1}{4})=\frac{3}{2}$，$x-y=2$
∴ $(x+y)(x-y)=\frac{3}{2} × 2=3$
∴ $\sqrt{(x+y)(x-y)}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
同类二次根式，二元一次方程组求解，二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的性质，解题关键是掌握可合并的最简二次根式需满足根指数相同、被开方数相同的条件，结合方程求解和二次根式运算即可得到结果，是二次根式部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆两个最简二次根式可以合并的条件：一是根指数相同，二是被开方数相同。首先观察两个根式，第二个根式是二次根式，根指数为2，因此第一个根式的根指数$x-y$也必须等于2；其次它们的被开方数要相等，即$3x+y=5$。由此得到关于$x$和$y$的二元一次方程组，解出$x$、$y$的值后，代入要求的代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ 最简二次根式$\sqrt[x-y]{5}$与$\sqrt{3x+y}$可以合并
∴ 二者是同类二次根式，满足：
$\begin{cases}x-y=2 \quad \mathrm{（根指数相等，均为2）} \\3x+y=5 \quad \mathrm{（被开方数相等）}\end{cases}$
将两个方程相加得：$4x=7$，解得$x=\frac{7}{4}$
把$x=\frac{7}{4}$代入$x-y=2$，得：$\frac{7}{4}-y=2$，解得$y=-\frac{1}{4}$
将$x=\frac{7}{4}$、$y=-\frac{1}{4}$代入$\sqrt{(x+y)(x-y)}$：
$x+y=\frac{7}{4}+(-\frac{1}{4})=\frac{3}{2}$，$x-y=2$
∴ $(x+y)(x-y)=\frac{3}{2} × 2=3$
∴ $\sqrt{(x+y)(x-y)}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
同类二次根式，二元一次方程组求解，二次根式化简
【点评】
本题考查同类二次根式的性质，解题关键是掌握可合并的最简二次根式需满足根指数相同、被开方数相同的条件，结合方程求解和二次根式运算即可得到结果，是二次根式部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
9 已知$\sqrt{11}-1$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则$(\sqrt{11}+a)(b+1)$的值为
$7$
。答案
$7$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要估算出无理数$\sqrt{11}$的取值范围，进而得到$\sqrt{11}-1$的整数部分$a$和小数部分$b$，再将$a$、$b$代入所求代数式，利用乘法公式简化计算即可。第一步先找与11相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{11}$的范围，再推导$\sqrt{11}-1$的范围得到$a$；第二步根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；第三步代入代数式后用平方差公式计算结果。
【解析】
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$
不等式两边同时减1，得$2＜\sqrt{11}-1＜3$
$\therefore \sqrt{11}-1$的整数部分$a=2$
小数部分$b=(\sqrt{11}-1)-a=\sqrt{11}-1-2=\sqrt{11}-3$
将$a=2$，$b=\sqrt{11}-3$代入$(\sqrt{11}+a)(b+1)$，得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{11}+2)(\sqrt{11}-3+1)\\&=(\sqrt{11}+2)(\sqrt{11}-2)\\&=(\sqrt{11})^2-2^2\\&=11-4\\&=7\end{aligned}$
【答案】
$7$
【知识点】
无理数的估算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题的核心是正确区分无理数的整数部分和小数部分，牢记小数部分始终为正数，等于原数减去它的整数部分，代入计算时结合乘法公式可大幅简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要估算出无理数$\sqrt{11}$的取值范围，进而得到$\sqrt{11}-1$的整数部分$a$和小数部分$b$，再将$a$、$b$代入所求代数式，利用乘法公式简化计算即可。第一步先找与11相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{11}$的范围，再推导$\sqrt{11}-1$的范围得到$a$；第二步根据“小数部分=原数-整数部分”求出$b$；第三步代入代数式后用平方差公式计算结果。
【解析】
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$
不等式两边同时减1，得$2＜\sqrt{11}-1＜3$
$\therefore \sqrt{11}-1$的整数部分$a=2$
小数部分$b=(\sqrt{11}-1)-a=\sqrt{11}-1-2=\sqrt{11}-3$
将$a=2$，$b=\sqrt{11}-3$代入$(\sqrt{11}+a)(b+1)$，得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{11}+2)(\sqrt{11}-3+1)\\&=(\sqrt{11}+2)(\sqrt{11}-2)\\&=(\sqrt{11})^2-2^2\\&=11-4\\&=7\end{aligned}$
【答案】
$7$
【知识点】
无理数的估算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题的核心是正确区分无理数的整数部分和小数部分，牢记小数部分始终为正数，等于原数减去它的整数部分，代入计算时结合乘法公式可大幅简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
⑩ 已知 $ x = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $，$ y = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} $，且 $ 19x^2 + 123xy + 19y^2 = 1985 $，则正数n的值为
$2$
。答案
2 [提示:因为$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}$，$y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$，所以$x+y=4n+2$，$xy=1$。将$xy=1$代入$19x^2+123xy+19y^2=1985$，得$19x^2+123+19y^2=1985$，化简得$x^2+y^2=98$。因为$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=98+2=100$，所以$x+y=10$(舍负)，所以$4n+2=10$，解得$n=2$。]
解析
【分析】
观察x和y的表达式，二者互为倒数，且分母均为含根号的加减式，解题时首先对x、y进行分母有理化，化简后可快速求出x+y与xy的值。题目给出的等式是关于x²、y²的对称式，可利用完全平方公式将x²+y²变形为$(x+y)^2-2xy$，采用整体代入的思路代入已知等式，逐步求出x+y的值，最后反推得到正数n的值，避免直接代入复杂表达式增加计算量。
【解析】
第一步：对x、y分母有理化
对x化简：
$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}$
对y化简：
$y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$
第二步：计算x+y和xy的值
$x+y=(2n+1-2\sqrt{n(n+1)})+(2n+1+2\sqrt{n(n+1)})=4n+2$
$xy=(2n+1)^2-(2\sqrt{n(n+1)})^2=4n^2+4n+1-4n(n+1)=1$
第三步：代入已知等式化简
将$xy=1$代入$19x^2 + 123xy + 19y^2 = 1985$，得：
$19(x^2+y^2)+123×1=1985$
整理得$19(x^2+y^2)=1862$，解得$x^2+y^2=98$
第四步：利用完全平方公式求x+y
由完全平方公式得：$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=98+2×1=100$
因为x、y均为正数，所以$x+y=10$（舍去负根-10）
第五步：求解n
由$x+y=4n+2=10$，解得$4n=8$，$n=2$
【答案】
2
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题将二次根式运算与代数式变形相结合，核心解题技巧是先化简x、y得到x+y与xy的值，通过整体代入的思想简化计算，有效降低运算复杂度，考察了学生的代数式变形能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
观察x和y的表达式，二者互为倒数，且分母均为含根号的加减式，解题时首先对x、y进行分母有理化，化简后可快速求出x+y与xy的值。题目给出的等式是关于x²、y²的对称式，可利用完全平方公式将x²+y²变形为$(x+y)^2-2xy$，采用整体代入的思路代入已知等式，逐步求出x+y的值，最后反推得到正数n的值，避免直接代入复杂表达式增加计算量。
【解析】
第一步：对x、y分母有理化
对x化简：
$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}$
对y化简：
$y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$
第二步：计算x+y和xy的值
$x+y=(2n+1-2\sqrt{n(n+1)})+(2n+1+2\sqrt{n(n+1)})=4n+2$
$xy=(2n+1)^2-(2\sqrt{n(n+1)})^2=4n^2+4n+1-4n(n+1)=1$
第三步：代入已知等式化简
将$xy=1$代入$19x^2 + 123xy + 19y^2 = 1985$，得：
$19(x^2+y^2)+123×1=1985$
整理得$19(x^2+y^2)=1862$，解得$x^2+y^2=98$
第四步：利用完全平方公式求x+y
由完全平方公式得：$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=98+2×1=100$
因为x、y均为正数，所以$x+y=10$（舍去负根-10）
第五步：求解n
由$x+y=4n+2=10$，解得$4n=8$，$n=2$
【答案】
2
【知识点】
分母有理化，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题将二次根式运算与代数式变形相结合，核心解题技巧是先化简x、y得到x+y与xy的值，通过整体代入的思想简化计算，有效降低运算复杂度，考察了学生的代数式变形能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
11 计算：
(1) $6\sqrt{\dfrac{1}{6}}+\sqrt{24}+2\sqrt{\dfrac{3}{2}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{72}-\sqrt{32}}{\sqrt{8}}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$。
(1) $6\sqrt{\dfrac{1}{6}}+\sqrt{24}+2\sqrt{\dfrac{3}{2}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{72}-\sqrt{32}}{\sqrt{8}}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$。
答案
(1) $4\sqrt{6}$ (2) $-2$
解析
【分析】
这两道题均属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：
(1) 二次根式加减运算的核心是先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式即可。
(2) 包含除法和乘法的混合运算，先算乘除后算加减：前半部分的分式可先化简分子分母的二次根式再计算除法；后半部分是两个二项式相乘，符合平方差公式的结构，直接套用公式计算更简便，避免逐项相乘出错。
【解析】
(1) 先化简各项：
$6\sqrt{\dfrac{1}{6}} = 6×\dfrac{\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
$\sqrt{24} = \sqrt{4×6} = 2\sqrt{6}$
$2\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 2×\dfrac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$
合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$
(2) 分两部分计算：
① 计算分式部分：
分子$\sqrt{72}-\sqrt{32} = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
分母$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
因此$\dfrac{\sqrt{72}-\sqrt{32}}{\sqrt{8}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$
② 计算乘法部分，套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$
③ 合并结果：
原式$=1 - 3 = -2$
【答案】
(1) $4\sqrt{6}$；(2) $-2$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式的运算规则和乘法公式的灵活运用，熟练掌握最简二次根式的化简方法、牢记乘法公式能有效提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：
(1) 二次根式加减运算的核心是先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式即可。
(2) 包含除法和乘法的混合运算，先算乘除后算加减：前半部分的分式可先化简分子分母的二次根式再计算除法；后半部分是两个二项式相乘，符合平方差公式的结构，直接套用公式计算更简便，避免逐项相乘出错。
【解析】
(1) 先化简各项：
$6\sqrt{\dfrac{1}{6}} = 6×\dfrac{\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
$\sqrt{24} = \sqrt{4×6} = 2\sqrt{6}$
$2\sqrt{\dfrac{3}{2}} = 2×\dfrac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$
合并同类二次根式：
原式$=\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$
(2) 分两部分计算：
① 计算分式部分：
分子$\sqrt{72}-\sqrt{32} = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
分母$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
因此$\dfrac{\sqrt{72}-\sqrt{32}}{\sqrt{8}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$
② 计算乘法部分，套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$
③ 合并结果：
原式$=1 - 3 = -2$
【答案】
(1) $4\sqrt{6}$；(2) $-2$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式合并，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，重点考察二次根式的运算规则和乘法公式的灵活运用，熟练掌握最简二次根式的化简方法、牢记乘法公式能有效提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.8
